Vamos olhar mais de perto para a ideia de que
Autômatos Celulares são sistemas dinâmicos
análogos ao mapa logístico.
Bem, aqui nós temos uma comparação ponto por ponto.
No mapa logístico nós temos essa equação em que
o valor de x em t+1 é alguma função
do valor de x no tempo t.
E aqui está nossa equação familiar.
De forma bem similar, em AC elementares
e outros tipos de Autômatos Celulares
nós temos nosso próprio estado de mundo
que é nossa configuração de espaço
de células pretas e brancas,
e a configuração do espaço no tempo t+1
é uma função da configuração do espaço
no passo de tempo anterior.
Aqui a função é representada pela regra
que está olhando as vizinhanças
e atualizando a célula central.
Tanto o mapa logístico quanto os ACs elementares são
completamente determinísticos,
não existe aleatoriedade envolvida.
Ambos são iterados em passos do tempo discretos.
No mapa logístico nós temos
um estado contínuo.
Ou seja, o valor de x é um número real,
enquanto nos Autômatos Celulares
a configuração de espaço é um estado discreto,
é uma sequência de células pretas e brancas
A dinâmica do mapa logístico, nós vimos
que foi de um ponto fixo, para periódica, para caos.
Nós vimos todos esses tipos de dinâmica,
e similarmente nos Autômatos Celulares,
especialmente aqui, nos autômatos elementares,
onde vimos esses mesmos tipos de dinâmica,
ponto fixo, periódica e caos.
No mapa logístico, nós tínhamos o que é chamado
de parâmetro de controle, r,
ou seja, conforme movíamos r de 0 a 4,
nós vimos que a dinâmica
do sistema começou de um ponto fixo,
e se moveu através de atratores periódicos,
através de um caminho de duplicação de período
até o caos.
Bem, o que é o parâmetro de controle
para autômatos celulares elementares e outros?
Claramente não é o número Wolfram.
O número Wolfram não ordena
os autômatos celulares em qualquer ordem que
corresponda ao seu comportamento, é arbitrário.
Então as pessoas começaram a pensar sobre o que
seria um parâmetro de controle que
desempenharia o mesmo papel que r.
Conforme você aumenta o valor
do parâmetro você segue através
desses tipos diferentes de comportamentos dinâmicos.
Chris Langton é um cientista de sistemas complexos
que trabalhou com autômatos celulares extensivamente,
e encontrou essa ideia chamada
de parâmetro lambda
como um parâmetro de controle proposto
para autômatos celulares.
Para autômatos celulares de dois estados,
do tipo que nós estávamos olhando,
ou seja, cada célula é ou preta ou branca,
lambda é simplesmente definido
como a fração de estados resultantes pretos
em uma tabela de regra.
Então, por exemplo, dada essa tabela de regra,
nós contaríamos nessa coluna
de estados resultantes, nós temos 1, 2, 3
4, 5, sobre um total de 8.
Então o lambda aqui é cinco oitavos.
Então essa é uma definição realmente simples,
mas Langton foi capaz de mostrar
que em alguns casos o valor de lambda do
autômato celular era
um preditor razoavelmente bom de seu comportamento.
A hipótese de Langton era que
o comportamento típico de autômatos celulares
com um dado valor de lambda
seguiria com essa escala.
Do comportamento de ponto fixo a menores níveis
de lambda e, conforme lambda fosse aumentado,
nós veríamos comportamento
periódico e então caótico.
Claro, como autômatos celulares
têm dois estados, branco e preto,
eles são simétricos nisso.
Por exemplo, um lambda de 0,
que significaria pontos fixos de todos brancos,
é um comportamento basicamente equivalente a um
lambda de um que fossem pontos fixos
de todos pretos.
Então se você invertesse as cores pretas
e brancas nos estados de atualização você teria
um comportamento igual ou equivalente
apenas com as cores invertidas.
Isso é um pouco diferente do r,
no sentido de que temos essa simetria.
Langton fez simulações extensivas para testar
sua hipótese e ele encontrou que lambda
tende a ser um melhor previsor de comportamento
para autômatos celulares que não são elementares,
aqueles cujo tamanho da vizinhança
é maior do que três células.
Nós vamos olhar para a relação
entre lambda e comportamento de autômato
celular usando um applet que foi desenvolvido
nos departamentos de matemática
de Hobart and William Smith Colleges.
Esse link também está
na nossa página de materiais do curso.
Nessa página você pode abrir
a simulação Edge of Chaos
É um applet JAVA
e tem algumas opções complicadas
que você pode usar.
Para fazer isso simples, eu vou
criar um novo mundo
e eu vou vou colocar o número de estados
como dois, que é preto e branco,
e definiremos o tamanho da vizinhança como cinco.
Então cada célula se comunica
com duas células de cada lado dela.
E esses são autômatos celulares de uma
dimensão ainda.
