2.4 H λογιστική απεικόνηση
Τώρα ας περάσουμε στη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς του λογιστικού μοντέλου.
Μπορεί να θυμάσται, ότι n(t+1) είναι ο πληθυσμός τη χρονική στιγμή (t+1)
και είναι ίσο με τη διαφορά των ρυθμών γεννήσεων μείον του ρυθμού των θανάτων επί
του πληθυσμού τη χρονική στιγμή t μείον των αριθμό των ατόμων που πεθαίνουν λόγω υπερπληθυσμού
(το οποίο δίνεται από το λόγο του τετραγώνου του πληθυσμού τη χρονική στιγμή t, διά του μέγιστου δυνατού πληθυσμού ή τη φέρουσα ικανότητα του πληθυσμού).
Θα αρχίσω γράφοντας αυτή την εξίσωση σε μία πιο απλή μορφή.
1) ας ονομάσουμε R τη διαφορά των ρυθμών γεννήσεων και θανάτων.
2) και θα ονομάσουμε Κ τη φέρουσα ικανότητα του πληθυσμού
Τώρα ξαναγράφουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τα νέα σύμβολα.
Τώρα θα κάνω λίγη άλγεβρα.
Αν δεν σας αρέσει η άλγεβρα, απλά προσπαθείστε να παρακολουθήσετε και αν δεν καταλαβαίνετε δεν πειράζει.
Το μόνο που χρειάζετε να ξέρεται είναι το τελικό μέρος.
Αυτό που θα κάνω είναι να διαιρέσω και τα δύο μέρη της εξίσωσης με Κ (τη φέρουσα ικανότητα του πληθυσμού).
Και τώρα θα ορίσω ένα νέο σύμβολο Χ του t, το οποίο είναι ίσο με n του t δια K.
τώρα μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτή την εξίσωση χρησιμοποιώντας το καινούριο μου σύμβολο Χ του t.
Αυτή η εξίσωση εκπροσωπεί το λόγο του πληθυσμού αυτή τη χρονική στιγμή ως πρός τη φέρουσα ικανότητα του πληθυσμού.
Το οποίο είναι ανάλογο της διαφοράς του λόγου του πληθυσμού ως προς τη φέρουσα ικανότητα του πληθυσμού την προηγούμενη χρονική στιγμή
μείον το τετράγωνο του λόγου του πληθυσμού ως προς τη φέρουσα ικανότητα του πληθυσμού την προηγούμενη χρονική στιγμή.
Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως η λογιστική απεικόνηση.
Αυτή είναι η πιο διάσημη εξίσωση στη θεωρία του χάους.
Ας ξαναγράψουμε τη λογιστική εξίσωση εδώ για να φαίνεται καλύτερα.
Απλή, έτσι!
Παρ' όλα αυτά είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσα απ' ότι φαίνεται.
Πολλοί έχουν μελετήσει αυτήν την εξίσωση σε βάθος από τη στιγμή που ο Βερχολστ την παρουσίασε.
Δύο παραδείγματα αυτών που τη μελέτησαν είναι ο Λόρδος Ρόμπερτ Μέι, ένας θεωρητικός βιολόγος,
που έγραψε μία πολύ σημαντική και με μεγάλη επιρροή εργασία τη δεκαετία του '70 και ο Μίτσελ Φάγκενμπάουμ,
ένας θεωρητικός φυσικός, που δούλεψε εκτενώς πάνω σε αυτή την εξίσωση τη δεκαετία του '80 και είναι ίσως
ο επιστήμονας που περισσότερο απο κανέναν άλλο συσχετίζεται με αυτήν την εξίσωση στην επιστημονική κοινώτητα.
Σημειώστε πως Χ είναι ο πληθυσμός κάποια χρονική στιγμή διά της φέρουσας ικανότητας του πληθυσμού (ή του μέγιστου δυνατού πληθυσμού).
