Noțiunea de dimensiune a fractalilor joacă un rol important în înțelegerea fractalilor.
Toți am învățat la matematică, în școală că liniile sunt uni-dimensionale.
pătratele și cercurile sunt bi-dimensionale și
cuburile și sfere sunt tri-dimensionale.
Aceste obiecte geometrice perfecte sunt folosite de multe ori de oameni de știință și de matematicieni pentru a modela niște atribute ale unor obiecte din natură.
Totuți, după cum a afirmat Benoit Mandelbrot
”Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri, liniile de coastă nu sunt cercuri iar scoarța de copac nu e netedă,
și nici fulgerul nu se deplasează în linie dreaptă.”
Mandelbrot a sugerat că fractalii sunt mult mai potriviți pentru a modela aspecte din natură decât alte noțiuni geometrice mai convenționale
și a căutat să dezvolte un nou tip de geometrie fractală pentru a descrie natura.
Pentru a dezvolta acest nou tip de geometrie trebuie să examinăm conceptul de dimensiune.
Haideți să vedem ce înțelegem noi prin conceptul normal de dimensiune.
Noțiunea normală de dimensiune reprezintă cât de mult se extinde un obiect într-o anumită direcție.
De exemplu, o linie este uni-dimensională. Se extinde într-un spațiu uni-dimensional.
Un pătrat este bi-dimensional. Se extinde în două direcții.
Și un cub este tri-dimensional, se extinde în trei direcții.
Dar unde încadrăm ceva de tipul Curbei Koch?
Ei bine, este formată din linii drepte.
Vă puteți gândi că este uni-dimensională dintr-un anumit punct de vedere.
Vă puteți imagina cum se întinde.
Dar, problema este, că cu cât construim mai multe nivele devine mai lungă
și dacă adăugăm un număr infinit de nivele lungimea sa devine infinită.
Deci toate aceste mici denivelări și depresiuni o fac să fie cumva între uni-dimensională și bi-dimensională.
Și o să vă arăt de ce.
Este o noțiune foarte ciudată, faptul că ceva poate avea o dimensiune fractală.
Dar dacă vă gândiți în profunzime la ceea ce înțelegem prin dimensiune, atunci începe să capete sens.
Să privim dimensiunea din punct de vedere matematic, precis.
Acesta este un mod de a caracteriza dimensiunea.
Priviți ce se întâmplă dacă continuați să bisecta-ți, adică să împărțiți în două părți egale, linii, laturi de pătrate, cuburi, etc.
Avem o linie, exact aici. Următorul pas, după cum indică această săgeată, este să o împart în două.
Deci, împart linia în două părți egale.
Și apoi fac același lucru ca un proces iterativ.
Iau această linie mai mică, o împart în două părți egale și
apoi iau această linie mai mică și o împart în două părți egale etc.
Pot să fac același lucru și în cazul unui pătrat.
iau latura asta și latura asta și le împart în două părți egale și obțin două pătrate mai mici.
Fac același lucru și iau fiecare latură a lor și le împart în câte două părți egale și obțin
patru pătrate mai mici din pătratul original, ș.a.m.d.
Pot continua să fac asta.
Acesta este cubul meu, am luat fiecare latură de aici și am împărțit-o în două părți egale, am reptat procesul și aici sus.
Vedeți acum că aceasta este o iterație, o modalitate prin care se construiește un fractal, dacă vreți.
Dar acum putem să începem să măsurăm și
ne putem uita, în cazul liniei noastre la un obiect uni-dimensional.
Când am împărțit linia în două părți egale la fiecare nivel am văzut
că segmentele de la fiecare nivel sunt formate din 2 copii cu lungimea de 1/2 din lungimea segmentului de la nivelul anterior.
De exemplu, acest nivel de aici este format din două copii,
amândouă sunt linii care fiecare au o lungime de egală cu jumătate din lungimea de la nivelul anterior.
La fel și aici, fiecare dintre acestea are 1/2 din lungimea acestora și sunt două copii.
Bun, dacă ne uităm la pătrat vedem că fiecare nivel este format din patru copii fiecare având 1/4 din dimensiunea figurii de la nivelul anterior.
Dacă considerăm că acesta este nivelul original atunci avem: una, două, trei, patru copii
Patru noi pătrate, și fiecare are 1/4 din dimensiunea pătratului original.
Facem același lucru și aici. Fiecare dintre aceste patru pătrate originale este format din patru copii și fiecare are 1/4 din dimensiunea pătratului original, ș.a.m.d.
Și putem vedea că la Dimensiunea 3, fiecare nivel este format din 8 copii, fiecare are 1/8 din dimensiunea pătratului de la nivelul anterior.
Puteți încerca și voi pe un cub cu patru dimensiuni.
De fapt, acest lucru poate fi cam greu de realizat.
Puteți vedea un model aici și vă pot spune că fiecare nivel al unui cub cu patru dimensiuni, sau un hiper-cub
este format din 16 copii, fiecare are 1/16 din dimensiunea cubului de la nivelul anterior.
Acum este rândul vostru.
Să presupunem că aveți un cub cu 20 de dimensiuni. Din ce este format fiecare nivel?
Aceasta este întrebarea pentru chestionar.