Este fractal é conhecido
como a curva de Koch.

Em homenagem ao matemático
sueco Helge von Koch

que foi o primeiro a descobrir a sua
construção pouco depois de 1900.

Eu posso enganar-me e pronunciar o nome em
Americano: a curva de Kotch.

Mas vou tentar evitá-lo.

Ok, a nossa tarefa é calcula a
dimensão de autossimilaridade.

Portanto, vamos usar a nossa fórmula.

Número de cópias pequenas é igual ao
fator de ampliação elevado à dimensão D.

Primeiro, vamos pensar no
número de cópias pequenas.

Então, vamos olhar para a figura abaixo.

E vemos 4 cópias pequenas, 1, 2, 3 e 4.

Portanto, o número de cópias pequenas é 4.

Qual é o fator de ampliação?

Bem, o fator de
ampliação é 3.

Eu preciso de
esticar isto 3 vezes

para fazer com que este
bocado mais pequeno

seja do mesmo tamanho deste.

Isto é verdade para todas estas formas.

Nesta peça, precisaria de agarrar nela,
trazê-la para aqui e esticá-la 3 vezes

para que fosse do mesmo comprimento.

Também podemos
ver aqui 1, 2, 3

Portanto, uh, eu teria de
esticar isto por 3.

Certo, então o fator de estiramento,
o fator de ampliação é 3.

que é elevado a D.

Portanto agora, vamos usar logaritmos
para resolver em ordem a D.

Fazemos o logaritmos de ambos os termos

Usamos a propriedade exponencial dos
logaritmos para trazer o D para baixo.

Dividimos tudo por log3 e obtemos...

Aqui está o nosso resultado.

Peço desculpa.

A dimensão de autossimilaridade D
é log4 a dividir por log3.

E podemos obter um resultado numérico
disso usando uma calculadora.

4 log a dividir por 3 log é igual
a aproximadamente 1.262.

Então, D é aproximadamente 1.262

Logo a dimensão de autossimilaridade
da curva de Koch é cerca de 1.262