Diamo un'occhiata da vicino all'idea che
gli automi cellulari sono sistemi dinamici
analoghi alla mappa logistica.
Allora, qui c'è un raffronto punto per punto.
Nella mappa logistica, abbiamo questa equazione dove
il valore di x a t+1 è una certa funzione
del valore di x al tempo t.
E qui la nostra equazione familiare.
Allora, in maniera simile, CA elementari
e altri tipi di automi cellulari
che abbiamo nel nostro mondo
che è la nostra configurazione del reticolo
di celle nere e bianche,
e la configurazione del reticolo al tempo t+1
è una funzione della configurazione del reticolo
al tempo precedente.
Qui la funzione è rappresentata dalla regola
che è prendere il vicinato
e aggiornare la cella centrale.
Sia la mappa logistica che CA elementari sono
completamente deterministici,
non c'è alcun coinvolgimento della casualità.
Entrambe reiterano alcuni passaggi i un tempo discreto
Nella mappa logistica abbiamo
uno stato continuo.
Cioè il valore di x è un numero reale,
dove gli automi cellulari
la configurazione del reticolo è un stato discreto,
è la squenza di celle nere e bianche
le dinamiche viste della mappa logistica
partivano da punti fissi, verso periodici, al caos.
Abbiamo visto tutti questi tipi di dinamiche,
e in maniera simile nei CA,
soprattutto qui negli automi elementari
abbiamo visto gli stessi tipi di dinamiche,
punti fissi, periodici e caos.
Nella mappa logistica, avevamo quello che è chiamato
il parametro di controllo, r,
cioè come muovevamo r da 0 a 4
vedevamo che le dinamiche
del sistema sono partite da punti fissi,
e si muovevano in attrattori periodici
in un periodo che doppia il percorso
tutte strade verso il caos.
Allora, cos'è il parametro di controllo
per CA elementari o altri?
Non è chiaramente il numero di Wolfram.
Il numero di Wolfram non ordina
i CA in alcun modo che
corrisponda al loro comportamento, è arbitrario.
Così le persone hanno iniziato a pensare a cosa
sarebbe il parametro di controllo
che giocherebbe lo stesso ruolo di r,
dove come aumentate il valore
del parametro, andate
in differenti ti di comportamenti dinamici.
Chris Langton è uno scienziato dei sistemi complessi
che ha lavorato a lungo sugli automi cellulari,
e è giunto a quest'idea denominata
parametro lambda
come parametro di controllo proposto
per gli automi cellulari.
Per due stati di automi cellulari,
il tipo che abbiamo visto,
che è ogni cella è o nera o bianca,
lambda è definito molto semplicemente
come frazione di esisti di stati nero
in una tabella di regole.
Quindi, per esempio, data questa tabella di regole
conteremmo in questa colonna
gli stati degli esti, abbiamo 1, 2, 3
4, 5, su un totale di 8.
Il lambda qui è cinque ottavi.
É una definizione molto semplice,
ma Langton è stato capace di mostrare
che in alcuni casi il valore lambda di
CA era
un buono predittore del suo comportamento.
L'ipotesi di Langton era che
il comportamento tipico di CA
con un valore dato di lambda
va avanti su questa scala.
Da comportamenti in punti fissi a livelli più bassi
di lambda, e come lambda aumenta
vedremmo comportamenti periodici
e poi caotici.
Va da sé, poiché CA
hanno due stati, bianco e nero
sono simmetrici in quello,
per esempio, un lambda 0
che significherebbe tutti punti fissi bianchi,
è fondamentalmente uguale ad
un lambda 1 di tutti punti fissi
neri.
Quindi se scambiate i colori bianco e nero
negli stati aggiornati ottenete
lo stesso o equivalente comportamento
solo invertendo i colori.
Questo è un pochino diverso rispetto ad r
in quello abbiamo questa simmetria.
Langton ha fatto larghe simulazioni per testare
la sua ipotesi ed ha trovato che lambda
tende ad esere un predittore migliore del comportamento
per gli automi cellulari che non sono elementari,
che quelli con una forma più grande
di vicinato rispetto a tre celle.
Guarderemo alla relazione
tra lambda e il comportamento dell'automa cellulare
usando un'applet che è stata sviluppata
al Dipartimento di Matematica
di Hobert and William Smith College.
Il link è anche
sulla pagine dei materiali del corso.
Su questa pagina, potete guardare
la simulazione Edge of Chaos.
É un'applet in JAVA
e ha alcuni complicate opzioni
che potete usare.
Per renderlo semploce prenderò
un nuovo mondo.
Avrò un numero di stati
a 2, cioà nero e bianco,
e avremo la dimensione di vicinato a 5.
Quindi ogni cella comunica
con due celle in entrambi i lati di esso.
