Ahora vamos al valor de 3.1
Ahora vamos a ver algo ligeramente diferente
OK. Pulsamos "go"
muchas veces
Y podemos ver que, en lugar de
estabilizarse en un punto fijo,
podemos ver una oscilación entre 2 valores diferentes
cuando x sub-t es 0.558, x sub-(t+1) es .7646
Ahora pulsa "go" de nuevo
Estos dos valores se alternan indefinidamente
A esto se le llama atractor periódico con periodo 2.
Se llama periodo 2 porque se repite cada 2 unidades de tiempo.
Ahora necesitamos definir otro término, que es el término estado.
El estado del sistema en este caso está definido como un valor para
x sub-t y x sub-(t+1) que, es un punto en esta gráfica.
Éste es el estado del sistema.
Y lo que puedes ver es que, si miras el punto en la gráfica,
el sistema oscila entre 2 estados diferentes.
A ésto se llama atractor periódico de periodo 2.
Ahora, supón que movermos R hasta 3.2
"setup" "go"
Continúa pulsando "go".
Veremos el mismo tipo de dinámica oscilante,
pero los puntos exactos entre los que el punto azul oscila
son diferentes de los valores previos de R.
Así que, este sistema, establecido con R = 3.2, tiene
el mismo tipo de dinámica, el mismo tipo de dinámica periódica con periodo 2,
pero los valores exactos de estos dos estados
entre los que oscila son diferentes a 3.1.
Ahora movemos R hasta 3.50.
"go"
Y veremos un tipo diferente de comportamiento,
y el sistema finalmente se estabiliza.
Lo que vemos es una oscilación, pero,
esta vez, resulta que la oscilación es entre 4 estados diferentes del sistema,
no 2.
Así que veamos si podemos verlo siguiendo el punto azul:
1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4
Y se repite...
Ésto es un atractor periódico con periodo 4.
Así que el periodo se ha duplicado.
Y si puedes continuar ésto, moviendo R en pequeñas cantidades,
encontrarás un momento en que el periodo se duplicará de nuevo,
y dará un atractor de periodo 8,
y depués un atractor de periodo 16,
y después un atractor de periodo 32,
etc., etc.
Hasta que, finalmente, alcanzamos un estado en el que
ya no tenemos ningún atractor periódico.
Lo que vemos cuando movemos R al caso extremo de 4...
"setup"
"go"
Lo que veremos es que el sistema
empieza a parecer aleatorio.
(pulsa "go" repetidamente)
Así que si la tasa de crecimiento es 4
resulta que, cuando empezamos a iterar el sistema, resulta
muy difícil predecir cuál será el estado del sistema tras un periodo de tiempo
sin iterar el sistema por completo.
Así que no se estabiliza en ningún patrón ordenado.
Al contrario, resulta que ésto es un ejemplo de caos.
Ahora, recuerda que antes dije que caos
significa dependencia sensitble a las condiciones iniciales
Por tanto, podemos ver cómo funciona todo ésto
abriendo el modelo llamado "SensitiveDependence.nlogo".
Ésto es un modelo similar a nuestro modelo previo,
excepto que nos permite ver los efectos de la
dependencia sensible a las condiciones iniciales,
permitiéndonos representar dos condiciones iniciales y sus dinámicas.
Así que aquí tengo R = 4, x0 = 0.2, como antes.
Pero ahora tenemos otro x0:
x0' del que puedes pensar que es una nueva condición inicial
que va a ejecutarse simultáneamente a las otras condiciones iniciales,
aunque sin afectarse la una a la otra.
Cada una obedece las matemásticas del mapa logístico.
Y las ajusto casi iguales
La única diferencia es que x0' tiene un 1 en la quinta posición decimal.
Así que hago "setup".
Y de hecho veo que hay
un punto rojo que representa este x0'
y un punto azul que representa a x0.
Pero el punto azul está oculto, porque está exactamente
bajo el punto rojo: son casi iguales,
y el valor aquí, 0.64 en el intervalo 1,
es casi igual que el valor en el intervlo 1 aquí.
