Ora alziamo R al valore di 3.1
ora vedremo una cosa un po' diversa
ok. Cliccherò "Go" molte volte
e quello che vedrete è che
invece di assestarsi a un punto fisso
vedrete un'oscillazione
tra due diversi valori
quando xt è 0.558 x(t+1) è 0-7646
Ora se clicco ancora "go", questi due valori si scambiano.
e così via per sempre.
Questo è detto "attrattore periodico" con periodo due.
E' detto "periodo 2" perché ripete se stesso ogni 2 intervalli di tempo.
Ora devo definire un altro termine per voi
è il termine "stato".
Lo stato del sistema, in questo caso, è definito come
un valore per xt e x(t+1). E' un punto su questo grafico.
Esso è uno stato del sistema.
quello che puoi vedere è che, se guardi il punto sul grafico,
il sistema oscilla tra 2 diversi stati.
Questo è detto "attrattore periodico" di periodo 2.
Ora, supponi che io sposti R a 3.2
Set up. Go. E continuo a cliccare su Go.
Ciò che vedrò
è ancora questo tipo di dinamica oscillante
ma i punti precisi tra cui il puntino sta oscillando
sono diversi rispetto al precedente valore di R
Dunque questo sistema, con R a 3.2
ha lo stesso tipo di dinamica, lo stesso tipo di dinamica
periodica di periodo 2
ma i valori esatti di quei 2 stati
tra cui oscilla sono diversi rispetto che per R = 3.1
Ora poniamo R a 3.5
e Go. Vediamo un diverso comportamento
quando il sistema alla fine si assesta
quello che vediamo
è un ' oscillazione, ma stavolta
risulta che l'oscillazione è tra 4 diversi stati del sistema, non 2.
vediamo se osserviamo ciò guardando il puntino blu
Uno. Due. Tre. Quattro.
Sta ripetendo se stesso.
Quindi questo è un attrattore periodico di periodo 4
Quindi il periodo è raddoppiato.
E, se continui a fare questo, a muovere R in su di poco
troverai a un certo punto che il periodo raddoppia ancora
che si trova un attrattore di periodo 8
e poi un attrattore di periodo 16
e po un attrattore di periodo 32
e così via, fino a che alla fine
raggiungiamo uno stato in cui
non abbiamo più un attrattore periodico.
Possiamo osservare ciò quando portiamo R al caso estremo
di 4. Set up. Go.
Vedi che il sistema
inizia ad apparire piuttosto random.
clic
così, se il tuo tasso di crescita è 4 ne consegue che
quando inizi a iterare il sistema,
diventa molto difficile prevedere
quale diventerà lo stato del sistema
in un istante successivo senza far andare davvero il sistema
attraverso tutta la serie di iterazioni.
Non si assesta in un pattern ovvio e ordinato
Invece, viene fuori un esempio di caos
Ora, ricorda che prima ho detto che caos significa
dipendenza sensibile da condizioni iniziali
Possiamo vedere come funziona se apriamo il modello chiamato
sensitivedependence.nlogo
E' un modello simile al precedente
ma ci permette di vedere gli effetti della dipendenza sensibile a condizioni iniziali
facendoci tracciare due condizioni iniziali e la loro dinamica.
Qui ho R=4, x0=0.2 , come prima, ma ora ho un altro x0
un x0primo.
Si può pensare che questa sia una nuova condizione iniziale
che è fatta scattare insieme
con quest'altra condizione iniziale anche se
non si influenzano a vicenda.
Ognuna obbedisce solo alla matematica della mappa logistica.
Le ho settate circa uguali. Con l'unica differenza che
x0' ha un uno fuori dal quinto decimale.
Così, quando faccio "Set up"
vedo in realtà che compare un puntino rosso
che rappresenta questo x0'
e un puntino blu, che rappresenta x0
Ma il puntino blu è nascosto
perchè sta proprio sotto quello rosso
perchè sono quasi uguali
Ed il valore qui, 0.64 per l'stante uno
è quasi uguale al valore per l'istante uno, qui.
