Veamos con más detalle la idea de que los autómatas celulares son sistemas dinámicos
análogos a los mapas logísticos. Bien comparemoslos punto por punto
En los mapas logísticos en esta ecuación el valor de x en t+1 es una función
del valor de x en el momento t. Y aquí está nuestra ecuación familiar.
Bien de manera similar, los autómatas celulares elementales y de otros tipos
tenemos un estado de cosas que es nuestra configuración de la cuadrícula
de celdas negras y blancas, y la configuración de la cuadrícula en t+1
es una función de la configuración de la cuadrícula en el momento anterior.
Aquí la función está representada por la regla de ir ocupando las inmediaciones
y actualizando la celda central.
Ambos, el mapa logístico y los autómatas celulares elementales son
completamente determinístas, no hay ninguna aleatoriedad implicada.
Ambos evolucionan en intervalos temporales discretos.
En el mapa logísitico tenemos un estado continuo.
Esto es, el valor de x es un número real, mientras que en los autómatas celulares
la configuración de la cuadrícula es un estado discreto de celda negras y blancas.
Las dinámicas del mapa logístico iban de la de punto fijo, a cíclica, a caótica.
Vimos todas estas dinámicas y análogamente en los autómatas celulares,
especialmente en el autómata elemental vimos este tipo de dinámicas, de punto fijo, cíclica y caótica.
En el mapa logístico teníamos lo que se denominaba el parámetro de control r,
esto es que al mover r de 0 a 4 veíamos las dinámicas
del sistema empezaban en la de punto fijo, y pasaban a otra de atractores cíclicos
a otra en la que se dupicaba el periodo hasta llegar al caos.
¿Bien, que sería el parámetro de control para los autómatas celulares elementales o de otro tipo?
Está claro que no se trata del número de Wolfram.
El número de Wolfram no ordena los autómatas celuláres en ningún orden
que corresponda a su comportamiento, es arbitrario.
Así que la gente empezó a reflexionar sobre que serviría de parámetro de control que representara lo mismo que r.
Un valor tal que al crecer el sistema atravesara estos tipos diferentes de comportamientos dinámicos.
Chris Langton es un científico de sistemas complejos que trabaja extensamente sobre autómatas celulares,
y planteó esta idea de un parámetro lambda como propuesta de parámetro de control
para los autómatas celulares.
Para autómatas celulares de dos estados,
los del tipo que hemos observado,
en los que cada celda es negra o blanca,
lambda se define sencillamente
como la fracción de los resultados "negra"
en una tabla generadora.
Así por ejemplo, dada esta tabla generadora
contaríamos en esta columna
de estados resultantes, tenemos una, dos, tres,
cuatro, cinco, de un total de ocho.
Así que lambda sería cinco octavos.
Se trata realmente de una definición sencilla,
pero Langton ha sido capaz de demostrar
que algunos casos el valor lambda de
un autómata celular era
un predictor bastante bueno de su comportamiento.
La hipótesis de Langton era que
el comportamiento típico de los autómatas celulares
con un determinado valor lambda
se alinearía con esta escala.
Desde comportamiento de punto fijo para valores bajos
de lambda, a, según lambda crecía,
comportamientos cíclicos
y luego comportamientos caóticos.
Por supuesto, al tener los autómatas celulares
dos estados, negro y blanco,
son simétricos en el sentido de que
por ejemplo, para lambda igual cero,
que significaría todos los puntos blancos fijos,
su comportamiento es básicamente equivalente a
lambda igual 1 que sería todos
los puntos fijos negros.
De manera que si invertimos los colores
blanco y negro en los estados actualizados obtendríamos
el mismo comportamiento o equivalente
solo que con los colores invertidos.
Esto es algo distinto de r
en cuanto que tenemos esta simetría.
Langton realizó simulaciones extensas para probar
su hipótesis y descubrió que lambda
tiende a ser un predictor mejor del comportamiento
de autómatas celulares que no son elementales
que de aquellos que tienen un tamaño de entorno
mayor de tres celdas.
Vamos a observar la relación
entre lambda y el comportamiento del
autómata celular usando una applet desarrollada
en el departamento de matemáticas
del Hobert and Williams colleges.
Este enlace lo hallarán también
en la página de materiales del curso.
En esta página podrán observar
la simulación "Edge of Chaos"
una applet JAVA
que tiena algunas opciones complicadas
que podrán usar.
Para simplificar voy a
generar un nuevo mundo.
Voy a poner el número de estados
en dos, esto es negro y blanco,
y el tamaño del entorno en 5.
De esta manera cada célula se comunica
con otras dos a cada uno de sus lados.
