Veamos con más detalle la idea de que los autómatas celulares son sistemas dinámicos análogos a los mapas logísticos. Bien comparemoslos punto por punto En los mapas logísticos en esta ecuación el valor de x en t+1 es una función del valor de x en el momento t. Y aquí está nuestra ecuación familiar. Bien de manera similar, los autómatas celulares elementales y de otros tipos tenemos un estado de cosas que es nuestra configuración de la cuadrícula de celdas negras y blancas, y la configuración de la cuadrícula en t+1 es una función de la configuración de la cuadrícula en el momento anterior. Aquí la función está representada por la regla de ir ocupando las inmediaciones y actualizando la celda central. Ambos, el mapa logístico y los autómatas celulares elementales son completamente determinístas, no hay ninguna aleatoriedad implicada. Ambos evolucionan en intervalos temporales discretos. En el mapa logísitico tenemos un estado continuo. Esto es, el valor de x es un número real, mientras que en los autómatas celulares la configuración de la cuadrícula es un estado discreto de celda negras y blancas. Las dinámicas del mapa logístico iban de la de punto fijo, a cíclica, a caótica. Vimos todas estas dinámicas y análogamente en los autómatas celulares, especialmente en el autómata elemental vimos este tipo de dinámicas, de punto fijo, cíclica y caótica. En el mapa logístico teníamos lo que se denominaba el parámetro de control r, esto es que al mover r de 0 a 4 veíamos las dinámicas del sistema empezaban en la de punto fijo, y pasaban a otra de atractores cíclicos a otra en la que se dupicaba el periodo hasta llegar al caos. ¿Bien, que sería el parámetro de control para los autómatas celulares elementales o de otro tipo? Está claro que no se trata del número de Wolfram. El número de Wolfram no ordena los autómatas celuláres en ningún orden que corresponda a su comportamiento, es arbitrario. Así que la gente empezó a reflexionar sobre que serviría de parámetro de control que representara lo mismo que r. Un valor tal que al crecer el sistema atravesara estos tipos diferentes de comportamientos dinámicos. Chris Langton es un científico de sistemas complejos que trabaja extensamente sobre autómatas celulares, y planteó esta idea de un parámetro lambda como propuesta de parámetro de control para los autómatas celulares. Para autómatas celulares de dos estados, los del tipo que hemos observado, en los que cada celda es negra o blanca, lambda se define sencillamente como la fracción de los resultados "negra" en una tabla generadora. Así por ejemplo, dada esta tabla generadora contaríamos en esta columna de estados resultantes, tenemos una, dos, tres, cuatro, cinco, de un total de ocho. Así que lambda sería cinco octavos. Se trata realmente de una definición sencilla, pero Langton ha sido capaz de demostrar que algunos casos el valor lambda de un autómata celular era un predictor bastante bueno de su comportamiento. La hipótesis de Langton era que el comportamiento típico de los autómatas celulares con un determinado valor lambda se alinearía con esta escala. Desde comportamiento de punto fijo para valores bajos de lambda, a, según lambda crecía, comportamientos cíclicos y luego comportamientos caóticos. Por supuesto, al tener los autómatas celulares dos estados, negro y blanco, son simétricos en el sentido de que por ejemplo, para lambda igual cero, que significaría todos los puntos blancos fijos, su comportamiento es básicamente equivalente a lambda igual 1 que sería todos los puntos fijos negros. De manera que si invertimos los colores blanco y negro en los estados actualizados obtendríamos el mismo comportamiento o equivalente solo que con los colores invertidos. Esto es algo distinto de r en cuanto que tenemos esta simetría. Langton realizó simulaciones extensas para probar su hipótesis y descubrió que lambda tiende a ser un predictor mejor del comportamiento de autómatas celulares que no son elementales que de aquellos que tienen un tamaño de entorno mayor de tres celdas. Vamos a observar la relación entre lambda y el comportamiento del autómata celular usando una applet desarrollada en el departamento de matemáticas del Hobert and Williams colleges. Este enlace lo hallarán también en la página de materiales del curso. En esta página podrán observar la simulación "Edge of Chaos" una applet JAVA que tiena algunas opciones complicadas que podrán usar. Para simplificar voy a generar un nuevo mundo. Voy a poner el número de estados en dos, esto es negro y blanco, y el tamaño del entorno en 5. De esta