Fai Go e puoi vedere i due puntini viaggiare insieme
Non si può ancora vedere il punto blu
in questo modo caotico... ma dopo un certo numero di istanti
qui solo 16, essi iniziano a separarsi.
e si può vedere, se lo traccio ancora un po'
.... ....
Guarda questo tracciato.
La traccia blu e la traccia rossa iniziano ad essere molto diverse
e finiscono con l'apparire molto non-correlate
Ciò dimostra che anche se parti da condizioni iniziali simili, quasi uguali
dopo un certo numero di istanti temporali
il comportamento di questi 2 differenti sistemi
sarà molto, molto differente.
Ora poniamo di non sapere che c'è un .1 qui nel quinto decimale
E' possibile.
e supponiamo che noi siamo gli scienziati che cercano di fare una previsione
Ebbene, predirremmo che il sistema finisca qui?
o qui?
dopo 40 intervalli di tempo?
Bene, è impossibile sapere e questo ci ricorda la frase di Poincaré
il quale disse: "la previsione diventa impossibile.
Il significato di questo esempio è stato dichiarato in modo eloquente
dal biologo Robert May nel 1976 nel suo lavoro sulla mappa logistica
disse: "il fatto che l'equazione semplice e deterministica
(cioè la mappa logistica) possa avere traiettorie dinamiche
che appaiono come rumore random, ha implicazioni pratiche inquietanti.
Significa, ad esempio, che fluttuazioni apparentemente irregolari
nei dati di censimento di una popolazione animale
non hanno bisogno di essere ricondotte ad un
ambiente imprevedibile o ad errori di campionamento,
esse possono semplicemente derivare da una relazione di crescita
della popolazione" rigidamente deterministica (la mappa logistica).
"In alternativa si può osservare che nel regime caotico",
nel ns. caso con R=4, "condizioni inziali arbitrariamente vicine possono portare
a traiettorie che, dopo un tempo "lungo", divergono di molto.
Ciò significa che,anche se abbiamo un semplice modello in cui
tutti i parametri sono esattamente determinati,
la previsione a lungo termine è comunque impossibile."
E questa frase ricorda l'affermazione di Poincaré: "La previsione diviene impossibile"
Questa è un'altra rappresentazione della dinamica della mappa logistica
Questo è un diagramma di biforcazione ed ecco cosa mostra.
Sull'asse orizzontale mostra R
abbiamo guardato il comportamento della mappa logistica per molti di questi valori
sull'asse verticale mostra x-- , attrattore, cui il sistema giunge per un dato valore di R
Ad es. quando abbiamo messo R a 2.8 e iterato la mappa logistica fino all'attrattore,
abbiamo visto che il valore raggiunto
era un po' più di 0.6
Abbiamo poi visto che a certi valori di R
la dinamica cambia all'improvviso. Per esempio,
vicino ad R=3, la dinamica cambia da attrattore a punto fisso
ad attrattore a periodo 2. E poi, aumentando R, troviamo ancora
un attrattore a periodo 2, ma solo con valori diversi
di attrattore
Analogamente, vicino a R=3.4 si vede uno shift da attratt a periodo 2 ad attratt a periodo 4
Questo è ciò che i quattro valori rappresentano.
E poi a periodo 8.
si vede questa struttura ramificata fino a che alla fine
circa a R=3.55, la dinamica smette di essere periodica e diviene caotica.
Questo valore di R (e vi dirò qual è tra poco)
è chiamato "la soglia del caos".
Dunque, in questa subunit abbiamo visto
come funziona la mappa logistica
e come mostra la cosiddetta "strada verso il caos raddoppiante il periodo"
Nella prossima subunit vedremo qualcosa di sorprendente
a proposito di specifiche caratteristiche di questa strada raddoppiante il periodo
E guardate che anche se i sistemi caotici come la mappa logistica
non sono prevedibili in dettaglio, esistono proprietà universali che li accomunano tutti.