Nós vamos dizer não,
regras não são isotrópicas.
Você pode ler sobre isso no site,
isso só significa que nós vamos
usar as regras mais gerais,
o mundo é circular, e assim por diante.
OK, então vamos criar um mundo,
e agora o que nós podemos fazer deslizar
lambda usando esse cursor.
Então quando lambda é zero
essa configuração inicial aleatória
que você mal pode ver aqui
sempre se atualiza pra branco.
Bem, nós podemos fazer a mesma coisa tendo um mundo aleatório novo.
que cria uma nova configuração inicial aleatória,
e assim por diante. Então nós podemos aumentar lambda
e ver como ele muda.
Então aqui nós temos um ponto fixo de tudo branco
e nós seguindo movendo lentamente,
cada vez que eu faço isso o que
a simulação faz é pegar um
novo autômato celular que tenha
esse valor lambda.
Claro, existe mais de um autômato
celular que tem esse valor lambda,
mas ele está pegando um aleatoriamente.
Agora eu estou começando a obter
comportamento periódico, e ainda periódico,
pode ser um pouco mais complicado,
então eu estou deslizando, deslizando, deslizando... OK.
Bem, uma coisa mais interessante,
talvez mais interessante e bom comparativo
é, vamos ver... começar com um ponto
Que é começar com uma célula, preta.
Certo, então eu sigo indo aqui, ainda periódico.
Agora eu estou obtendo alguma coisa um pouco
mais complicada.
Certo, veja isso, bem, isso está começando a parecer
um pouco mais com um padrão caótico ou aleatório.
Eu movo isso pouco
mais, e assim por diante, até que eu tenha movido
isso para o meio, e agora as coisas
estão parecendo realmente, realmente aleatórias
Então você pode brincar com isso,
e o que Langton fez foi que
ele implementou sua própria versão disso
e fez experimentos extensivos
procurando por escolhas aleatórias de autômatos
celulares, para vários valores de lambda,
e encontrou que lambda era um bom preditor
dos tipos de dinâmicas que você
provavelmente verá.
Agora podem existir certas configurações
iniciais que dão comportamentos diferentes
de outras configurações iniciais
com o mesmo autômato celular,
mas sua preocupação era com a média do comportamento.
Bem, eu estava usando a palavra caos
um pouco frouxamente aqui.
Até que ponto esse comportamento que
parece aleatório que vemos é de fato caótico?
Isto é, ele tem dependência sensível
das condições iniciais?
Bem, Norman Packard investigou isso,
e o que ele fez foi que ele procurou diferentes
autômatos celulares, aqui com
vizinhanças de sete células. Ou seja,
cada célula olha para três vizinhos de cada lado.
Para cada valor de lambda, ele testou um número
de autômatos celulares aleatoriamente selecionados
com aquele valor de lambda com um número de
condições iniciais aleatórias, e ele computou
a diferença média da taxa de dispersão,
que é uma medida de sensibilidade
às condições iniciais.
Basicamente você toma o mesmo autômato
celular e começa com condições iniciais
muito parecidas, talvez um bit distante
uma da outra: uma célula preta se torna
uma célula branca, e vê quão rápido
as duas se dispersam em comportamento.
Existe uma medida para isso.
Ele traçou isso como um gráfico de lambda
e você vê aqui que você tem um comportamento
bastante ordenado, e aqui você tem como
que uma transição para um comportamento mais caótico,
e aqui você realmente tem caos, com
dependência sensível das configurações iniciais.
De fato, você obtém esse tipo de comportamento
que Langton supôs
e Packard mostrou em seus experimentos.
Packard chamou essas regiões
de "Edge of Chaos", ou seja, o lugar onde
as coisas não estão completamente ordenadas,
e ainda não estão completamente caóticas ou aleatórias,
e isso corresponde, grosso modo,
à Classe 4 de Wolfram,
ou seja, esses autômatos celulares interessantes
com vida longa, estruturas localizadas,
tais como na Regra 110.
Então, em resumo, autômatos celulares
podem ser vistos como sistemas dinãmicos
com diferentes tipos de atratores
tais como ponto fixo, periódico, caótico,
e o que nós podemos chamar de "limite do caos".
E essrs correspondem às
quatro classes de Wolfram.
O parâmetro lambda de Langton é um
parâmetro de controle proposta que mais ou menos
indica qual tipo de atrator esperar.
Outras pessoas propuseram outros
parâmetros de controle relacionados a lambda que
algumas vezes fazem um melhor trabalho de previsão.
O Jogo da Vida é um autômato celular de classe 4.
Ele tem todas as propriedades que
Wolfram listou para um autômato celular de Classe 4.
Agora, Wolfram fez uma hipótese de que
autômatos celulares de Classe 4 são
capazes de computações universais
que é alguma coisa sobre a qual irei falar
na próxima subunidade.