Ahora podemos experimentar con la dimensión de conteo de cuadros
usando el modelo de netlogo llamado "boxcountingdimension.nlogo"
Pueden ver que nos permite iterar ejemplos de fractales, como hicimos en el modelo anterior
Vamos por cuatro iteraciones de este.
Lo que podemos hacer en este punto es comparar la dimensión de Hausdorff de 1.262
con una aproximación de conteo de cuadros.
Voy a seleccionar Box Counting Setup y podrán ver que hay una longitud inicial
de cuadros establecida en 10, que cambiar. Aquí está el cuadro inicial
y el incremento será de 1.0, así que incrementaremos el tamaño de
los cuados en 1 unidad por iteración. Aquí esto nos dice cuántos cuadros hay.
Y miren aquí mientras hacemos el conteo de cuadros, donde el modelo va a trazar
el logaritmo del número de cuadros versus el logaritmo de 1 sobre la longitud
de cuadros por cada iteración. Así que haremos eso con el botón de
boxcounting go. Esto es como cuando vimos una malla de cuadros sobre la figura
aquí no se ve toda la malla, sino solo los cuadros que contienen piezas de la figura.
En cada iteración vemos cuál es la extensión de un cuadro y el número
de cuadros que estan siendo contados. Y aquí esos valores están siendo trazados.
Verán que comienza a asemejarse a una línea recta.
Si seguimos los cuadros se hacen cada vez más grandes.
Luego podemos detenerlo seleccionando el boton "boxcounting go"
en cualquier momento. No lo he hecho correr por mucho tiempo
pero tengo algunos puntos y lo que puedo hacer es encontrar la línea que mejor se
ajuste con una regresión lineal y computar la dimensión de conteo de cuadros
de 1.122, que es ligeramente diferente de la dimensión de Hausdorff de 1.262.
Eso es porque el conteo de cuadros es solo una aproximación.
Podríamos obtener una mejor aproximación si partieramos con una longitud de cuadro menor
o si empezaramos con un incremento menor, pero, claro, eso tomaría más tiempo.
Comenzemos con nuestra curva de Koch. Iteramos, iteramos...nuestra aproximación
también mejoraría si iteraramos más. "Boxcounting setup", luego "go".
Esto lo puedo acelear, pero aún es un cálculo algo lento.
Netlogo no es conocido por su extrema velocidad para computar.
Es fácil programar en él pero no es super rápido.
Pueden hacer correr esto y por mientras ir por una taza de café, como suelen hacer
los científicos de la computación, esperando a que sus programas terminen.
Déjenlo correr por muchas iteraciones y luego vean qué tanto se asemeja la
dimensión de conteo de cuadros con la dimensión de Hausdorff.
Verán que para el próximo ejercicio deberán testear eso.