Bună ziua tuturor, această lecție este despre fractali.
Fractalii sunt obiecte care sunt auto-similare la scale diferite.
Gândiți-vă la un copac, are un trunchi care are ramuri
și acele ramuri au alte ramuri
care pornesc din ele iar acestea au alte ramuri mai mici ș.a.m.d.
Deci acesta este un fractal. S-a dovedit că fractalii reprezintă o modalitate bună
de a descrie multe obiecte din natură.
În această lecție vom explora fractalii și din punct de vedere vizual
și din punct de vedere matematic și voi cerceta rolul jucat
geometria fractalilor în legătură cu sistemele complexe.
În mod intuitiv fractalii pot fi definiți ca obiecte
auto-similare la scale diferite. Este remarcabil
cât de multe obiect create de natură au această
proprietate. Să vedem un exemplu simplu.
Copaci. Copacii sunt fractali, să vă explic
acum noțiunea de auto-similitudine.
Avem poza unui copac.
Acum luăm o parte din poză și
tăiem această bucată și o mărim. Vedem că
structura care apare în acest fragment mărit din poză
este foarte similară cu structura pozei întregi.
Să facem același lucru din nou.
Luăm parte de poză din pătratul roșu
și o mărim. Din nou,
structura
pe care o vedeți în acest fragment mărit din poză
este foarte similară cu structurile din celelalte două poze precedente și observați că
a treia poză este doar un fragment mic
din poza originală. Acum putem face același lucru din nou.
Luăm o parte din a treia poză, o mărim,
din nou avem structuri similare cu un copac,
deci nu contează cât de departe mergem cu aceste poze până într-un anumit punct
luând bucățele din ele
mărindu-le vedeți că au
structuri foarte similare.
Acesta este esența noțiuni de auto-similitudine
la scale diferite. Acum, înainte de a trece mai departe,
o să fac o adnotare pentru
matematicieni. Definiția
fractalului este că obiectul este perfect auto-similar
la toate scalele posibile.
Deci obiectele create de natură despre care vom vorbi
sunt doar asemănătoare fractalilor. Nu sunt fractali reali
din punctul de vedere al matematicii, dar
voi folosi termenul ”fractal” pentru a le descrie.
Aceasta este o poză a unei specii de broccoli
speciale care are proprietăți de fractal.
Vedeți că fiecare din aceste mici buchete de broccoli
sunt formate din alte buchete mici care au
aceeași structură ș.a.m.d.
Nervurile frunzelor sunt fractali așa cum sunt și copacii.
Conglomeratele formate din galaxii pot fi fractali. Acesta este
un conglomerat format din mai multe conglomerate și dacă mă uit la unul
dintre conglomerate acesta este la rândul său un conglomerat ș.a.m.d.
Deci conglomeratele de galaxii pot fi fractali. Rădăcinile plantelor au
proprietăți care le fac să semene cu copacii. Lanțurile muntoase sunt fractali.
Dacă mă uit la unul dintre acești munți și el are vârfuri
și văi la fel cum are
întregul lanț muntos.. În mod surprinzător Internetul
este fractal. Aceasta este o hartă a unei părți
din Internet, conexiunile dintre paginile web
și puteți vedea, dacă măriți o porțiune mică din ea,
că are același tip structură tranzientă care pornește din
hub-ul central pe care o are întreaga poză reprezentând Internetul.
Deci vom vedea mai încolo, când vom vorbi despre rețele,
care este semnificația proprietății de fractal pentru rețele precum
Internetul. Aceste sunt exemple minore
de obiecte create de natură care seamănă cu fractalii.
Vom vorbi
puțin despre istorie... mulți matematicieni au studiat
noțiuni legate de fractali, precum noțiunea de
auto-similitudine sau dimensiunea fractalilor și vom
vorbi despre acest subiect ceva mai încolo și vom vedea
cum arată obiectele care au dimensiuni fracționale.
Asta înseamnă să ne ducem multe secole înapoi în ceea ce privește matematica,
dar termenul de ”fractal” folosit pentru a descrie obiecte
a fost propus de Benoit Mandelbrot, un matematician
din secolul XX. A preluat cuvântul de la rădăcina din latină
care se referea la fracturat. Scopul lui Mandelbrot a fost să dezvolte
o teorie matematică privind neregularitățile care să descrie mai bine
natura. Geometria tipică, matematica
privind structurile simple descrie obiecte netede,
dar lumea reală constă din obiecte cu multe neregularități
ca lanțurile muntoase și conglomeratele de galaxii.
