U ovom videu ćemo se upoznati sa jednim matematičkim fraktalom koji neki nazivaju fraktal snežne pahulje i onda ćemo izračunati njegovu dimenziju Fraktal snežne pahulje, kao i mnogi drugi fraktali, se pravi iterativnim procesom Počnemo sa jednom tačkom U svakom koraku, uzećemo figuru koju imamo i napravićemo 4 kopije u svakom ćošku Ovo je moja inicijalna faza i onda imamo sledeću fazu Napravićemo 4 kopije originalne tačke ovde 1, 2, 3, 4 OK, to je bio prvi korak. Sada ćemo ponoviti taj korak U sledećem koraku ćemo uzeti ovu figuru koju čine svih 5 tačaka i napravićemo 4 kopije ovde 1, 2, 3, 4. Uradimo to. Ovo je prva kopija i druga, treća i četvrta. Dakle u sledećoj fazi, sledećem koraku, uzeo bih ovu figuru u kojoj ima... 25 tačaka i napravićemo 4 kopije i stavićemo jednu ovde i jednu ovde, i jednu ovde i još jednu ovde. I ako nastavimo to da radimo dobićemo fraktal. Ako nastavimo ovaj proces još par koraka dobićemo figuru koja izgleda ovako I možemo videti da je ovo fraktal. Ovo je samo-sličan objekat I ova figura oblike slova x je napravljena od x-ova koji su napravljeni od x-ova, koji su opet napravljeni od x-ova i tako dalje Vidimo da isti x oblik pojavljuje ponovo i ponovo na mnogo različitih nivoa, pa je ovo fraktal. Inače, treba napomenuti da iako smo ovo nazvali fraktal snežne pahulje ovo samo liči na pahulju. Prave pahulje imaju 6 grana, a ne 4. Bez obzira, meni liči na pahulju pa ćemo ga zvati fraktal snežne pahulje Ne mislim da je to 100% standardno ime OK, želimo da znamo koja je dimenzija ovoga Uradićemo kako što smo uradili sa onim trouglom i sa ostalim primerima ranije Gledaćemo male kopije u većoj kopiji Da bismo to uradili koristićemo opet jednačinu o dimenziji Broj malih kopija u nekom objektu je faktor uvećanja, tj faktor proširenja na D-ti stepen, gde je D dimenzija. Bacimo još jedan pogled na proces kojim smo stvorili ovaj fraktal Počeli smo u nultom koraku sa jednim kvadratom. Originalno sam ga nacrtao kao tačku. I onda smo došli ovde i ovo je drugi korak i ovo je treći Da vidimo, broj manjih kopija, pogledajmo ovu sliku Broj manjih kopija, ja vidim 1, 2, 3, 4, 5, Dakle broj manjih kopija je 5 Koliki je faktor proširenja, tj uvećanja, on je 3 Da bismo to videli, zamislimo koliko puta moram da proširimo ovu figuru da bi bila ovoliko dugo Možemo videi da je ova dužina napravljena od 1, 2, 3 ove Pa je faktor proširenja 3. Ovo je jedna trećina velicine ove velike Dakle faktor uvećanja je 3. I to treba podići na D-ti stepen Pitanje je kolika je dimenzija D Let’s see, could the dimension be 1? Probajmo, ako stavim 3 na 1 je 3, nije 5 Da li bi dimenzija mogla biti 2? Da vidimo, 3 na kvadrat je 3 puta 3, to je 9. To je previše veliko Znači ovaj objekat nema dimenziju ni 1 ni 2 Ima dimenziju između 1 i 2 I da bismo rešili ovu jednačinu po D, , 58 00:05:09,801 --> 00:05:12,342 D je dimenzija koja nas interesuje, moraćemo da koristimo logaritme. Da, logaritme. I ovo je pravo vreme da vas podsetim da ovo poglavlje ima opcioni deo koji ponavlja eksponente i logaritme. U ovom kursu nema puno algebre ali će se eksponenti i logaritmi pojavljivati podosta I već možemo videti zašto. Dimenzija, ovaj važni način da okarakterizujemo fraktale, je u eskponentu Pa ćemo morati da znamo šta su eksponenti A logaritmi se koristi de rešimo jednačinu gde je nepoznata u eksponentu. Eksponenti i logaritmi nas vode od jednog do drugog pa ćemo morati biti brzi da osnovnim svojstvima eksponenata i logaritama I to nije ništa strašno, sva svojstva su ponovljena u tom opcionom odeljku Pa ako niste sigurni u svoje znanje o logaritmima ili nešto što kažem nema smisla pogledajte taj opcioni odeljak i biće sve u redu. Podsećam vas i da uvek možete potražiti pomoć na forumu ako ima nečega u šta niste sigurni. OK, da se vratimo na fraktal. Ovde smo stali, imamo jednačinu 5 jednako 3 na D, i želimo da je rešimo po D Da bismo to uradili pustićemo logaritam kroz obe strane ove jednačine Dobijemo log5 jednako log3 na D. I onda, prema svojstvu logaritama za eksponente, log3 na D je jednako Dlog3. Imamo log5 jednako Dlog3. U poslednjem koraku rešimo ovo po D Podelimo obe strane sa log3 i dobićemo ovo log5 kroz log3 jednako D. I to je odgovor. Ovo je tačan izraz po D. Možemo dobiti tačan broj digitronom Da vidimo, imamo log5 kroz log3 Evo ga moj verni digitron i uradiću 5 logaritam podeljeno sa 3 logartiam i dobijem približno 1.465 Dakle D je približno 1.465 Dobili smo da dimenzija ovog oblika nije ceo broj nego broj između 1 i 2. To je malo čudno. Nismo navikli na dimenzije koje nisu ceo broj i pričaćemo još u ovom poglavlju i u celom kursu o tome šta to znači. Ali za sada, prihvatimo to i nastavimo da radimo sa ovom osnovnom jednačinom o samo-sličnoj dimenziji. U sledećem videu proćićemo kroz još jedan primer. Izračunaćemo samo-sličnu dimenziju D za još jedan fraktal. I onda ćete provežbati ovo u par kvizova.