Έτσι το Χ είναι πάντα ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ μηδέν και ένα.
Για αυτό η εξίσωση, ονομάζετε και χάρτης. Παίρνει από αυτή τη μεριά την τωρινή τιμή του Χ (μεταξύ 0 και 1) και την χαρτογραφεί ή τη μεταφράζει σε μία νέα τιμή του Χ, επίσης μεταξύ 0 και 1.
Ας δούμε λοιπόν ένα παράδειγμα.
Ας δώσουμε στο R την τιμή 2
Και τον αρχικό πληθυσμό Χο 0,2
Αυτό σημαίνει ότι ο πληθυσμός μας είναι 20% της φέρουσας ικανότητας του πληθυσμού
Τώρα μπορούμε να επαναλάβουμε περιοδικά αυτή την εξίσωση.
Πάρτε τον υπολογιστή σας και ας υπολογίσουμε Χ1
Είναι ίσο με 2 (αυτή είναι η τιμή του R)
επί 0,2 μείον το τετράγωνο του 0,2.
και σύμφωνα με τον υπολογιστή μου είναι ίσο με 0,32
Πήγαμε, λοιπόν από το 20% στο 32% της φέρουσας ικανότητας του πληθυσμού.
Τώρα, τί γίνεται την επόμενη χρονιά;
Την επόμενη χρονιά, έχουμε 2 επί 0,32 ( η τιμή του πληθυσμού την προηγούμενη χρονιά)
μείον το τετράγωνο του 0,32
και αυτό είναι ίσο με 0,4352
Ωραία, ας συνεχίσουμε, αλλά λίγο πιο γρήγορα τώρα
Και για πάντα μετά από αυτό το σημείο, θα έχουμε την ίδια απάντηση 0,5
Αυτο σημαίνει, ότι αν ο ρυθμός ανάπτυξης (ο ρυθμός γεννήσεων μείον τον ρυθμό θανάτων)
ή R είναι 2 και ξεκινάς με 20% της φέρουσας ικανότητας του πληθυσμού
συμφωνα με αυτό το μοντέλο ο πληθυσμός πάντα θα καταλήγει στο 50% της φέρουσας ικανότητάς του.
Δύο πράγματα θα πρέπει να σημειώσω εδώ.
1) Χρησιμοποιώ τον όρο μοντέλο εδώ, αναφερόμενη σε μια μαθηματική εξίσωση
δηλαδή τη λογιστική εξίσωση. Αυτό είναι το μοντέλο.
Ονομάζεται μοντέλο, γιατί είναι μία απλουστευμένη προσομοίωση του αληθινού φαινομένου της αύξησης του πληθυσμού.
Επίσης αναγέρομαι στα υπολογιστικά προγράμματα που γράφουμαι, ή χρησιμοποιούμαι, στο NetLogo
ως μοντέλα, μια και αυτά είναι επίσης απλουστευμένες προσομοιώσεις αληθινών φαινομένων.
Ο όρος μοντέλο είναι ένας πολύ γενικός όρος στην επιστήμη για οποιαδήποτε απλουστευμένη προσομοίωση της
φύσης, είτε είναι εξίσωση, υπολογιστικό πρόγραμμα, ή ένα σχεδιάγραμμα, ή οτιδήποτε άλλο.
2) Η τιμή 0,5 ονομάζεται ελκυστής.
Είναι ελκυστής γι' αυτό το σύστημα, επειδή το σύστημα,
κατά κάποιο τρόπο, ελκύεται σ' αυτό.
Ακόμα και αν ξεκινούσαμε από μια διαφορετική αρχική τιμή για τον πληθυσμό
π.χ. Χο = 0,8, το σύστημα πάλι θα κατέληγε στην τιμή 0,5, μετά από κάποια στάδια.
