En la sub-unidad previa hablé de la dimensión fractal de varios objetos como las líneas costeras , pero aún no les he mencionado cómo estas dimensiones fractales del mundo real son computadas. Para nosotros fue posible computar la dimensión fractal de la curva de Koch y del triángulo de Sierpinsky porque son fractales matemáticamente perfectos, no objetos del mundo real. Pero hay mucho interés en computar dimensiones fractales aproximadas en el mundo real, porque suelen ofrecer ideas sobre sistemas naturales o creados por el hombre. Hay variados métodos para analizar fractales y hay libros enteros dedicados a este tema. Aquí les mostraré un método comunmente utilizado para estimar la dimensión fractal: el método de conteo de cajas. El método de conteo de cajas se relaciona cercanamente con la idea de que mientras cambias el tamaño de la regla con la que mides un fractal, obtienes una medida distinta mientras vas disminuyendo las escalas de longitud. Así que en esto consiste el método: tomas un objeto particular. Aquí tengo una imagen de la línea costera británica. Entonces lo que hacemos es cubrir esta figura con una rejilla de cajas o cuadros. Cada cuadro tiene una longitud de lado que es la escala con la que estamos midiendo esta figura. Y lo que hacemos es contar el número de cuadros en los que parte de la línea costera aparece. Por ejemplo, no aparece en este cuadro aunque marca el centro de Gran Bretaña, así que no lo contamos Si seguimos este procedimiento y contamos el número de cuadros que contienen parte de esta línea tenemos 36. La longitud de lado fue de 10 unidades por cuadro. Ahora voy al siguiente paso e incremento el tamaño de los cuadros. Así que ahora calculo el número de cuadros pero en una escala diferente. Aquí porque el tamaño de un lado de un cuadro es mayor, tengo menos cuadros que contienen parte de la imagen. Luego subo otra vez. Aquí el tamaño del cuadro es mayor nuevamente, doce. Y tengo 27 cuadros que contienen parte de la figura. Siguen haciendo esto y acumulando esta lista de números. Veamos la relación entre la dimensión de Hausdorff que ya aprendimos y el método de conteo de cuadros. Si recuerdan, para la dimensión de Hausdorff teníamos una relación que era el número de copias de una figura de un nivel anterior, y tomábamos su logaritmo, que era igual a la dimensión por el logarimto del factor de reducción del nivel anterior. Se puede demostrar que si ocupas este método de conteo de cuadros esto se puede aproximar mirando al logarimto del número de cuadros que es igual a la dimensión por el logaritmo de uno sobre la longitud de lado. "D" es la dimensión de conteo de cuadros. Si quieren ver la derivación de esto y otros detalles sobre la relación entre estas dimensiones, vean el capítulo 4 del "Explorador de Fractales", que es un sitio web sobre fractales, del cual hay un link desde nuestra pagina de materiales de curso. Ahora la pregunta es cómo obtenemos esta "D" de nuestros valores de números de cuadros y longitudes de lado. Pueden notar que esta ecuación es de hecho la ecuación de una línea recta si la trazamos en una gráfico donde los ejes aquí son el logaritmo de uno sobre la longitud de lado - este valor x - y el eje y es el logaritmo del número de cuadros. "D" sería la pendiente de esta línea. Entonces podemos tomar las medidas que tomamos para cada nivel del conteo de cuadros, y trazar cada medida en este gráfico. Aquí tenemos unas medidas hipotéticas que podríamos haber obtenido, en las que el número de cuadros disminuye mientras aumenta la longitud de lado. Ahora, esto es uno sobre la longitud de lado así que mientras la longitud de lado aumenta, esto disminuye. Pueden ver que de ser esto verdad debe formarse una línea recta cuya pendiente es la dimensión por lo que podemos estimar la dimensión tomando las medidas de nuestros cuadros y trazando estos puntos dibujando una linea recta entre ellos y averiguando cuál es la pendiente de esa línea, y esa es nuestra dimensión. Eso es, aproximadamente, lo que la gente hizo para calcular cosas como la dimensión fractal de una línea costera.