Всем привет. Этот модуль о фракталах.
Фракталы – это объекты, самоподобные при разных масштабах измерения.
Подумайте о дереве. У него есть ствол, у ствола есть ветки,
из этих веток растут другие веточки,
у них тоже есть ответвления и так дале.
Так что это фрактал. Фракталы хорошо подходят,
для описания многих объектов в природе.
В этом модуле мы будем исследовать фракталы, как визуально, так и
математически, и я кратко расскажу о том какую роль
играет фрактальная геометрия в сложных системах.
Фрактал можно интуитивно определить как объект, который
похож сам на себя при разных масштабах. Это поразительно, как много
природных объектов обладают подобным качеством.
Давайте рассмотрим простой пример.
Дерево. Дерево – это фрактал и позвольте мне объяснить
понятие самоподобия.
Возьмем изображение дерева.
Теперь возьмем часть этого изображения,
вырежем его и увеличим. Вы можете увидеть
что структура на увеличенной части изображения
очень похожа на структуру, которую мы видим
на исходном изображении. Давайте сделаем это снова.
Возмем часть этого изображения в этой красной рамке
и увеличим его.
Снова,
структура, которую вы видите внутри увеличенного фрагмента,
выглядит очень похожей на две предыдущие картинки и обратите внимание,
что третья картинка является крошечной частью оригинального изображения.
Мы можем сделать это еще раз.
Возьмем часть третьей картинки, увеличим его –
и снова у нас древовидная структура.
Так что неважно, как глубоко вы идете,
до какой определенной точки в этом изображении. Вы можете брать
небольшой фрагменты, увеличивать их и видеть на них
очень похожие структуры.
Это смысл понятия «самоподобие при разных масштабах».
Теперь, прежде чем идти дальше,
я сделаю краткое замечание для всех
любителей математики. Настоящее определение фрактала
говорит, что объект должен быть
абсолютно одинаковым при разных масштабах.
То есть объекты, которые мы будем обсуждать,
природные объекты – всего лишь фракталоподобные.
Они не настоящие фракталы в математическом смысле,
но я все равно буду использовать для них термин «фрактал».
Вот фото особого сорта брокколи,
сорта, который обладает свойствами фрактала.
Вы можете видеть, что каждый из этих маленьких брокколи-холмов
состоит из других брокколи-холмиков, которые сами обладают
такой же структурой и так далее.
Прожилки на листьях – фракталы, так же как деревья.
Скопления галактик могут быть фракталами.
На самом деле это скопление скоплений и если я посмотрю на одно из них,
оно само по себе может состоять из скоплений и так далее.
Так что скопление галактик может быть фракталом.
Корни деревьев обладают древовидными фрактальными свойствами.
Горные хребты являются фракталами.
Если вы посмотрите на любую из этих гор,
на ней также будут пики и впадины, точно также как у горного хребта в целом.
Удивительно, но Интернет – это фрактал.
Это карта части всемирной паутины – связи между веб-страницами –
и вы можете увидеть, если увеличите небольшую часть,
что «колосья» точно так же расходятся от центрального хаба
как на целом изображении сети.
Позже мы увидим, когда будем обсуждать сети
значимость фрактальных свойств
таких сетей как World Wide Web.
Это небольшая выборка некоторых
фракталоподобных объектов в природе.
Если немного поговорить об истории,
многие математики изучали
понятия связанные с фракталами,
такие как понятие самоподбия или дробной размерности,
мы поговорим об этом тоже, немного позже,
и посмотрим на что похожи объекты с дробной размерностью.
Это длилось много веков в математике,
но сам термин «фрактал»
для описания таких объектов
был предложен Бенуа Мандельбротом, математиком двадцатого столетия.
Он образовал слово от корня латинского слова fractus (дроблёный).
Целью Мандельброта было создание математической теории «неровности»,
чтобы лучше описывать природный мир.
Обычная геометрия, математика простых структур
описывает гладкие объекты,
но реальный мир состоит из очень неровных объектов,
таких как горные хребты, скопления галактик и так далее.
И Мандельброт понял, что ему нужно объединить
результаты многих математиков,
из разных областей, чтобы создать новую ветвь математики,
названную фрактальной геометрией.
Наиболее известный пример Мандельброта –
это измерение береговой линии.
Он, в частности, рассматривал берега Великобритании,
потому что они сильно изломаны и его вопрос был таким:
Предположим мы хотим измерить длину этих берегов –
какой длины должна быть линейка?
Вот, если мы посмотрим сюда
мы измеряем берег с помощью достаточно длинной линейки
и получаем определенную длину – 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Но если мы уменьшим линейку, то мы получим более длинную береговую линию.
Здесь мы уменьшили линейку в два раза и если посчитать, мы получим
1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 28.
Но 28 больше 12, более чем в 2,5 раза,
а значит длина, которую мы получили здесь
больше той длины, которую мы получили здесь
и причиной была меньшая линейка, которая чуть лучше вписывалась
в уголки и закоулки побережья.
Если мы возмем линейку еще меньше, половину от этой,
вы можете видеть, что она еще лучше вписывается
в уголки и закоулки и дает еще большую
длину береговой линии, чем мы получили здесь.
Так чему равна длина береговой линии?
Если взять еще меньшую линейку,
мы очевидно сможем вписаться в другие уголки и закоулки.
И мы долго будет встречать новые извилины, увеличивая картинку берегов.
Давайте взглянем на настоящую фотографию береговой линии.
Я выбрала берега Ирландии.
Это спутниковый снимок Ирландии.
Итак, давайте поступим так же, как раньше с деревом.
Мы берем небольшую часть берега.
Мы видим, что это довольно скалистое побережье,
особенно здесь, в юго-западной части Ирландии.
Теперь я увеличиваю его,
и мы видим еще больше бухт и расселин,
и мы можем представить как маленька линейка войдет сюда,
а измеренная длина берега будет больше чем в этом масштабе.
Теперь я могу сделать то же самое –
взять отсюда маленький кусочек и увеличить его.
Я сделаю это на следующей странице, там я увеличу эту часть.
Теперь я заменю спутниковый снимок на изображение из Google Maps
и увижу еще более мелкие бухты и расселины вдоль берега.
Сделаем это вот здесь.
Теперь вспомним, что нам нужен
вот этот маленький кусочек.
Возьмем и увеличим его.
Не очень четко, но вы можете видеть
еще больше деталей чем здесь.
Еще больше изломов в малом масштабе.
Мы можем делать это снова и снова.
Увеличиваем эту часть.
Вы видите больше деталей и если мы увеличим этот кусочек
(Google Maps, на самом деле не может сделать этого,
но вы можете представить, будто
можно получить избражение в размере привычном вам,
как обычно видит пляж сам человек)
И подробно рассмотреть эти острые края.
и если потом, я возьму еще меньшую часть,
я доберусь до точки зрения краба.
Краб должен видеть еще больше деталей, чем человек.
И так далее и так далее. Это продолжается снова и снова.
И вопрос здесь:
Как долго береговая линия Великобритании или Ирландии
на самом деле зависит от длины линейки, которую мы используем?
Это, кажется странным, по сравнению с тем как мы привыкли об этом думать.
Мы считаем, что длина какого-либо объекта
вполне четкое понятие.
Что у объекта есть реальная длина.
Но какова реальная длина в этом случае?