Buongiorno, in questa sezione ci occuperemo di scaling. Lo scaling è lo studio di come differenti aspetti di un sistema cambiano quando la dimensione del sistema aumenta. Si è osservato che i sistemi complessi spesso aumentano di dimensione in modi che sono sorprendenti e molte volte anche non ben compresi. Qui vedremo alcune affascinanti e, in qualche modo, controverse evidenze dello scaling in biologia e poi daremo uno sguardo anche ad alcuni nuovi studi sullo scaling nelle città. Cominciamo. Il campo dello scaling si chiede: come cambiano gli attributi di un sistema quando la sua dimensione aumenta? Per esempio in biologia ci possiamo chiedere come gli attributi degli organismi cambiano quando la massa dei loro corpi aumenta. Oppure nello scaling urbano, un'area oggigiorno molto popolare, come cambiano gli attributi delle città quando la popolazione aumenta? Lo studio dello scaling è stato molto importante nella comunità di ricerca sui sistemi complessi perchè molti indizi su come funzionano i sistemi complessi possono essere raccolti studiando come questi sistemi scalano. C'è un semplice concetto matematico che è molto importante per capire lo scaling ed è il concetto di proporzionalità Ecco una proporzionalità semplice. La quantità y è detta essere proporzionale a x se y corrisponde a una costante c moltiplicata per x. Ad esempio ecco una relazione di proporzionalità. y è uguale a 2 x. Ogni volta che x aumenta, y aumenta del doppio del valore. Ecco un altro esempio, y è uguale a -1/3 di x. Questo significa che se x passa da 1 a 2, y diminuirà da -1/3 a -2/3. La proporzionalità è una relazione lineare. Puoi verificarlo perchè le formule sono rappresentate da linee rette. Guardiamo al concetto di scaling in un contesto molto semplice quello dello scaling geometrico. Supponiamo che vuoi spostarti dalla tua attuale piccola camera da letto a una più grande. Questa è la tua camera attuale. Ha una certa lunghezza mentre quella nuova è lunga il doppio. Ora ti chiedi: quanto grande può essere il letto per stare nella nuova stanza? La lunghezza del letto è linearmente in scala con la lunghezza della stanza. Ovvero, data la lunghezza del letto nella tua vecchia stanza, ora puoi farne stare uno lungo due volte tanto nella tua nuova stanza. Vediamo cosí che la lunghezza del letto è proporzionale alla lunghezza della stanza. Puoi rappresentarlo cosí. Al crescere della lunghezza della stanza, la dimensione del letto aumenta linearmente. Facciamo ora un esempio molto semplice. Supponiamo che tu abbia un tappeto nella stanza originale. Ora puoi prenderne uno più grande per la tua nuova stanza. Quanto più grande? Bene, l'area del tappeto che puoi inserire nella tua nuova stanza è in un rapporto quadratico con la lunghezza della stanza. Quadratico nel senso di il quadrato di. Siccome l'area è in rapporto al quadrato della lunghezza, l'area del tappeto che puoi inserire aumenta al crescere della lunghezza. Se raddoppi la dimensione della stanza, questo significa che quadrupli i piedi quadri Ecco come appare il grafico o i metri quadri del tappeto che puoi inserire nella stanza perchè 2^2 = 4. in un rapporto quadratico. Si può vedere che quando la lunghezza della stanza aumenta, l'area del tappeto aumenta molto più in fretta che in un rapporto lineare. Da ultimo se la stanza appartiene a una teenager, se avete una teenagere o siete una teenager a cui piace accumulare vestiti da lavare fino al soffitto. Io stessa ero una teenager di quel tipo. E ora sono la madre di una. Se vai in una stanza più grande, puoi impilare più biancheria fino al soffitto. In che rapporto è con la lunghezza della stanza? Il volume della biancheria che puoi impilare fino al soffitto è in un rapporto cubico con lal lunghezza della stanza. Il volume della biancheria è proporzionale alla lunghezza della stanza al cubo. Questo accade perchè il volume è in rapporto al cubo della lunghezza. Lo si può osservare guardando questo grafico. Il volume della biancheria aumenta molto rapidamente all'aumentare della lunghezza della stanza. Se raddoppi la dimensione della stanza, potrai ospitare 8 volte la quantità di biancheria, perchè 8 è 2 al cubo. In generale molti attributi hanno quello che chiamiamo power-law scaling. Abbiamo imparato cosa sono le leggi di potenza nella sezione sui network di questo corso. L'idea è che alcuni attributi, come il volume, o l'area, sono proporzionali alla dimensione, in queso caso la lunghezza della stanza, alla potenza di una qualche costante alfa. Attenzione. Questo è il simbolo di proporzionalità, e questo è la lettera greca alfa, l'esponente. Alfa è una costante, e bisogna ricordare che questi sono due simboli differenti. Ciò significa che il nostro attributo, il volume della biancheria, è uguale a una qualche costante, c, per la dimensione elevata a una qualche potenza alfa, dove sia c che alfa sono costanti. Possiamo scriverlo in termini di y e x come y = c x ^ alfa. Questa è quella che chiamiamo una legge di potenza.