2.4 Die logistische Abbildung
(logistic map)
Jetzt werden wir uns die Dynamik
des logistischen Modells genauer ansehen.
Sie erinnern sich vielleicht, dass
n zum Zeitpunkt t+1 die Population zu t+1 ist,
und das war die Geburtenrate minus
der Sterberate mal der Population
zum Zeitpunkt t minus
der Zahl der Individuen,
die wegen Übervölkerung gestorben sind,
das ist die Population zum Zeitpunkt t
hoch zwei geteilt durch
die Maximalpopulation oder Belastbarkeit.
Ich werde das jetzt
in einem einfacheren Format aufschreiben.
Zuerst ersetze ich Geburtenrate
minus Sterberate durch R.
K steht für Maximalpopulation.
Jetzt kann ich die Gleichung oben
mit Hilfe dieser beiden
neuen Symbole neu schreiben.
Jetzt gibt es ein bisschen Algebra.
Wenn Sie Algebra nicht mögen,
versuchen Sie einfach, mir zu folgen,
und wenn Sie das nicht verstehen,
ist das nicht schlimm,
Sie müssen nur die letzte Zeile kennen.
Ich teile also beide Seiten der Gleichung
durch K, die Belastbarkeit
und jetzt definiere ich
ein weiteres neues Symbol
das ist X von t gleich
n von t geteilt durch K.
Jetzt kann ich diese Gleichung
neu schreiben
und mein neues Symbol X benutzen.
Diese Gleichung repräsentiert den Anteil
der gegenwärtigen Population an der
Maximalpopulation
zu einem bestimmten Zeitpunkt
und das ist gleich R mal dem Anteil
zum vorausgehenden Schritt
minus diesem Anteil zum Quadrat.
Und das ist allgemein als
logistische Abbidlung (map) bekannt.
Das ist die berühmteste Gleichung
auf dem Gebiet der Chaostheorie.
Lassen Sie uns hier
die logistische Gleichung
noch einmal zur Erklärung aufschreiben.
Ziemlich einfach, hm?
Sie ist interessanter als sie erscheint.
Viele haben diese Gleichung ausführlich untersucht
setdem Verhulst sie aufgestellt hat.
Zwei berühmte Vertreter von Wissenschaftlern, die sich damit beschäftigt haben, sind
Lord Robert May, ein theoretischer Biologe,
der in den siebziger Jahren ein sehr einflussreiches Papier über diese Gleichung verfasst hat,
und Mitchell Feigenbaum, ein theoretischer Physiker,
der in den achziger Jahren intensiv über diese Gleichung gearbeitet hat.
Er ist die Person, die vermutlich am häufigsten unter Wissenschaftlern mit dieser Gleichung in Verbindung gebracht wird.
Beachten Sie, dass X die Population zu einem bestimmten Zeitpunkt, geteilt durch die Belastbarkeit oder Maximalpopulation ist.
X ist also immer eine reelle Zahl zwischen 0 und 1.
Deshalb heißt die Gleichung Abbildung (im Englischen "Map")
das heißt, sie nimmt auf dieser Seite einen aktuellen Wert zwischen 0 und 1 an
und bildet es auf einen neuen Wert von X ab, der auch zwischen 0 und 1 liegt.
Wir schauen uns jetzt ein Beispiel an.
R soll 2 sein. Unsere anfängliche Belastbarkeit X Null is 0,2.
Das bedeutet, die Anfangspopulation ist 20 Prozent der Maximalpopulation.
Wir können diese Abbildung jetzt iterieren.
Holen Sie Ihren Taschenrechner raus.
Berechnen wir X1
Das ist 2. Das ist der Wert für R.
Multipliziert mit 0,2 minus 0,2 zum Quadrat.
Ich bekomme hier 0,32 heraus.
Wir sind also von 20% der Belastbarkeit
auf 32% gekommen.
Was passiert im nächsten Jahr?
Im nächsten Jahr haben wir 2 mal -
hier nehmen wir diesen Wert
für unsere vorherige Generation
0,32 minus 0,32 zum Quadrat.
Und das ist gleich 0,4352.
Wir machen einfach weiter.
Aber jetzt ein bisschen schneller.
Und in alle Ewigkeit bekommen wir 0,5 als Antwort.
Das bedeutet, wenn Ihre Wachstumsrate,
das ist die Geburtenrate minus
der Sterberate oder R 2 ist,
und Sie beginnen mit 20% der Belastbarkeit,
wird die Population nach diesem Modell
immer bei 50% der Belastbarkeit liegen.
