Neste vídeo, iremos introduzir
um fractal matemático

conhecido, por vezes,
como o fractal "snowflake"

e a seguir iremos calcular a sua dimensão

Portanto, o fractal "snowflake"
como muitos outros fractais,

são construídos através
de um processo iterativo

Vamos começar com um único ponto.

E em cada passo,
vou agarrar na forma que tenho

fazer 4 cópias dela
e colocá-las nos cantos.

Então, aqui está a fase inicial

E depois, na próxima fase

Vou fazer 4 cópias do ponto original
e colocá-las aqui 1, 2, 3, 4

Ok, este é o primeiro passo.
Agora vou iterar este passo.

No próximo passo vou agarrar nesta forma,
em todos os cinco pontos

Fazer 4 cópias e colocá-las aqui
1, 2, 3, 4

Então, vamos fazer isso.
Aqui está a primeira cópia.

Aqui a cópia 2, cópia 3 e a cópia 4

E portanto, na próxima fase, no próximo passo
eu ia agarrar nesta forma

existem, vamos ver... 25 pontos aqui

E ia fazer 4 cópias e colocar uma aqui,

outra aqui, uma aqui em baixo
e outra aqui em baixo

E continuava a fazer isso,
continuava a fazer isso...

E íamos obter um fractal.

Se continuarmos este processo
por mais alguns passos

O resultado será uma forma
que se parece com isto.

E podemos ver que isto é um fractal.
É um objeto autossimilar.

É esta cruz em forma de x,
que é feita de a partir de outra cruzes x

que são feitas a partir de x, que são feitas
a partir de x e por aí adiante

Assim podemos ver que
esta mesma forma em x ou cruz, aparece

uma e outra vez em escalas diferentes,
por isso é um fractal

A propósito, devo dizer que, apesar de eu me
referir a este fractal como "snowflake" (floco de neve)

Apenas se parece um bocado com um floco de neve.
Porque os flocos de neve têm 6 pontas, não 4.

Mas de qualquer maneira lembra-me um floco de neve,
por isso é que eu o chamo de "snowflake".

Penso que não existe um nome
cem por cento padrão

Mas, de qualquer forma,
queremos saber a dimensão disto

E faremos como fizemos para o exemplo
do triângulo e outros antes desse

Olhar para cópias pequenas
e para a cópia maior e por aí

Portanto, para fazer isso iremos usar,
mais uma vez, a equação da dimensão

O número de cópias pequenas num objeto,

É o fator de ampliação ou fator de alongamento

elevado à potência D, onde D é a dimensão

E aqui está outra maneira de vermos
o processo de criação deste fractal.

Começamos no passo 0 com um único quadrado,
eu desenhei-o como um ponto, originalmente.

E depois vamos para aqui e depois este é o
passo 2 e este o passo 3.

Então vamos ver, número de cópias pequenas
vamos ver esta figura

Número de cópias pequenas,
eu vejo 1, 2, 3, 4, 5

Logo, o número de cópias pequenas é 5.

Qual é o fator de alongamento ou ampliação?
Bem, vimos que era 3.

E portanto para vermos isso, imaginemos esta forma,
quanto é a temos de esticar para ficar deste tamanho?

Bem, podemos ver que este comprimento
é constituído por 1, 2, 3 destes.

Portanto, o fator de alongamento é 3.
Este é um terço do comprimento deste grande.

Assim, o fator de magnificação é 3.
E isso é elevado a D.

Agora a questão é:
Qual é a dimensão D?

Vamos ver, poderá a dimensão ser 1?

Vamos tentar, vou substituir,
3 elevado a 1 é 3. Não é 5.

Poderá a dimensão ser 2?

Vamos ver, substituindo, 3 ao quadrado é
3 vezes 3 que é 9. É demasiado grande.

Portanto, este objeto não tem dimensão 1
mas também não tem dimensão 2.

Acontece que a dimensão está entre 1 e 2.

E então, de modo a resolver equação
em ordem a D,

lembremo-nos que D é a dimensão
que queremos calcular

Vamos ter que usar logaritmos.

Sim, logaritmos. Portanto, talvez seja
uma boa altura para vos lembrar

que existe uma secção opcional nesta unidade

que revê exponenciais e logaritmos

Não há muita álgebra neste curso

mas exponenciais e logaritmos vão aparecer muito

E já podem ver porquê

A dimensão, esta importante maneira de
caracterizar fractais, é como vimos, um expoente.

Logo vamos precisar de perceber de expoentes

e logaritmos são usados
para resolver equações

Quando a variável a calcular
está em cima como expoente

Portanto, os expoentes e logaritmos
vão andar de um lado para o outro

Por isso, é preciso ser algo rápido com
propriedades básicas de exponenciais e logaritmos.

Não é nada demais.
E eu revejo isso nessa secção opcional.

Assim, se tiver dúvidas acerca de logaritmos,
ou o que se seguir não fizer sentido

É só ver a secção opcional
e correrá tudo bem.

Também pode pedir ajuda no fórum,
a qualquer momento

Se tiver alguma dúvida,

Ok, de volta ao fractal.

Esta é a situação, temos esta equação 5 igual a 3 elevado a D,
e queremos resolver em ordem a D.

Para tal, vamos fazer o logaritmo
de ambos os lados da equação

Portanto log(5) é igual a log(3^D)

Assim, pela propriedade logarítmica dos expoentes
log(3^D) é igual a Dlog(3)

Portanto, log(5) é igual a Dlog(3)

E agora, o última passo é
resolver em ordem a D.

Para isso, basta dividir ambos os lados da
equação por log(3) e o resultado dá isto.

log(5) a dividir log(3) é igual a D.

Portanto, é essa a minha resposta.

Isto é uma expressão exata
para a dimensão D.

E podemos calcular o valor
usando uma calculadora.

Vamos ver, tenho
log(5) a dividir por log(3)

Ora aqui está a minha fiel calculadora.

E vou fazer logaritmo de 5 a
dividir por logaritmo de 3

E vou obter aproximadamente 1.465

Logo, isto diz-me que D é
aproximadamente 1.465

Portanto, descobrimos que a dimensão
desta forma não é um inteiro.

É um número entre 1 e 2

O que é um bocado estranho.

Não estamos habituados a
dimensões não inteiras.

E vamos falar bastante disto
mais à frente nesta unidade

e ao longo do curso,
sobre qual o significado disto.

Mas por agora, vamos avançar

e continuar a trabalhar com a equação base
para a dimensão de autossimilaridade.

No próximo vídeo,
vou mostrar outro exemplo

de como calcular a dimensão de
autossimilaridade D de um fractal.

E depois disso, vamos poder praticar isto
em alguns quizzes.