ș.a.m.d. Și Mandelbrot ți dat seama că trebuie să adune
laolaltă munca depusă de mulți matematicieni
în diferite domenii pentru a crea o nouă
sub-ramură a matematicii, numită geometria fractalăilor.
Exemplul cel mai cunoscut dat de Mandelbrot se referă la
măsurarea lungimii unei linii de castă. S-a uitat cu atenție
la coasta Marii Britanii din cauza
neregularității sale și întrebarea sa a fost:
Să presupunem că vrem să îi măsurăm lungimea,
ce lungime ar trebui să aibă rigla pe care o vom folosi?
Dacă ne uităm aici
facem măsurătoarea cu o riglă destul de lungă și
avem anumite lungimi: unu, doi, trei, patru,
cinci, șase, șapte, opt, nouă, zece, unsprezece, doisprezece.
Dar dacă folosim o riglă mai scurtă vom avea
o coastă mai lungă. Aici scurtăm linia la jumătate și dacă măsurați
avem: unu, doi, trei, patru, cinci,
șase, șapte, opt, nouă, zece, unsprezece, doisprezece,
treisprezece, patrusprezece, cincisprezece, șaisprezece, șaptesprezece,
optsprezece, nouăsprezece, douăzeci, douăzeci și unu, douăzeci și doi,
douăzeci și trei, douăzeci și patru, douăzeci și cinci, douăzeci și șase
douăzeci și șapte, douăzeci și opt. Iar 28 de două ori și
ceva mai mare decât 12, ceea ce înseamnă
că lungimea pe care o avem acum este mai mare decât lungimea
pe care am obținut-o aici și motivul pentru care se întâmplă acest lucru este faptul că linia mai mică
se potrivește mai bine printre
colțurile și crăpăturile care există pe coastă.
Dacă luăm o riglă și mai mică, o împărțim pe aceasta la
jumătate. Vedeți că se potrivește chiar mai bine în
mai multe colțuri și crăpături și vom avea o coastă și mai lungă
decât cea pe care am măsurat-o aici. Deci care este
lungimea reală a liniei de coastă? Dacă luăm o riglă și mai mică
vom putea, în mod evident să o potrivim printre toate
colțuri și crăpături. Colțurile și crăpăturile,
după cum știți, sunt destul de adânci dacă ne focalizăm
asupra coastei. Haideți să vedem o versiune a liniei de coastă
din poze reale. Am ales linia de coastă
a Irlandei. Aceasta este o poză făcută din satelit a Irlandei.
Să aplicăm micul nostru joc pe care l-am făcut
și în cazul copacului. Luăm o porțiune de coastă,
Vedem că este o linie de coastă foarte neregulată,
în special aici în partea de sud-vest a
Irlandei. Ce voi face acum este să o măresc
și acum putem vedea și mai multe colțuri și crăpături.
deci ne putem imagina potrivind
o riglă mai mică aici și obținând o măsurătoare
mai lungă a coastei decât dacă am fi măsurat-o
la această scală.
Acum pot face același lucru,
iau o mică porțiune de aici și o măresc. Am făcut asta pe
pagina următoare unde am mărit-o puțin.
Am trecut de la poza din satelit la o poză
obținută din Google Maps iar acum pot vedea
mai multe colțuri și crăpături mici pe
linia de coastă.
Facem la fel pe bucățica asta de aici.
Țineți minte că aceasta nu este aceiași bucată cu
această bucată mică de aici. Este o bucățică din
cealaltă bucățică care este mărită.
Acum nu o puteți vedea la fel de bine,
dar puteți vedea chiar mai multe detalii
decât aici. Mai multe neregularități
la scală mai mică. Putem continua să facem asta
din nou și din nou. Aici avem partea asta mărită.
Putem vedea și mai multe detalii dacă mărim
o părticică din ea. Google Maps nu merge chiar atât de departe,
dar vă puteți imagina că dacă ajungeți la o scalaă destul de mică
unde voi ca persoane vă puteți uita pe plajă
și să vedeți detaliile
neregularităților și apoi dacă iau o porțiune
mai mică din ea și o aduc la nivelul de percepție al unui crab,
crabul ar fi în stare să vadă mai multe detalii decât o persoană,
și putem continua așa.
Deci răspunsul la întrebarea: cât de lungă este
linia de coastă a Marii Britanii sau a Irlandei
chiar depinde de lungimea riglei pe care o utilizăm
ca să facem măsurătorile. Asta pare a fi contrar
față de ce credem în mod normal. Credem că lungimea
anumitor obiecte este o noțiune bine definită, au
o lungime reală. Dar care este lungimea reală aici?