Ahora ya podemos dar una definición precisa de dimensión.
Supón que hacemos lo que hemos estado haciendo;
es decir, creamos una estructura geométrica a partir de un objeto D-dimensional como una línea, un cuadrado, o un cubo
a base de dividir repetidamente la longitud de sus lados entre un número M.
Eso es exactamente lo que hicimos antes.
Por ejemplo, cuando biseccionabamos los lados, el número M era 2 (M = 2)
Cuando triseccionabamos los lados, el número M era 3 (M = 3), etc.
Así pues, esta es nuestra norma y comprobamos que en cada nuevo nivel
obtuvimos M elevado a D (M^D) copias de la figura del nivel anterior
todas ellas reducidas por un factor M.
Llamemos N al número de copias.
Bien, tenemos que N es igual a M elevado a D (N = M^D)...simplemente estamos renombrandolo como N.
Ahora podemos definir D tomando el logaritmo en ambos lados
así tenenemos que log N es igual a D multiplicado por log M (log N = D log M)
aplicando una de las propiedades del logaritmo que vimos en el vídeo anterior.
Ahora podemos decir que D, la dimensión, es igual a log N dividido entre log M (D = log N /log M)
Por lo tanto, la dimensión se define como el logaritmo del número de copias que obtenemos dividido entre el factor de reducción de los lados.
Comprobemos que esta fórmula realmente concuerda con nuestra noción estándar de dimensión.
Comprobemoslo para la Dimensión-1,
tomemos el caso en el que M es igual a 2 (M = 2)
Es decir, dividimos cada lado en dos mitades iguales
por tanto M es 2 y N, el número de copias de la línea, es 2,
así pues, si consideramos que D es igual a log 2 entre log 2, obtenemos como resulatdo 1 (D=log2/log2=1)
Funciona poruque nos da la dimensión correcta, Dimensión-1.
Ahora veamos que ocurre en el caso de la trisección.
Para la trisección, M es igual a 3 (M=3).
Dividimos cada lado en tres partes iguales.
Recuerda que para una dimensión, N (el número de copias) era 3 (N=3)
Por lo tanto; D es igual a log 3 entre log 3 que nos da 1 (D=log3/log3=1)
De nuevo, vemos que funciona ya que el resultado es dimensión 1 (D=1)
Así pues, nuestra fórmula concuerda con lo que de manera intuitiva consideramos que era la dimensión correcta.
Hagamos la comprobación para objetos bidimensionales (Dimensión-2)
Cuando biseccionamos un objeto bidimensional, la dimensión es igual a log 4 dividido entre log 2. Esto es igual a 2 (D=log4/log2=2)
Puedes comprobarlo con tu calculadora si lo deseas.
En el caso de la trisección tenemos que M es igual a 3 (M=3) y N es igual a 9 (N=9)
Así, D es igual a log 9 dividido entre log 3 que nos da 2 (D=log9/log3=2), por lo tanto funciona.
Por último, para la Dimensión-3... bueno, te dejo que lo compruebes por ti mismo, y te aseguro que funciona.
Todo esto que hemos ido reuniendo nos lleva a donde queríamos,
que era calcular la dimensión de La Curva de Koch.
Si recuerdas en La Curva de Koch
dibujamos un segmento, luego eliminamos el tercio central
y lo reemplazamos por un ángulo cuyos lados son de la misma longitud que los otros dos.
Esto es, un tercio del segmento original en esta configuración.
Luego repetimos este proceso una y otra vez hasta que conseguimos algo como esto.
Podemos seguir tanto tiempo como queramos.
Tenemos que para La Curva de Koch, M es igual a 3 (M=3)
Recordemos que hemos reducido el tamaño de los segmentos por un factor de 3.
N, el número de copias en cada nivel, es 4 (N=4)
En cada nivel, sustituímos las figuras del nivel anterior por cuatro copias dispuestas en esta co.nfiguración
De cacuerdo con nuestra definición, la dimensión de La Curva de Koch es
log 4 dividido entre log 3, es decir, log N dividido entre log M (D=log4/log3=logN/logM)
que utilizando la calculadora nos da aproximadamente 1.26 (D=1.26)
Pero, ¿qué significa esto exactamente?
Por un lado, significa que la dimensión de esta curva se aproxima a 1.26.
Es decir, se acerca a 1.26 conforme repetimos el proceso en más y más niveles
Pero, ¿qué significa ese 1.26? ¿Qué significa que una dimensión está entre 1 y 2.
No es fácil de entender intuitivamente,
pero se puede decir que es una medida de cuánto aumenta el número de copias con la disminución en tamaño del segmento.
De forma somera, es una especie de densidad de la autosimilitud.
Para las figuras geométricas habituales, la dimensión es un número entero,
pero para los fractales, que quizá tengan una mayor densidad de autosimilitud,
la dimensión puede ser una fracción.
Para que os hagáis una idea, dejadme que cite algo de mi libro, "Complexity: A Guided Tour"
en el que hablo del significado de dimensión fractal. Ahí va la cita:
"He visto muchos intentos de describir intuitivamente el significado dimensión fractal.
Por ejemplo, hay quien dice que la dimensión fractal representa la rugosidad, la escabrosidad, lo áspero o complejidad de un objeto.
El grado de fragmentación de un objeto y cuán densa es su estructura.
Pero hay una descripción que me gusta especialmente, es una idea muy poética según la cual la dimensión fractal "cuantifica la cascada de detalle" de un objeto.
Es decir, cuantifica cuánto detalle puedes ver en todas las escalas
conforme te sumerges cada vez más hondo en una cascada de autosimilitud.
Para estructuras que no son fractales, como pueda ser una canica suave y redonda
cuando miras su estructura a mayor aumento cada vez,
llega un nivel en el que no se encuentran detalles interesantes.
Por el contrario, los fractales poseen detalles interesantes en todos los niveles
y la dimensión fractal, de algún modo cuantifica cuán interesante es el detalle
en función del aumento que has de hacer en cada nivel para observarlo."
Esa era la definición que aparece en mi libro,
por supuesto, esa descripción de poseer detalles interesantes en todos los niveles se aplica a los fractales matemáticos perfectos
pero se aproxima a lo que llamamos fractales en la naturaleza.