manera cada célula se comunica con otras dos a cada uno de sus lados. Se trata pues de autómatas celulares unidimensionales. Ninguna de las reglas de generación es no isotrópica. Pueden leer al respecto en la página web solo significa que usaremos las reglas más generales, el mundo es circular, y demás. Bien, vamos pues a crear un mundo y ahora podemos deslizar lambda usando este control. Así cuando lambda es cero esta configuración inicial aleatoria, que dificilmente pueden ver aquí, siempre se actualiza a que estado? Bien, podemos hacer lo mismo con un nuevo mundo, que solo cree una nueva configuración inicial aleatoria, y demás. Incrementamos lambda y vemos que tipo de cambio se produce. Así que aquí tenemos un punto fijo con todo blanco y si seguimos incrementandolo lentamente cada vez que lo hago lo que la simulación hace es coger un nuevo autómata celular con este valor de lambda. Por supuesto, existe más de un autómata celular con este valor de lambda, pero aquí se escoge uno al azar. Justo ahora empiezo a obtener un comportamiento cíclico, y aunque cíclico puede que sea algo más complicado, así que sigo aumentando, aumentando... vale. Bien, algo interesante tal vez más interesante y buena cosa comparativa es disponer, veamos... empezar con un punto. Es decir, empezar solo con una célula negra. Bien, sigo adelante, aún sigue siendo periódico. Ahora obtenemos algo ligeramente más complicado. Muy bien dividamos esto, y esto empieza a parecerse algo más a un patrón aleatorio o caótico. Lo muevo algo más arriba, y sigo hasta que llego aproximadamente a la mitad, y ahora las cosas si que empiezan a verse realmente aleatorias. Pueden continuar usándolo y lo que hizo Langton fue implementar su propia versión de esto y realizar una extensa experimentación observando autómatas celulares tomados aleatoriamente para diferentes valores de lambda y descubrió que lambda es un predictor aceptable del tipo de dinámicas que probablemente encontraremos. Puede que una cierta configuración inicial produzca un comportamiento distinto del producido por otra para un mismo autómata celular, pero nos importa el comportamiento promedio. Bien, he venido usando el término caos con cierta alegría. ¿Hasta que punto es realmente caótico este comportamiento aparentemente aleatorio? De hecho, tiene una dependencia sensible de las condiciones iniciales? Bien, Norman Packard lo investigó y lo que hizo fue observar diferentes autómatas celulares, aquí con entornos de siete células, esto es cada célula se comunica con tres vecinos por cada lado. Para cada valor de lambda probó cierto número de autómatas celulares tomados al azar con dicho valor de lambda con cierto número de condiciones iniciales, y computó la diferencia promedio de la tasa de dispersión que es una medida de la sensibilidad a las condiciones iniciales. Básicamente tomamos el mismo autómata celular y lo activamos en condiciones inicales muy similares, puede que solo con un bit de diferencia, cambiando una célula negra por blanca, y observamos a que velocidad diverge el comportamiento de ambos. Existe una medida para ello. Representó los resultados en función de lambda y podemos ver aquí comportamientos muy ordenados, y aquí tenemos como una transición a un comportamiento más caótico, y aquí vemos realmente caos, con una dependencia sensible a las condiciones inicales. De hecho observamos este tipo de comportamiento que Langton supuso y que Packard comprobó en sus experimentos. Packard denominó estas regiones el filo del caos, es decir, el lugar donde las cosas no están del todo ordenadas, aunque aún no son completamente aleatorias lo que corresponde a grosso modo a la clase 4 de Wolfram. Es decir, aquellos autómatas celulares con estructuras duraderas y localizadas, como las de la regla generadora 110. Resumiendo, los autómatas celulares pueden ser vistos como sistemas dinámicos con diferentes tipos de atractores como los de punto fijo, cíclicos, caóticos, y lo que podemos denominar como filo del caos. Y estos corresponden a la clase 4 de Wolfram. La lambda de Langton se propone como parámetro de control capaz de dar indicios acerca del atractor previsible. Se han propuesto otros parámetros de control relacionados con lambda capaces de hacer mejores predicciones. El "juego de la vida" es un autómata de clase 4. Cumple todas las propiedades que Wolfram enumeró para los autómatas celulares de clase 4. Wolfram planteó la hipótesis de que los autómatas celulares de clase 4 son capaces de computación universal, algo de lo que hablaré en la próxima unidad.