Vamos olhar mais de perto para a ideia de que Autômatos Celulares são sistemas dinâmicos análogos ao mapa logístico. Bem, aqui nós temos uma comparação ponto por ponto. No mapa logístico nós temos essa equação em que o valor de x em t+1 é alguma função do valor de x no tempo t. E aqui está nossa equação familiar. De forma bem similar, em AC elementares e outros tipos de Autômatos Celulares nós temos nosso próprio estado de mundo que é nossa configuração de espaço de células pretas e brancas, e a configuração do espaço no tempo t+1 é uma função da configuração do espaço no passo de tempo anterior. Aqui a função é representada pela regra que está olhando as vizinhanças e atualizando a célula central. Tanto o mapa logístico quanto os ACs elementares são completamente determinísticos, não existe aleatoriedade envolvida. Ambos são iterados em passos do tempo discretos. No mapa logístico nós temos um estado contínuo. Ou seja, o valor de x é um número real, enquanto nos Autômatos Celulares a configuração de espaço é um estado discreto, é uma sequência de células pretas e brancas A dinâmica do mapa logístico, nós vimos que foi de um ponto fixo, para periódica, para caos. Nós vimos todos esses tipos de dinâmica, e similarmente nos Autômatos Celulares, especialmente aqui, nos autômatos elementares, onde vimos esses mesmos tipos de dinâmica, ponto fixo, periódica e caos. No mapa logístico, nós tínhamos o que é chamado de parâmetro de controle, r, ou seja, conforme movíamos r de 0 a 4, nós vimos que a dinâmica do sistema começou de um ponto fixo, e se moveu através de atratores periódicos, através de um caminho de duplicação de período até o caos. Bem, o que é o parâmetro de controle para autômatos celulares elementares e outros? Claramente não é o número Wolfram. O número Wolfram não ordena os autômatos celulares em qualquer ordem que corresponda ao seu comportamento, é arbitrário. Então as pessoas começaram a pensar sobre o que seria um parâmetro de controle que desempenharia o mesmo papel que r. Conforme você aumenta o valor do parâmetro você segue através desses tipos diferentes de comportamentos dinâmicos. Chris Langton é um cientista de sistemas complexos que trabalhou com autômatos celulares extensivamente, e encontrou essa ideia chamada de parâmetro lambda como um parâmetro de controle proposto para autômatos celulares. Para autômatos celulares de dois estados, do tipo que nós estávamos olhando, ou seja, cada célula é ou preta ou branca, lambda é simplesmente definido como a fração de estados resultantes pretos em uma tabela de regra. Então, por exemplo, dada essa tabela de regra, nós contaríamos nessa coluna de estados resultantes, nós temos 1, 2, 3 4, 5, sobre um total de 8. Então o lambda aqui é cinco oitavos. Então essa é uma definição realmente simples, mas Langton foi capaz de mostrar que em alguns casos o valor de lambda do autômato celular era um preditor razoavelmente bom de seu comportamento. A hipótese de Langton era que o comportamento típico de autômatos celulares com um dado valor de lambda seguiria com essa escala. Do comportamento de ponto fixo a menores níveis de lambda e, conforme lambda fosse aumentado, nós veríamos comportamento periódico e então caótico. Claro, como autômatos celulares têm dois estados, branco e preto, eles são simétricos nisso. Por exemplo, um lambda de 0, que significaria pontos fixos de todos brancos, é um comportamento basicamente equivalente a um lambda de um que fossem pontos fixos de todos pretos. Então se você invertesse as cores pretas e brancas nos estados de atualização você teria um comportamento igual ou equivalente apenas com as cores invertidas. Isso é um pouco diferente do r, no sentido de que temos essa simetria. Langton fez simulações extensivas para testar sua hipótese e ele encontrou que lambda tende a ser um melhor previsor de comportamento para autômatos celulares que não são elementares, aqueles cujo tamanho da vizinhança é maior do que três células. Nós vamos olhar para a relação entre lambda e comportamento de autômato celular usando um applet que foi desenvolvido nos departamentos de matemática de Hobart and William Smith Colleges. Esse link também está na nossa página de materiais do curso. Nessa página você pode abrir a simulação Edge of Chaos É um applet JAVA e tem algumas opções complicadas que você pode usar. Para fazer isso simples, eu vou criar um novo mundo e eu vou vou colocar o número de estados como dois, que é preto e branco, e definiremos o tamanho da vizinhança como cinco. Então cada célula se comunica com duas células de cada lado dela. E esses são autômatos celulares