Zwei Dinge sollte ich hier betonen.
Erstens benutze ich den Begriff Modell hier
für eine mathematische Gleichung
das heißt, die logistische Abbildung, dies ist das Modell.
Es heißt Modell, weil es
die vereinfachte Repräsentation
des echten Phänomens des Bevölkerungswachstums ist.
Ich benutze den Begriff Modell auch,
wenn ich die Computerprogramme meine,
die wir in NetLogo schreiben,
sie sind auch vereinfachte Repräsentationen echter Phänomene.
Das Wort Modell ist ein sehr allgemeiner Begriff,
der in der Wissenschaft für jede Art
von vereinfachter Repräsentation der Natur benutzt wird
egal ob es eine Gleichung ist,
ein Computerprogramm,
eine Zeichnung
oder was auch immer.
Zweitens, dieser Wert 0,5 heißt Attraktor.
Er ist für dieses System ein Attraktor,
weil das System irgendwie davon angezogen wird.
Das wäre auch so,
wenn wir mit einem anderen Angangswert
für die Population begonnen hätten,
also zum Beispiel X0 gleich 0,8,
würde das System immer noch nach einigen Schritten
am Ende den Wert 0,5 ergeben.
Immer dann, wenn das System auf einen einzigen Wert konvergiert, wie hier 0,5
dann nennt man diesen Wert einen Fixpunkt,
weil der Wert stabil bleibt.
Für dieses System ist der Wert 0,5 ein Fixpunkt-Attraktor.
Und mit System meine ich diese Gleichung
mit R gleich 2.
Oft werden die Begriffe Modell und System
als Synonyme gebraucht.
Ich hoffe, das wird jetzt nicht zu verwirrend.
Auf alle Fälle werden wir einige andere Arten von Attraktoren,
in der nächsten Unterrichtseinheit sehen.
Schließlich sehen wir uns noch eine andere Möglichkeit an,
die Dynamik der logistischen Abbildung darzustellen.
Also, wie sie sich im Lauf der Iterationen verändert.
Ich werde hier einen Plot der Gleichung
der logistischen Abbildung für R=2 zeichnen
Hier zeichne ich X von t und hier
ist X von t + 1.
Keine tolle Zeichnung, aber so ungefähr
sieht es aus. Das ist eine Parabel
die hier von 0 bis 1 reicht, für R=2
hier geht sie von 0 bis 0,5,
das ist das Maximum.
Wir markieren auf der x-Achse 0,5
Jetzt können wir die Schritte, die wir
vorhin gemacht haben, als wir die Werte
berechnet haben. Unser erster Wert
X 1 war 0,32
hier ist X1, und 0,3 ist ungefähr hier
der Y-Wert dafür auf der Parabel war 0.4352
das war X2, also hier war Punkt X1X2
Jetzt nehmen wir den Wert für X2
wir finden ihn hier unten auf der X-Achse
weil wir den nächsten Wert der Funktion
berechnen. 0,4352 ist ungefähr hier
und das entspricht diesem Punkt auf der
Parabel, das ist X3
0,49160192
Dieser Punkt hier ist X2X3
Dann nehmen wir das alte X3
das war 0,49160192
wir finden den Wert auf der X-Achse
und gehen nach oben, um X4 zu finden
das war 0,4999999 etc.
das machen wir immer wieder,
und schließlich kommen wir zu genau 0,5
und 0,5. Wenn beide 0,5 erreicht haben,
geht das System nicht weiter.
Es bleibt einfach auf diesem Punkt.
Sie können sich das vostellen, als würde
man von einem Punkt zum anderen hüpfen
diese Parabel entlang
das ist ein Beispiel für die Dynamik des Systems
mit diesem Wert für R und unserem Startpunkt
Man nennt das Trajektorie (Bahnkurve)
Jetzt ist unser nächstes Quiz an der Reihe.
Sie brauchen für dieses Quiz einen Taschenrechner.
R soll 2,5 sein
und X0 ist 0,2. Verwenden Sie
die Gleichung für die logistische Abbildung
und setzen Sie 2,5 für R
und beginnen Sie mit einem X0 von 0,2
um X1, X2, X3 und so weiter zu berechnen
bis Sie den Fixpunkt erreicht haben.
Welchen Wert hat dieser Fixpunkt?
Und erinnern Sie sich, dass der Fixpunkt
ein Wert von X ist, so dass gilt
dass X von t dasselbe ist,
wie X von t + 1.