Na subunidade anterior eu falei sobre a dimensão fractal
de vários objetos como por exemplo linhas costeiras.
Mas eu ainda não disse como as dimensões desses fractais do mundo real foram calculadas.
É possível calcular as dimensões da curva de Koch e do triângulo de Sierpinski porque eles são
fractais matemáticos perfeitos, não são objetos do mundo real.
Mas existe um grande interesse em computar dimensões aproximadas de fractais no mundo real
porque isto pode fornecer "insights" sobre sistemas naturais
e sobre sistemas criados pelo homem.
Existem muitos métodos diferentes para analisar fractais
e livros inteiros são dedicados a esse assunto.
Aqui eu vou mostrar um método comumente utilizado para estimar
a dimensão de fractais: o método da contagem de caixas.
O método da contagem de caixas está fortemente relacionado de que
a medida que você muda o tamanho da régua com a qual você mede o fractal
você obtém um comprimento diferente, a medida que você avança
cada vez usando réguas menores.
Eis em que consiste o método da contagem de caixas:
Dado um objeto em particular, aqui temos uma figura da costa britânica,
o que fazemos e sobrepor essa figura com uma grade de caixas.
Cada caixa tem um certo comprimento que serve como escala para medirmos a figura.
O que fazemos é contar a quantidade de caixas onde
a linha preta do contorno da costa aparece.
Por exemplo, ela não aparece nesta caixa, ainda que ela esteja no meio da Grã-Bretanha, não contamos com ela.
Seguindo esse procedimento e contando a quantas caixas contém o contorno preto, temos 36
o comprimento do lado é de 10 unidades, pra cada caixa.
Agora vou para o próximo passo e aumento o tamanho das caixas,
eu contarei as caixas mas usando uma escala diferente.
Aqui, devido o aumento do comprimento da caixa, temos menos caixas
que contenham partes da figura.
Aumento mais uma vez, agora o comprimento das caixas é de 12, está ainda mais largo,
e contei 27 caixas que contenham partes da figura.
Continuamos o processo, guardando os valores obtidos.
Vamos ver a relação entre a dimensão de Hausdorff, a qual já aprendemos,
e a dimensão por contagem de caixas.
Se você se lembra, na dimensão de Hausdorff, temos uma relação
que consiste no número de cópias de uma figura em um nível anterior.
O logaritmo desse valor é igual a dimensão vezes o logaritmo do fator de redução do nível anterior.
Pode ser demonstrado que, se usarmos o método da contagem de caixas,
tal valor pode ser aproximado se fizermos o logaritmo do número de caixas
igual ao produto da dimensão pelo logaritmo de 1 sobre o comprimento do lado.
O valor D é chamado a dimensão por contagem de caixas.
Se você quiser ver a derivação disso e outros detalhes sobre a relação
entre essas duas dimensões, dê uma olhada no capítulo 4
do "Fractal Explorer" que é um site sobre fractais.
Tem um link para ele nos materiais do curso.
Agora a pergunta é, como nós obtemos esses valores na prática, a partir de nossos valores,
quantidades de caixas e comprimentos das caixas.
Bem se você se lembrar de um pouco de álgebra, deve ter notado que esta equação
é na verdade a equação de uma linha reta.
Se traçarmos um gráfico,
onde os eixo x é o log(1 / comprimento da caixa)
este valor aqui.
e o eixo y é o log(número de caixas)
e D é a inclinação da reta.
Então o que podemos fazer é pegar as medidas que calculamos a cada nível e plotar cada medida neste gráfico.
Aqui estão algumas medições hipotéticas,
o número de caixas diminui a medida que o comprimento das caixas aumenta.
como aqui temos 1 / comprimento da caixa, quando o comprimento aumenta, este valor diminui.
Podemos ver que se essa equação é verdadeira isso deve formar uma linha reta cuja inclinação é a dimensão.
Assim podemos estimar a dimensão traçando esses pontos, através das nossas medições,
Passando uma linha reta por eles, calculando o valor da inclinação da reta.
Esta é a nossa dimensão calculada.
Esta é o meio que as pessoas usam para calcular a dimensão das linhas costeiras.