现在我们可以准确的给维度下定义

假设我们做我们曾经一直做的

即，根据给定的一个D-维度的物体，比如线条、方形、立体，来建立一个几何结构

通过M次重复的分割物体的长度大小

这些是我们之前所做的

比如，当进行平分时，M等于2

当进行三等分时，M等于3

这是我们的法则，我们也观察到了每一个新的层次

我们得到的是前一水平下的M的D次方倍数

通过M分化得来

将份数称为N

Ok，那么N就等于M的D次方，只是重新将其定义为N

现在，可以取两边的对数来定义D

所以，N取对数就等于D乘以M取对数（log N = D* log M）

用之前视频中的对数法则得到

同样，可以将维度-D看作是N取对数除以M取对数（D=logN/logM）

即，维数就是得到的分化数去对数除以分化减少的长度或者边数的对数

Ok，验证一下这个方程满足对维数的标准概念

验证维数-1

以平分的版本，即M等于2时为例

我们将每一边分割成相等的两块

M就是2，而N，即分化的数量，也是2

所以对于维数-D，等于2的对数除以2的对数，就是1（log2/log2 =1）

这是有效的因为得出了正确的维数，维数-1

接下来看看三等分的版本

对于三等分，M等于3（M=3）

将每一边平分成三个相等的部分

所以，对于维数 N，分化的数量，是3（N=3）

因此，D等于3的对数除以3的对数，等于1（D=log3/log3 =1）

同样，验证有效因为得到维数1（D=1）

因此，方程满足我们直觉上得出的正确答案

验证2维物体是否也适用

对于2维物体，如果平分，维数等于4的对数除以2的对数，即2（D=log4/log2=2）

如果你想的话可以在计算器中验证一下

对于三等分，M等于3，N等于9

因此D等于9的对数除以3的对数，等于2（log9/log3 =2）,也适用

最后，维数-3，你可以自己验证一下，我也肯定是有效的

现在，一切都按照我们预想的完成了

即计算科赫曲线的维数

如果你还记得，科赫曲线中

我们画出一线段，并擦出其中的三分之一

用一个等边三角形替代中间的这三分之一

即，先前构造的三分之一

之后我们重复这个形式直到出现这个东西

我们可以一直做下去

对于科赫曲线，M等于3（M=3）

即，我们通过因子3减少线段的边数

N，每一个水平下分化的分数等于4（N=4）

在每一个水平下，我们用4个分部来代替前一水平的图形分布

根据定义，科赫曲线的维数就是

4的对数除以3的对数，即logN除以logM（D = log 4/log 3 = log N/log M）

在计算器中计算得出约等于1.26 (D=1.26).

但这意味着什么

一方面，这意味着曲线的维数大约是1.26

即，我们重复越多次就越接近1.26

但1.26到底意味着什么？介于1和2之间(1 < D < 2) 的维数到底什么意思？

很难从直觉上理解

但可以解释为这是一个测量份数与片段大小减少的关系的衡量方式

大致上，有点像自相似的密度问题

对于正常的几何图形，维数的整数

但对不规则的图形，有更高的自相似密度

维数会是非整数的

只是给你一个大致的概念，引用了我的《复杂性引导》书中的一些话

我所讲的分形维数指的是

“我见过很多尝试对分形维数是指直观的描述”

“例如，据说分形维数代表着粗糙的，耐用的，锯齿状的，或复杂的对象”

“一个物体分形的程度，以及物体结构的‘密度’”

“我很喜欢的一个相当诗意的概念“量化细节的暗流”的物体

即，量化了你对于各尺度下能看到的细节

就像你自己对暗流自身进行越来越深的探索一样

对于规则构造的图形，比如光滑的、圆形的大理石

如果你通过持续放大观察构造

最终会到达没有意义的细节的层次

不规则构造，在另一方面来说，每一个层次上都有有趣的东西

分形维数，在某种意义上，以一个方程来的形式量不断放大了的

不同层面上细节的有趣部分”

这是我书上的描述

当然，描述是通过各方面的细节尽量完美地解释数学分形

这有点像是自然分形