Zajmijmy się teraz badaniem dynamiki modelu logistycznego
Może pamiętacie, że n z indeksem t+1
przedstawia liczebność populacji w czasie t+1
i równała się iloczynowi wskaźnika urodzeń pomniejszonego o wskaźnik śmiertelności
oraz liczebności populacji w czasie t pomniejszonej o liczbę jednostek
które zmarły z przyczyny nadmiernego zagęszczenia
którą obliczamy jako iloraz populacji w czasie t do kwadratu
oraz maksymalnej populacji mozliwej w danym środowisku
Zacznę wszystko od zapisu w prostym formacie
Po pierwsze, zdefiniuję R jako różnicę wskaźnika urodzeń
i wskaźnika śmiertelności
Natomiast zmienna k będzie oznaczać maksymalną populację
Teraz mogę zapisać powyższe równanie używając poniższych symboli
Teraz użyję małej dawki algebry
więc jeśli nie lubicie algebry nie zniechęcajcie się
jeśli czegoś nie rozumiecie
Najważniejsze żebyście zrozumieli wynik końcowy, jaki otrzymamy
A więc, mam zamiar podzielić obie strony tego równania przez k
czyli przez maksymalną liczebność populacji
Chcę zdefiniować jeszcze jeden symbol
I będzie to x z indeskem t, które będzie równe
n z indeksem t dzielone przez k
Teraz moge przepisać nasze ostatnie równanie używając nowego symbolu x
To równanie
pokazuje ułamek obecnej populacji w stosunku do maksymalnej populacji
w danym czasie
i wynosi on R pomnożone przez ułamek z poprzedniego kroku
minus kwadrat tego ułamka
Równanie to znane jest jako mapa logistyczna
i wydaje się, że jest to najsłynniejsze równanie w teorii chaosu
Przepiszmy mapę logistyczną tutaj dla jasności całego obrazu
Naprawdę proste, prawda?
Jednakże, równanie to jest ciekawsze niżby się wydawało
Wielu ludzi badało je dogłębnie
od czasu kiedy zaproponował je Pierre Verhulst
Dwóch znanych badaczy, którzy się nim zajmowali to Lord Robert May
biolog teoretyczny, który napisał bardzo ważkie artykuły na temat równania
w latach 70tych XX wieku
oraz Mitchel Feigenbaum- fizyk teoretyczny który wiele pisał na ten temat
w latach 80tych również XX wieku
i który jest prawdopodobnie najbardziej utożsamianym z tym równaniem
w społeczności naukowej
Zauważcie, że x jest populacją istniejącą w danym czasie
podzieloną przez maksymalną liczebność populacji
A więc x jest zawsze liczbą zawartą w przedziale od 0 do 1
to dlatego równanie nazywa się 'mapą'
To znaczy, równianie to przekształca wartość x z przedziału (0;1)
w nową wartość x w czasie t+1 również z tego samego przedziału
Spójrzmy teraz na jakiś przykład
Niech, dajmy na to, R wynosi 2
a populacja początkowa przez maksymalną niech wynosi 0,2
co oznacza, że początkowo mamy populację o wielkości 20% maksymalnej
Możemy teraz iterować naszą mapę, a więc sięgnijmy po kalkulator
i policzmy x z indeksem 1
będzie on równał się 2, to nasza wartość R
mnożone przez 0,2 minus 0,2 do kwadratu
i według mojej kalkulacji daje nam to 0,32
czyli z 20% maksymalnej populacji przechodzimy do 32%
Zobaczmy, co stanie się w roku następnym
W następnym roku mamy: 2 pomnożone przez..
teraz bierzemy tą wartość
jako naszą poprzednią generację
0,32 minus 0,32 do kwadratu
i ostatecznie daje nam to 0,4352
Ok, kontynuujmy to trochę szybciej..
