Agrupamiento en redes
Ahora hablaremos de otro concepto: el agrupamiento en redes.
La idea del agrupamiento es, si fueras un nodo, ¿hasta qué punto tus amigos son amigos entre sí?
Definamos el agrupamiento con respecto a un nodo en particular:
es la fracción de pares de vecinos que están conectados entre sí. Por ejemplo, miren este nodo,
tiene 2 vecinos y estos están conectados entre sí, así que su agrupamiento es 1
ya que todos sus vecinos están conectados entre sí o la fracción de pares de vecinos que están conectados es 1.
Este otro nodo tiene 3 vecinos, pero no todos están conectados entre sí.
Estos 2 están conectados.
Pero este otro no está conectado a los otros vecinos.
Matemáticamente sabemos que si un nodo v tiene k vecinos, entonces hay (k v) (k v - 1) / 2 pares de vecinos.
Pero no tienen que preocuparse sobre cómo obtener esto, solo créanme.
Ahora definimos C v como la fracción de nodos conectados entre sí, de todos los posibles. Veamos esto:
Este nodo tiene 1 vecino, así que por definición, si solo hay 1 vecino, el agrupamiento es 0 porque no hay ningún par de vecinos.
Este nodo tiene 3 vecinos, este, este y este. Eso significa que tiene (3 x 2) / 2 pares de vecinos y es igual a 3.
Pero solo 1 de sus pares de vecinos está conectado entre sí, pues no hay aristas entre
este par de vecinos y este otro par de vecinos.
Por tanto, solo 1 de 3 pares de vecinos está conectado, así que su agrupamiento es 1/3.
Como dije antes, el agrupamiento con respecto a este nodo es 1 porque hay una arista entre sus 2 vecinos,
así que todos sus posibles pares de vecinos están conectados.
Este nodo, de forma similar a aquél, tiene agrupamiento 3.
Este otro tiene agrupamiento 0: tiene 2 vecinos pero no están conectados,
así que ninguno de sus posibles pares de vecinos está conectado.
De forma similar, este nodo solo tiene 1 vecino así que no tiene pares de vecinos y tiene agrupamiento 0.
Ahora podemos definir el coeficiente de agrupamiento de la red: es el promedio del agrupamiento con respecto a cada nodo.
Así que: el coeficiente de agrupamiento C es el promedio de C v para todos los nodos v.
Sumamos todos estos y dividimos por el número de nodos y obtenemos el coeficiente de agrupamiento: C = 0.278.
Comparemos la red con esta otra que está completamente conectada:
cada nodo está conectado con todos los nodos, es decir,
todos son amigos entre sí, lo que da un coeficiente de agrupamiento de 1.
En esta otra red cada nodo está conectado con 2 nodos, pero ninguno de los pares de vecinos tiene conexión entre sí
y tiene un coeficiente de agrupamiento de 0.
El coeficiente de agrupamiento puede indicar el tiempo que tarda la información en viajar de una parte de la red a otra
y qué tan fácil es desintegrar la red si se borra uno de los nodos.
Nos detendremos para hacer un examen rápido sobre agrupamiento.