Όταν το σύστημα καταλήγει σε μία τιμή, όπως π.χ. 0,5, αυτή η τιμή ονομάζεται, σταθερό σημείο
μια και η τιμή, ή το σημείο παραμένει σταθερό
άρα γι' αυτό το σύστημα 0.5 ονομάζεται σταθερό σημείο ελκυστής.
και με αυτό, σύστημα, εννοώ και πάλι, αυτήν την εξίσωση, με R = 2.
Συχνά οι όροι μοντέλο και σύστημα χρησιμοποιούνται σαν συνώνυμοι όροι
ελπίζω αυτό να μη σας δημιουργεί σύγχυση.
Θα δούμε παραδείγματα άλλων ελκυστών στα επόμενα κεφάλαια.
Τελικά, ας δούμε ένα διαφορετικό τρόπο να παρουσιάσουμε τη δυναμική της λογιστικής εξίσωσης,
δηλαδή, πως αλλάζει όταν την αλλάζουμε περιοδικά.
Θα σχεδιάσω την καμπύλη της λογιστικής εξίσωσης για R = 2.
Στον άξονα του Χ έχουμε Χτ
και στον άξονα του Υ έχουμε Χ(τ+1)
Η καμπύλη είναι μία παραβολή, από το 0 μέχρι το 1 στον άξονα του Χ
και από το 0 μέχρι το 0,5 στον άξονα του Υ (για R = 2).
Ας βάλουμε 0,5 εδώ στον άξονα του Χ
και μπορούμε να ακολουθήσουμε τα ίδια στάδια που ακολουθήσαμε προηγουμένως, ώστε να
υπολογίσουμε τις διάφορες πληθυσμιακές τιμές.
έτσι λοιπόν, Χ1, αν θυμάστε, ήταν 0,32
0,32 το βρίσκουμε στον Χ και είναι κάπου εδώ
και η τιμή του Υ γι' αυτό, είναι στην παραβολή 0,4352, ήταν το Χ2
το σημείο (Χ1,Χ2). Παίρνουμε την τιμή Χ2 στον άξονα του Χ, 0,4352
το οποίο αναφέραται στην καμπύλη σ' συτό το σημείο
στην παραβολή, αυτό είναι το σημείο Χ3, 0,4916092
αυτό το σημείο εδώ είναι (Χ2,Χ3)
τώρα παίρνουμε το Χ3, που ήταν 0,49160192, βρίσκουμε αυτό στον άξονα Χ
και βρίσκουμε το σημείο του στην καμπύλη, για να βρούμε το Χ4, που ήταν 0,499999
Συνεχίζουμε κατ' αυτόν τον τρόπο
μέχρι να έχουμε το σημείο (0,5,0,5).
Μόλις φτάσουμε το σημείο (0,5, 0,5), το σύστημα δεν πάει πουθενά.
Παραμένει πάντα σε αυτό το σημείο.
Μπορείτε να σκεφτείται, ότι μεταπηδούμε από σημείο σε σημείο
πάνω σε αυτή την παραβολική καμπύλη, σαν ένα παράδειγμα της δυναμικής αυτού του συστήματος
με αυτή την τιμή R και με αυτή την αρχική τιμή.
και αυτή η μεταπήδηση ονομάζεται τροχιά.
Τώρα είναι η ώρα για το επόμενο Quiz μας.
Θα χρειαστείται υπολογιστή γι' αυτό το quiz.
Δώστε στο R την τιμή 2,5 και Χο 0,2. Μετά χρησιμοποιείστε την λογιστική εξίσωση
συμπληρώνοντας 2,5 για R και ξεκινώντας με Χο 0,2, ώστε να υπολογίσετε
Χ1, Χ2, Χ3 και ου το καθ' εξής, μέχρι να φτάσετε σε ένα σταθερό σημείο.
Πιό είναι αυτό το σταθερό σημείο;
Θυμηθείται, πως σταθερό σημείο είναι μία τιμή του Χ, τέτοια ώστε
Χτ = Χ(τ+1)