Queste sono ancora CA
ad una dimensione.
Diremo che non c'è nessuna regola che
non sia isotropica.
Potete leggere a questo proposito sul sito,
che significa che andremo
ad usare le regole più generali,
il mondo è circolare, e così via.
Ok, creeremo un mondo,
e ora quello che faremo è scorrere
lambda con il cursore.
Quando lambda è 0
la configurazione casuale iniziale
che a malapena vedere qui
sempre aggiornato a cosa?
Allora, possiamo fare la stessa cosa avendo un nuovo mondo casuale
creando una nuova configurazione casuale iniziale,
e così via. Allora appena aumentiamo il lambda
e vediamo come cambia.
Abbiamo punti fissi totalmente bianchi
e continuiamo a muoverlo lentamente,
ogni volta che lo faccio,
la simulazione coglie un
nuovo automa cellulare che ha
questo valore lambda.
Va da sé, c'è più di un automa
cellulare con questo valore lambda,
ma ne sta prendendo uno a caso.
Ora inizio ad ottenere
un comportamento periodico, ancora periodico,
potrebbe essere un pochino complicato,
quindi aumento, aumento, aumento...ok.
Allora, un interessante forse più
interessante, e buon elemento di confronto
è avere, vediamo...iniziare con un punto.
Cioè iniziare con una cella, bianca.
Va bene, quindi continuo qui, ancora periodico.
Ora otterrò qualcosina un po'
più complicata.
Ok, allora iniziamo a guardarlo
un po' più come modello causale o caotico.
Muovo un pochino
più in su, e così via, fino a muoverlo
al centro, e ora le cose
sembrano davvero, davvero casuali.
Quindi potete giocare con questo,
e quello che ha fatto Langton era
di implementare la propria versione di questo
e fare ampi esperimenti
gurdando alle scelte casuali
di CA, per vari valori lambda,
e ha trovato che il lambda era un chiaro predittore
dei tipi di dinamiche che
di solito vedete.
Ora possono essere alcune configurazioni iniziali
che danno comportamenti diversi
di altre configurazioni iniziali
con lo stesso automa cellulare,
ma il suo interesse era sulla media dei comportamenti.
Allora, stavo usando la parola caos
in maniera un po' vaga.
Fino a che punto il comportamento
che appare casuale è davvero caotico?
Per definizione, ha una dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali?
Allora, Norman Packard ha fatto delle ricerche in proposito,
e quello che ha fatto era di guardare ai diversi
CA, qui con
un vicinato di sette celle, cioè ogni
cella guarda a tre celle su entrambi i lati.
Per ogni valore di lambda, ha provato un numero
di CA casualmente selezionati
con quel valore di lambda con un numero di
condizioni iniziali casuali, ed ha calcolato
la media della differenze, il tasso di distribuzione
che è la misura della sensibilità
alle condizioni iniziali.
Fondamentalmente, prendete lo stesso automa
cellulare e inizati con condizioni iniziali
prossime, forse un po' lontano l'uno
dall'altro, una cella nera cambiata
in cella bianca, e vedete quanto veloce
le due si diffondondo in comportamenti a parte.
C'è una misura per questo.
Ha tracciato questo come funzione di lambda
e trovate qui che avete
un comportamento molto ordinato, e qui avete
una specie di transizione per un comportamento più caotico,
e qui voi avete realemente il caos, con
una dipendenza sensibile alle configurazioni iniziali.
Invece, ottenete questo tipo di comportamento
che Langton ha ipotizzato
e Packard ha mostrato nei suoi esperimenti.
Packard ha chiamato queste regioni
l'Edge of Chaos, cioè il luogo dove
le cose non sono completamente ordinate,
e ancora non sono completamente casuali,
e questo corrisponde più o meno
alla Classe 4 di Wolfram,
ovvero, questi interessanti CA
con una lunga vita, struttre localizzate,
come nella regola 110.
Quindi in sintesi, CA
possono essere visti come sistemi dinamici
con diversi tipi di attrattori
come punti fissi, periodici, caotici,
e qella che possiamo chiamare baluardo (edge) del caos.
E queste corrispondono alle
quattro classi di Wolfram.
Il parametro lambda di Langton è un
parametro di controllo proposto che all'incirca
indica il tipo di attrattore atteso.
Altre persone hanno proposto
altri parametri di controllo relativi al lambda
che talvolta fanno un lavoro di previsione migliore.
Il Gioco della Vita è una Classe 4 di CA.
Ha tutte le proprietà che
Wolfram ha elencato per la Classe 4 di CA.
Ora Wolfram ha ipotizzato che
CA della Classe 4 sono
capaci di calcolo universale
che è qualcosa di cui vi parlerò
nella prossima sottounità.