de uma dimensão ainda. Nós vamos dizer não, regras não são isotrópicas. Você pode ler sobre isso no site, isso só significa que nós vamos usar as regras mais gerais, o mundo é circular, e assim por diante. OK, então vamos criar um mundo, e agora o que nós podemos fazer deslizar lambda usando esse cursor. Então quando lambda é zero essa configuração inicial aleatória que você mal pode ver aqui sempre se atualiza pra branco. Bem, nós podemos fazer a mesma coisa tendo um mundo aleatório novo. que cria uma nova configuração inicial aleatória, e assim por diante. Então nós podemos aumentar lambda e ver como ele muda. Então aqui nós temos um ponto fixo de tudo branco e nós seguindo movendo lentamente, cada vez que eu faço isso o que a simulação faz é pegar um novo autômato celular que tenha esse valor lambda. Claro, existe mais de um autômato celular que tem esse valor lambda, mas ele está pegando um aleatoriamente. Agora eu estou começando a obter comportamento periódico, e ainda periódico, pode ser um pouco mais complicado, então eu estou deslizando, deslizando, deslizando... OK. Bem, uma coisa mais interessante, talvez mais interessante e bom comparativo é, vamos ver... começar com um ponto Que é começar com uma célula, preta. Certo, então eu sigo indo aqui, ainda periódico. Agora eu estou obtendo alguma coisa um pouco mais complicada. Certo, veja isso, bem, isso está começando a parecer um pouco mais com um padrão caótico ou aleatório. Eu movo isso pouco mais, e assim por diante, até que eu tenha movido isso para o meio, e agora as coisas estão parecendo realmente, realmente aleatórias Então você pode brincar com isso, e o que Langton fez foi que ele implementou sua própria versão disso e fez experimentos extensivos procurando por escolhas aleatórias de autômatos celulares, para vários valores de lambda, e encontrou que lambda era um bom preditor dos tipos de dinâmicas que você provavelmente verá. Agora podem existir certas configurações iniciais que dão comportamentos diferentes de outras configurações iniciais com o mesmo autômato celular, mas sua preocupação era com a média do comportamento. Bem, eu estava usando a palavra caos um pouco frouxamente aqui. Até que ponto esse comportamento que parece aleatório que vemos é de fato caótico? Isto é, ele tem dependência sensível das condições iniciais? Bem, Norman Packard investigou isso, e o que ele fez foi que ele procurou diferentes autômatos celulares, aqui com vizinhanças de sete células. Ou seja, cada célula olha para três vizinhos de cada lado. Para cada valor de lambda, ele testou um número de autômatos celulares aleatoriamente selecionados com aquele valor de lambda com um número de condições iniciais aleatórias, e ele computou a diferença média da taxa de dispersão, que é uma medida de sensibilidade às condições iniciais. Basicamente você toma o mesmo autômato celular e começa com condições iniciais muito parecidas, talvez um bit distante uma da outra: uma célula preta se torna uma célula branca, e vê quão rápido as duas se dispersam em comportamento. Existe uma medida para isso. Ele traçou isso como um gráfico de lambda e você vê aqui que você tem um comportamento bastante ordenado, e aqui você tem como que uma transição para um comportamento mais caótico, e aqui você realmente tem caos, com dependência sensível das configurações iniciais. De fato, você obtém esse tipo de comportamento que Langton supôs e Packard mostrou em seus experimentos. Packard chamou essas regiões de "Edge of Chaos", ou seja, o lugar onde as coisas não estão completamente ordenadas, e ainda não estão completamente caóticas ou aleatórias, e isso corresponde, grosso modo, à Classe 4 de Wolfram, ou seja, esses autômatos celulares interessantes com vida longa, estruturas localizadas, tais como na Regra 110. Então, em resumo, autômatos celulares podem ser vistos como sistemas dinãmicos com diferentes tipos de atratores tais como ponto fixo, periódico, caótico, e o que nós podemos chamar de "limite do caos". E essrs correspondem às quatro classes de Wolfram. O parâmetro lambda de Langton é um parâmetro de controle proposta que mais ou menos indica qual tipo de atrator esperar. Outras pessoas propuseram outros parâmetros de controle relacionados a lambda que algumas vezes fazem um melhor trabalho de previsão. O Jogo da Vida é um autômato celular de classe 4. Ele tem todas as propriedades que Wolfram listou para um autômato celular de Classe 4. Agora, Wolfram fez uma hipótese de que autômatos celulares de Classe 4 são capazes de computações universais que é alguma coisa sobre a qual irei falar na próxima subunidade.