接下来我们更进一步探讨元胞自动机作为动力系统 与逻辑映射之间的类比 这里将就各个特性逐项进行对比 在逻辑映射中我们有如下方程 其中 x 在 t+1 时刻的值为某个函数 f 在时间 t 时的值 这是我们所熟悉的方程 类似地，对基本元胞自动机及其它类型元胞自动机 我们有由黑白元胞格状结构所表示的状态世界 lattice 在 t+1 时刻的黑白元胞格状结构 lattice_{t+1} 是关于前一时刻黑白元胞格状结构 lattice_{t} 的函数 此处，这个函数可以用（ECA）规则来表示： 根据邻居元胞来决定如何更新中心元胞 不论逻辑映射还是基本元胞自动机都是完全确定的 没有涉及随机性 两者都进行离散次数的迭代 在逻辑映射中的状态是连续的 其中 x 的值是一个实数 然而在元胞自动机中，状态是离散的 lattice 的值是一个黑白元胞的序列 逻辑映射的动力学经历从不动点到周期变化再到混沌的变迁 我们可以看到所有可能的动力学 类似地，在元胞自动机，尤其是基本自动机中 我们可以看到相同的动力学：不动点、周期变化、混沌等 在逻辑映射中，存在着一个“控制参数” R 当我们从 0 到 4 变化 R 的值 会发现系统的动力学始于某个不动点 然后经历一个周期性的振荡 再经历过一个双路径时期，最后变成混沌状态 那么，对基本的或其它类型的元胞自动机而言，它们的控制参数是什么呢？ 显然，不是 “Wolfram 数” “Wolfram 数”无法“下达”元胞自动机行为对应的命令 元胞自动机的行为是随机的（有任意性） 因此，研究者们开始思考什么才是起类似于 R 作用的控制参数 当你增加 R 的值，你将经历这些不同的动力学行为 Chris Langton 是一个复杂系统科研工作者，他对元胞自动机有过深入的研究 他提出用“λ 参数”作为元胞自动机的控制参数 对于我们刚接触过的二元状态元胞自动机，每个元胞非黑即白 λ 可定义为规则表的输出中黑色元胞所占的比例 这样，举例来说，给定如下所述的规则表 我们可以统计输出状态列的8个输出元胞中 共有1,2,3,4,5个为黑色 因此，这里 λ 为 5/8 因此，这是一个相当简单的定义 但是 Langton 的工作表明在某些场景下，元胞自动机中 λ 参数的值 可作为其行为的一个相当好的预测器 Langton 的假设是在给定 λ 参数下元胞自动机的 典型行为将遵循如下坐标轴所示的规则 在 λ 值很低时的行为为不动点 随着 λ 值增加，我们可以看到周期性的以及混沌的行为 当然，因为元胞自动机有两个状态：黑和白 他们是对称的，比如说 λ 为 0 （此时意味着所有白色处于不动点状态） 基本上等价于 λ 为1 （此时所有黑色处于不动点） 因此，如果你在更新后的状态中转换黑、白颜色 你将得到颜色发生转换后的相同的或等价的行为 这里所表现出的对称性和 R 有所不同 Landton 进行了广泛的仿真实验来检验他的假设 结果发现对邻居数目大于 3 的非基本的元胞自动机 λ 都是一个很好的行为预测器 我们接下来将利用霍巴特威廉史密斯学院数学系所开发的应用程序 来观察 λ 和元胞自动机行为两者之间的关系 这个链接在课程资料页面也能找到 在这个页面你可以启动JAVA 小程序观看混沌边缘模拟 它提供了一些复杂选项供你选择使用 以简单起见，我将建立一个新的世界 状态数设为2，即黑和白 邻居范围为5 因此，每个元胞都可以和每边两个元胞通信 因此，这仍然是个一维元胞自动机 我们将发现（在这个元胞自动机中），任何规则将是等向性的 你可以从Web站点上了解更进一步的信息 这只是意味着：我们将使用最一般性的规则，世界是循环的，等等 好了，我们来创建一个世界 