Давайте разберёмся во всём этом
на конкретном примере.

Для упрощения, примем длину нашего
начального сегмента за один метр.

Теперь обратимся к таблице, которая
использует нашу формулу длины кривой Коха.

То есть четыре в степени номера уровня,
делённое на три в степени номера уровня...

...и всё это умноженное на единицу:
(4^N/3^N)*1.

Единица - это один метр, вот он.

Видно, что с повышением уровня 
длина кривой Коха возрастает.

Почему же?

Всё дело в том, что каждый раз мы
делим длины сегментов на три,

а количество сегментов умножаем 
на четыре.

Поэтому количество сегментов увеличивается
быстрее, чем уменьшается их длина.

Таким образом, к 100-ому уровню длина
сегментов становится крайне маленькой,

-порядка десяти в минус сорок восьмой-
10^(-48)

(это сорок восемь нулей после запятой)
0,0000000000...000000000000000000001

но их количество возрастает астроно-
мически до десяти в шестидесятой (10^60).

В результате, общая длина кривой достигает
3.1 триллиона метра.

Для наглядности, длина кривой Коха
при уровне 100 равна

трём миллиардам километров (3 х 10^9 км) 
или двум миллиардам миль.

Поразительно!

Задумайтесь на минутку.

Благодаря крошечным впячиваниям (подобно
береговым линиям, которые мы видели ранее)

кривая Коха, по размеру сопоставимая с 
метровой линейкой,

способна вместить в себе огромную
дистанцию.

Это не сотый уровень; в любом случае 
мельчайших впячиваний мы бы не заметили.

Но при сотом уровне, кривая сжимала бы
около двух миллиардов миль в одном метре.

Феноменально!

Разумеется, такого экстремального
сжатия

не наблюдается в природных 
фракталах,

но это объясняет высокую 
распространённость фракталов в природе.

Это крайне эффективный способ сжатия
огромного количества материи,

будь то ветви деревьев, или цветочки
брокколи, или горный ландшафт,

в малый объём пространства.

По этой причине кривую Коха называют
"заполняющей пространство".

Существует множество других примеров 
подобных "заполняющих" природных структур:

вены, артерии и капилляры,составляющие 
сердечно-сосудистую систему теплокровных;

корни растений, растущих в почве;

структуры головного мозга.

Во всех этих примерах фракталоподобная
геометрия используется

для оптимизации количества вещества, 
сжимаемого в небольшое пространство.

Мы поговорим об этом подробнее в главе
о масштабировании.