Se trata pues de autómatas celulares
unidimensionales.
Ninguna de las reglas de generación
es no isotrópica.
Pueden leer al respecto en la página web
solo significa que usaremos
las reglas más generales,
el mundo es circular, y demás.
Bien, vamos pues a crear un mundo
y ahora podemos deslizar lambda
usando este control.
Así cuando lambda es cero
esta configuración inicial aleatoria,
que dificilmente pueden ver aquí,
siempre se actualiza a que estado?
Bien, podemos hacer lo mismo con un nuevo mundo,
que solo cree una nueva configuración inicial aleatoria,
y demás. Incrementamos lambda
y vemos que tipo de cambio se produce.
Así que aquí tenemos un punto fijo con todo blanco
y si seguimos incrementandolo lentamente
cada vez que lo hago lo que
la simulación hace es coger un
nuevo autómata celular con
este valor de lambda.
Por supuesto, existe más de un autómata
celular con este valor de lambda,
pero aquí se escoge uno al azar.
Justo ahora empiezo a obtener
un comportamiento cíclico, y aunque cíclico
puede que sea algo más complicado,
así que sigo aumentando, aumentando... vale.
Bien, algo interesante tal vez más
interesante y buena cosa comparativa
es disponer, veamos... empezar con un punto.
Es decir, empezar solo con una célula negra.
Bien, sigo adelante, aún sigue siendo periódico.
Ahora obtenemos algo ligeramente
más complicado.
Muy bien dividamos esto, y esto empieza a
parecerse algo más a un patrón aleatorio o caótico.
Lo muevo algo más
arriba, y sigo hasta que llego
aproximadamente a la mitad, y ahora las
cosas si que empiezan a verse realmente aleatorias.
Pueden continuar usándolo
y lo que hizo Langton fue
implementar su propia versión de esto
y realizar una extensa experimentación
observando autómatas celulares tomados
aleatoriamente para diferentes valores de lambda
y descubrió que lambda es un predictor aceptable
del tipo de dinámicas que
probablemente encontraremos.
Puede que una cierta configuración
inicial produzca un comportamiento distinto
del producido por otra
para un mismo autómata celular,
pero nos importa el comportamiento promedio.
Bien, he venido usando el término caos
con cierta alegría.
¿Hasta que punto es realmente caótico este comportamiento
aparentemente aleatorio?
De hecho, tiene una dependencia sensible
de las condiciones iniciales?
Bien, Norman Packard lo investigó
y lo que hizo fue observar diferentes
autómatas celulares, aquí con
entornos de siete células, esto es
cada célula se comunica con tres vecinos por cada lado.
Para cada valor de lambda probó cierto número
de autómatas celulares tomados al azar
con dicho valor de lambda con cierto
número de condiciones iniciales, y computó
la diferencia promedio de la tasa de dispersión
que es una medida de la sensibilidad
a las condiciones iniciales.
Básicamente tomamos el mismo autómata
celular y lo activamos en condiciones
inicales muy similares, puede que solo con un bit
de diferencia, cambiando una célula negra
por blanca, y observamos a que velocidad
diverge el comportamiento de ambos.
Existe una medida para ello.
Representó los resultados en función de lambda
y podemos ver aquí comportamientos
muy ordenados, y aquí tenemos como
una transición a un comportamiento más caótico,
y aquí vemos realmente caos, con una
dependencia sensible a las condiciones inicales.
De hecho observamos este tipo de comportamiento
que Langton supuso
y que Packard comprobó en sus experimentos.
Packard denominó estas regiones
el filo del caos, es decir, el lugar donde
las cosas no están del todo ordenadas,
aunque aún no son completamente aleatorias
lo que corresponde a grosso modo a
la clase 4 de Wolfram.
Es decir, aquellos autómatas celulares
con estructuras duraderas y localizadas,
como las de la regla generadora 110.
Resumiendo, los autómatas celulares
pueden ser vistos como sistemas dinámicos
con diferentes tipos de atractores
como los de punto fijo, cíclicos, caóticos,
y lo que podemos denominar como filo del caos.
Y estos corresponden a la clase
4 de Wolfram.
La lambda de Langton se propone
como parámetro de control capaz
de dar indicios acerca del atractor previsible.
Se han propuesto otros
parámetros de control relacionados con lambda
capaces de hacer mejores predicciones.
El "juego de la vida" es un autómata de clase 4.
Cumple todas las propiedades que
Wolfram enumeró para los autómatas celulares de clase 4.
Wolfram planteó la hipótesis de
que los autómatas celulares de clase 4
son capaces de computación universal,
algo de lo que hablaré
en la próxima unidad.