接下来我们能做的就是滑动 λ 参数对应的滑动条 此时，当 λ 为 0 时，这是个随机的初始配置，你将很难推测更新状态会是怎样的 好了，我们重复刚才的动作，创建一个新的随机世界 这个新世界又创建一个新的随机配置，如此往复 所以，我们可以滑动增大 λ 的值来看它如何改变系统状态 开始时所有白色块都处于不动点状态，然后缓慢移动 λ 滑动条，看系统状态如何变化 每当我改变 λ 参数的值时，模拟程序所做的事情就是选择一个对应于该 λ 值的新的元胞自动机 当然，会有多个具有相同 λ 值的元胞自动机，模拟器只是随机选择一个 现在，系统开始进入周期性行为状态 接下来，仍然是周期性行为 也许有点复杂 然后，继续向右滑动滑动条……好了 一个有趣的、或许更有趣的事是…… 让我想想……呃……“始于一个点”的模式 即自一个黑色的点衍生出来的模式 我继续滑动滑动条来增加 λ 的值，（系统）仍然是处于周期性行为中 接下来我将做些更复杂的事情 这看起来有点像一个随机的或混沌的模式 我把滑动条移动得使 λ 增大一点点，一直到…… 使得λ 的值不再小。现在系统看起来确实很随机 你们也可以实践一下 Langton 所做的……就是我们刚才所演示的内容 并做了一系列广泛的实验 观察在不同 λ 值下元胞自动机的随机选择情况 发现 λ 能很好地预测将要看到的动力学类型 也许，对一个元胞自动机而言，可能某些初始配置会导致与其它初始配置所不同的行为 然而，Langton 所关注的是平均而言系统的行为情况 需要再提一下的是，这里我在使用“混沌”这个词时可能有点不够严谨 究竟在何种程度下，这种看起来随机的行为事实上是混沌的呢？ 也就是说，系统行为是否对初始条件（配置）比较敏感呢？ 呃，Norman Packard 研究发现……他所做的是…… 他对不同的元胞自动机进行了观察 此处是有 7 个邻居元胞的自动机，即每个元胞往左或右观察 3 个相邻元胞 对每一个 λ 值，Norman 测试了随机选择的多个对应该 λ 值、但初始配置随机的元胞自动机 他对初始条件灵敏度指标——差异传播率均值进行了计算 基本上，对于同一个元胞自动机 如果你以相近的初始条件来运行它，比如只有一位的差异 一个黑色元胞变成白色 然后观察这两个不同初始条件下，元胞自动机行为发生改变的速度有多快 这里有一个该指标的测量结果 Packard 将结果以 λ 的函数的形式绘制成曲线图 在这个位置（曲线的起始段）系统行为非常规整（即非混沌的） 从这里开始（曲线的左上升段），系统行为开始向更混沌的状态迁移 这里（曲线的中段），系统行为已处于混沌状态，对系统初始配置变得敏感 事实上，此处确实发生了Langton 所假设的行为 Packard 在他的实验中显示了这一点 Packard 称这片区域为“混沌的边缘”(Edge of Chaos) 也就是说，系统行为并不规整，但也不完全混沌 这大致对应于Wolfram 的第 4 类（自动机） 即那些具有长期局部结构的元胞自动机，比如在规则110 下的自动机 总体来说，元胞自动机可被视为具有不同类型吸引子，如不动点、周期性、混沌以及混沌边缘等，的动力系统 他们对应于Wolfram 的第 4 类自动机 Langton 的 λ 参数作为一种“控制参数”，它能对吸引子的类型进行大致预测 其它学者也有提出基于 λ 的“控制参数”，在某些情况下甚至能更好地预测吸引子类型 “生命游戏”属于Wolfram 的第 4 类自动机 它具备Wolfram 所列的第 4 类自动机的所有属性 Wolfram 猜测第 4 类元胞自动机具备进行通用计算的能力 这也是我们下一个学习单元将要探讨的内容