Vamos a "go" y vemos los dos puntos viajando juntos.
Todavía no podemos ver el punto azul en este camino caótico,
pero tras un número de intervalos,
aquí sólo 16, empiezan a separarse.
Y podemos ver, cuando continúo trazando los puntos un poco más,
(Pulsa "go" repetidamente)
Mira este gráfico aquí: los trazados azul y rojo comienzan a ser muy diferentes,
y no parecen correlacionados.
Lo que se muestra es que, incluso si empezamos con condiciones iniciales
muy parecidas, casi iguales, después de algunos intervalos,
el comportamiento de estos dos sistemas diferentes parecerán muy diferentes
Ahora supón que no sabíamos que existe ese 1 en el quinto decimal.
Esto es muy posible, y somos científicos tratando de hacer una predicción.
Bien, ¿precidiremos que el sistema acabará aquí?
¿o acabará aquí?
después de 44 unidades de tiempo.
Ésto es imposible saberlo, y ésto repite la cita de Poincaré
que decía: "La predicción llega a ser imposible"
La significación de este ejemplo fue declarada con gran elocuencia
por el biólogo Robert May en 1976
en su articulo sobre mapas lógisticos, cuando dice:
"El hecho de que la simple y determinista ecuación
(esto es, el Mapa Logístico)
pueda tener trayectorias dinámicas que parecen tener algún tipo de ruido
aleatorio tiene implicaciones prácticas inquietantes.
Significa, por ejemplo, que las fluctuaciones aparentemente erráticas
en los datos del censo de una población animal
no tienen por qué considerarse necesariamente caprichos de
un ambiente impredecible, ni errores de muestreo;
pueden derivarse simplemente de una relación de crecimiento de población
rígidamente determinista, esto es, el mapa logístico.
Alternativamente, se puede observar que en el régimen caótico, en nuestro caso, con
R=4, condiciones iniciales arbitra- riamente próximas pueden conducir
a trayectorias que, tras un periodo sufi- cientemente largo, divergen ampliamente.
Esto significa que, incluso si tenemos un modelo simple
en el que todos los parámetros están determinados exactamente,
la predicción a largo plazo, a pesar de todo, es imposible.
Y este es un bonito ejemplo de la cita de que
la predicción de Poincaré es imposible.
Ésta es otra representación de la dinámica del mapa logístico.
Esto es un diagrama de bifurcación,
que en el eje horizontal muestra R,
y vemos el comportamiento del mapa logístico
para varios valores diferentes,
y el el eje vertical muestra x,
que es el atractor que alcanza el sistema,
dado un valor particular de R.
Por ejemplo, cuando ajustamos R = 2.8,
e iteramos el mapa logístico hasta que alcanza el atractor,
encontramos que el valor que alcanzamos es
algo mayor de 6... Perdón: 0.6.
También vemos que para ciertos valores de R,
la dinámica cambia abrúptamente.
Por ejemplo, cerca de R próximo a 3,
la dinámica cambia de un punto fijo a un atractor de periodo 2.
Y conforme subimos el valor de R,
seguimos con un atractor de periodo 2, pero con diferentes valores del atractor.
De forma similar, cerca de R = 3.4, vemos un cambio de
periodo 2 a periodo 4. Esto es lo que representan estos 4 valores.
Y después a periodo 8. Y vemos esta estructura de ramificación.
Hasta que al final, en algún punto cerca de R = 3.55,
la dinámica deja de ser periódica y se convierte en caótica.
A este valor de R (y os explicaré cuál es un poco más adelante) se llama
el comienzo del caos. Así que, en esta subunidad hemos visto
cómo funcional el mapa logístico, y cómo exhibe lo que
llamamos un camino de duplicación del periodo hacia el caos.
En la siguiente subunidad veremos algo sorprendente
sobre los detalles específicos
de este camino de duplicación del periodo.
Y fijaos que incluso en este sistema caótico, en el mapa logístico,
que no es predecible en detalle,
hay ciertas propiedades universales que todos comparten