Mapa Logistico
Agora vamos explorar a dinâmica do modelo logistico
Você talvez se lembre que n_t+1 é a população no tempo t mais um
e que isso é igual à taxa de natalidade menos a taxa de mortalidade
vezes a população no tempo t
menos o número de individuos que morreram devido a superpopulação
que é a população no tempo t ao quadrado
dividido pela população máxima ou capacidade de pessoas.
Eu vou começar escrevendo isso num formato mais simples
primeiro vou definir
R representando a taxa de natalidade menos a taxa de mortalidade
e vou definir K igual a população máxima
Agora posso escrever
esta equação do topo
usando estes novos simbolos
agora farei um pouco de algebrismo
se você não gosta de algebra
tente seguir e se não entender,
não é um realmente um problema
é apenas o resultado final que precisa saber.
o que vou fazer é dividir
os dois lados desta equação
por K
agora eu vou definir mais um simbolo
sera Xt é igual a nt divido por K
agora eu posso reescrever está equação
usando meu novo simbolo
esta equação representa
a fração da população atual em relação
à população máxima
em um momento dado
e isto é igual à
R vezes a fração no momento de tempo anterior
menos essa mesma fração ao quadrado
e isto é conhecido como mapa logistico
e esta vem a ser a equação mais famosa
no campo de teoria do caos.
Vamos reescrever o mapa logistico aqui
para maior clareza
bem simples, não?
como frequentemente acontece
é mais interessante do que aparenta.
muitas pessoas vêem estudando profundamente esta equação
desde que Verhulst propos o modelo.
Dois exemplos proeminentes de pessoas
que estudaram são Lorde Robert May
um biólogo teórico que escreveu um artigo
muito influente sobre essa equação na década de 1970
e Mitchell feigenbaum um fisico teórico
que trabalhou extensamente nessa equação
na década de 80.
e é provavelmente a pessoa mais associada
com ela na comunidade cientifica.
Note que X é a população
em algum tempo
dividio pela capacidade populacional
ou população máxima
então X é sempre um número real entre zero e um
é por isso que esta equação é chamada de mapa
que pega neste lado
um valor atual entre zero e um
e mapeia em um novo valor
que também esta entre zero e um
Vamos ver um exemplo
vamos definir R igual a 2
e nossa população inicial sobre capacidade populacional
X_zero igual a 0,2
isto é, vinte por cento da capacidade populacional
agora podemos iterar esse mapa
então pegue sua calculadora
vamos calcular X_um
isto vai ser igual a 2, nosso valor de R
vezes 0,2 menos 0,2 ao quadrado
de acordo com meus cálculos isso é igual a 0,32
então passamos de vinte por cento da capacidade populacional
para trinta e dois por cento
agora o que acontece no próximo ano
no próximo ano nós temos 2 vezes,
agora usamos o valor de nossa iteração anterior
0,32 menos 0,32 ao quadrado
isto é igual a 0,4352
vamos continuar, mas um pouco mais rápido agora
e sempre depois disso vamos obter 0,5 como resposta
isto significa que se a sua taxa de crescimento
que é a taxa de natalidade menos a taxa de mortalidade
for igual a 2
e você iniciar com vinte por cento da capacidade populacional
sobre esse modelo
a população vai sempre parar em cinquenta por cento da capacidade populacional
há duas coisas que devo destacar aqui
primeiro, estou usando o termo modelo
para me referir a uma equação matemática
isto é, o mapa logistico, este é o modelo
É chamado modelo pois e uma representação simplificada
do verdadeiro fenômeno do crescimento populacional
eu também me refiro ao programa de computador
que escrevemos ou usamos no NetLogo como modelos
pois eles também são representações simplificadas
de fenômenos reais.
A palavra modelo é um termo bem geral em ciência
para qualquer representação simplificada da natureza
seja uma equação , um programa de computador
um desenho,ou o qualquer outra.
A segunda coisa a destacar, é que este valor
0,5 é chamado um atrator.
é um atrator para o sistema pois, o sistema é
de certo modo atraído para ele, acontece que
mesmo que tivéssemos iniciado com um uma população inicial diferente
digamos X-zero de 0,8 o sistema ainda terminaria em 0,5
depois de um certo número de passos
quando o sistema termina em um único valor, como 0,5
este valor é chamado, um ponto fixo.
pois o valor, ou o ponto permanece fixo
portanto para este sistema 0,5 é chamado
um ponto fixo atrator
e por este sistema eu quero dizer novamente esta equação com R igual a dois
frequentemente os termos modelo e sistema
são usados como sinonimos,
espero que isto não se torne muito confuso
em todo caso veremos outros casos de atratores na próxima subunidade
finalmente, vamos olhar um modo diferente de visualizar a dinamica do mapa logistico
isto é, como muda conforme iteramos.
Eu irei desenhar o gráfico da equação do mapa logistico para R igual a 2
os dados aqui em baixo são x_t
e os dados aqui são X_t+1
não um grande desenho, mas grosseiramente se parece com isso
uma parábola, e varia entre zero e um, aqui e aqui,
para R igual a 2, varia entre zero e 0,5, como o máximo
vamos por 0,5, aqui no eixo x,
então podemos seguir os passos que demos antes
em calcular os valores dados
nosso primeiro valor, se você se lembra,
X1 era 0,32, isto é X1, nós achamos que 0,32 é aproximadamente
aqui, e o valor de y para isso é, na parabola 0,4352
isto é X_2
isto é o ponto (X1, X2)
então n´s pegamos nosso valor para X_2
e encontramos aqui embaixo
no eixo x, aqui
pois vamos calcular nosso próximo valor da função
0,4352, aqui embaixo, é por aqui
e isto corresponde à este ponto
na parabola, este é X_3, 0,49160192
este ponto aqui é, (X2, x3)
então pegamos nosso velho X_3 que é 0,49160192
achamos isto no eixo x
então vamos aqui para achar X_4, que é 0,4999999......
e continuamos fazendo isso
e finalmente nós achamos exatamente 0.5 e 0.5, e uma vez que
são ambos 0.5 o sistema não vai para lugar nehum
sempre permanece nesse ponto
então você pode pensar em pular de um ponto para outro
ao longo dessa parabola
como exemplo da dinamica do sistema
com esse valor de R, e nosso ponto de inicio
e isto é chamado uma trajetória.
Agora esta na hora do nosso próximo quizz.
você precisa de uma calculadora para esse quizz
defina R=2,5
e X_zero como 0,2
use a equação para o mapa logistico
preenchendo com 2,5 para R
e começando agora com X_zero de 0,2
para calcular X1, X2, X_3 e assim por diante
até alcançar o ponto fixo
qual é esse ponto fixo?
eu relembro, que um ponto fixo
é um valor de x, tal que Xt é o mesmo que Xt+1