i zawsze od tej chwili będziemy otrzymywać 0,5 jako rozwiązanie
To oznacza, że jeśli nasz wzrost R
czyli współczynnik urodzeń minus współczynnik śmiertelności, wynosi 2
i zaczynamy od populacji 20% populacji maksymalnej
to w tym modelu nasza populacja zawsze osiągnie i będzie utrzymywać
50% maksymalnej populacji
Są tu dwie rzeczy, na które należy zwrócić uwagę
Po pierwsze, używam terminu 'model' odnosząc się do równania matematycznego
to jest do mapy logistycznej
to jest nasz model
Nazywamy to modelem ponieważ jest uproszczoną reprezentacją
rzeczywistego zjawiska wzrostu populacji
Także określamy tak programy komputerowe
które piszemy, lub których używamy w Netlogo
ponieważ również są uproszczeniami rzeczywistych zjawisk
Słowo 'model' jest bardzo ogólnym pojęciem w nauce
na określenie wszelkiej uproszczonej reprezentacji zjawisk natury
czy będzie to równanie, program komputerowy, rysunek, czy coś innego
Drugą rzeczą, na którą winniśmy zwrócić uwagę, to to, że wartość 0,5
nazywana jest atraktorem
Jest to atraktor w tym systemie, z tego powodu,
że system, w pewnym sensie, przyciągany jest do tej wartości
I okazuje się, że niezależnie od jakiej wartości początkowej zaczniemy
na przykład możemy tę wartość określić na 0,8
System, po pewnej liczbie kroków i tak dojdzie do wartości 0,5
Kiedy system kończy iteracje na pojedynczej wartości, jak w tym wypadku 0,5
ta wartość nazywana jest punktem stałym
Ponieważ wartość ta pozostaje stała
Dlatego też w tym naszym systemie wartość 0,5 nazywa się atraktorem w punkcie stałym
Dotyczy to naszego systemu, określonego tym równaniem, gdzie R=2
Często pojęcia 'model' i 'system' używane są jako synonimy
Mam nadzieję, że to nie wprowadza zamieszania
Zobaczymy również, w następnym module
że możemy otrzymać inne typy atraktorów
Na koniec, powiedzmy sobie o innej metodzie wizualizacji mapy logistycznej
pokazującej zmienność populacji w trakcie iteracji
Chciałabym narysować wykres mapy logistycznej dla R=2
To co tu zaznaczam to x z indeksem t
tu natomiast będę miała x z indeksem t+1
Dobrze..
nie jest to wybitny rysunek, ale przedstawia potrzebny nam obraz
To parabola
Przebiega pomiędzy wartościami 0 i 1
natomiast na osi Y, dla wartości R=2
przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 0,5 0,5 jest wartością maksymalną
W porządku, zaznaczmy teraz punt 0,5 na osi X
I teraz możemy prześledzić kroki, które przeszliśmy poprzednio
obliczając kolejne wartości
A więc, naszą pierwszą wartością jak pamiętacie, było 0,32
To będzie gdzieś tutaj
i wartością Y na paraboli dla tej wartości x było 0,4352
I ten punkt możemy oznaczyć jako (x1,x2)
Teraz weźmy naszą wartość dla x2
znajdziemy ją tu, na osi X
ponieważ chcemy obliczyć następną wartość naszej funkcji
A więc punkt 0,4352 jest gdzieś tutaj
i odpowiada mu na paraboli ten punkt
i to jest x z indeksem 3 (x3)
punkt 0,49160192
I to daje nam punkt (x2,x3)
I bierzemy teraz nasz x3
o wartości 0,49160192
zaznaczamy go na osi X a na Y znajdujemy x4=0,49999..
Kontynuujemy ten proces
i ostatecznie otrzymujemy dokładną wartość 0,5 na osi X
i 0,5 na osi Y
I kiedy już dojdziemy do punktu 0,5
system nie idzie już nigdzie indziej
i pozostaje w tym punkcie
Możemy pomyśleć tu o pewnym przeskakiwaniu od punktu do punktu po paraboli
jako o przykładzie dynamiki tego systemu
Tu mamy wartość R oraz nasz punkt startowy
i serię takich prześć nazywamy trajektorią
A teraz pora na następny test
Będziecie do tego potrzebować kalkulatora
Ustalcie R na 2,5, a x0 na 0,2
Następnie użyjcie równania mapy logistycznej
Wstawiając za R 2,5 i zaczynając od x=0,2
i obliczcie proszę x1, x2 itd. aż do osiągnięcia punktu stałego
Czym jest ten punkt stały?
Tak jak mówiliśmy, jest to taka wartość x
dla której x(t+1) jest tą samą wartością