Cześć wszystkim. W tej części kursu zajmiemy się fraktalami.
Fraktale to obiekty wykazujące samopodobieństwo w różnych skalach.
Pomyśl o drzewie - ma pień, który ma gałęzie
a te gałęzie same mają gałęzie, które od nich
odchodzą, a tamte tak samo i tak dalej
Więc, jest to fraktal. Fraktale okazują się bardzo pomoce
w opisywaniu wielu obiektów w naturze
W tej części kursu, zdejmiemy się fraktalami, zarówno wizualnie
jak i pod względem matematycznym a ja pokryję także niektóre z ról
odgrywanych przez fraktale w systemach złożonych
Fraktale mogą intuicyjnie być zdefiniowane jako obiekty
samopodobne w różnych skalach. Uderzające jest to jak
wiele naturalnych obiektów posiada tą cechę.
Spójrzmy na prosty przykład.
Drzewa. Drzewa są fraktalami i pozwólcie mi wyjaśnic
pojęcie samopodobieństwa.
Weźmy zdjęcie drzewa.
Teraz weźmy fragment tego zdjęcie i
wytnijmy go i powiększmy. Możesz zauważyć, że
struktura powiększonej części obrazka
jest bardzo podobna do struktury całego zdjęcia
Zróbmy to jeszcze raz.
Weźmy fragment obrazka wewnątrz tej czerwonej ramki.
i powiększmy go. Znowu,
struktura
którą możesz zobaczyc wewnątrz tej powiekszonej częsci obrazka
wygląda bardzo podobnie do poprzednich dwóch obrazków i zauważ, że
ten trzeci obrazek jest bardzo małym fragmentem
oryginalnego zdjęcia. Teraz możemy zrobic to samo jeszcze raz.
Weźmy cześć tego obrazka i powiększmy -
znowu otrzymaliśmy strukturę, która wygląda bardzo podobnie do drzewa,
więc nie ma znaczenia jak daleko w dół dojdziesz do pewnego
punktu w tych obrazkach, możesz wciąż brac
małe fragmenty, powiększac je i widziec, że one
mają bardzo podobny rodzaj struktury
Jest to klucz w rozumieniu samopodobieństwa
na różnych skalach. Teraz, zanim przejdę do dalej,
pozwól mi zrobic krótką uwagę dla wszystkich was
który czują się lepiej z matmy. Aktualna definicja
fraktalu znaczy, że obiekt jest idealnie
samopodobny we wszystkich możliwych skalach
Tak obiekty, o których będziemy mówic w naturze,
są tylko fraktalo-podobne. Nie są prawdziwymi
fraktalami w sensie matematycznym, ale
zamierzam użyewac tetminu "fraktal" do ich
opisu. Więc tu jest obrazek specjalnego rodzaju
brokuła, który ma fraktalne właściwości.
Możesz zauważyc, że każdy z trych małych wzniesień (// w tym kwiatostanie)
składa sie z innych małych wzgórków, które same
składają się z tych samych struktur i tak dalej.
Nerwy liścia, także są fraktalami w tym sam sposób co drzewa są
fraktalami. Gromady galaktykach mogą byc fraktalami. Są to
w sumie gromady, gromad o jeśli spojrzec na jakąś
gromadę, która może byc gromadą i tak dalej.
Więc, gromady galaktyk mogą byc fraktalami. Korzenie roślin, mają
podobne do drzew fraktalne właściwości. Łańcuch górskie są
fraktalami. Jeśli spojrzę na jedną z tych gór, to także
znajdę wzniesienia i doliny w ten sam sposób
jak w łańcuchach górskich. Zaskakująco Ogólnoświatowa siec (World Wide Web)
jest fraktalem. To jest mapa cześci
sieci - połączenia między
stronami internetowymi, możesz zauważyć, że jeśli powiększysz małą część
to ma one ten sam rodzaj połączeń wychodzącuch
z centralnego huba (węzła), tak jak cały obraz sieci.
Zobaczymy więc późnie, kiedy będziemy mówili o sieciach
znaczenie fraktalnych właściwości sieci takich jak
World Wide Web. Jest to mała próbka
obiektów podobnych do fraktali występujących w naturze.
Pomówmy
trochę o historii - wiele matematyków studiowało
zagadnienia związane z fraktalami, takie jak zagadnienie
samopodobieństwa lub wymiaru fraktalnego i będziemy
mówić także trochę o tym później, i także jak mogą
wyglądać obiekty posiadające wymiar fraktalny (niecałkowity)
Tak więc, wracając wiele wieków temu w matematyce,
ale termin "fraktal", został wprowadzony do
opisy obiektów przez matematyka Benoit Mandelbrot'a, w XXw.,
Wziął on nazwę z łaciny oznaczającą - złamany / pęknięty
Teraz celem Mandelbrot'a było rozwinięcie
teorii matematycznej nierówności, by lepiej opisać
naturę. Typowa geometria, matematyka
prostych struktur opisuje gładkie obiekty,
ale prawdziwy świat w sumie składa się z bardzo nierównych
obiektów takich jak łańcuchy górskie lub gromady galaktyk
i tak dalej. I Mandelbrot zrozumiał, że potrzebował
połączyć pracę wielu różnych
matematyków z różnych dziedzin, aby stworzyć nową
(pod-)gałąź matematyki, którą nazwał geometria fraktalną.
Najbardziej znanym przykładem Mandelbrot'a jest problem
mierzenia długości linii brzegowej. Dokładnie spojrzał na
linie brzegową Wielkiej Brytanii, z powodu
jej nieregularności, a jego pytanie brzmiało:
Załóżmy, że chcemy zmierzyć jej długość -
jakiego rozmiaru linijki powinniśmy użyć?
Jeśli spojrzymy tutaj
mierzymy długosc raczej długą linijką i
otrzymujemy pewną liczbę jej długości - 1, 2, 3, 4
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Jeżeli połamiemy linijkę to dostaniemy w sumie dłuższą
linie brzegową. Tutaj łamiemy ją na połowę i jeśli zliczysz
długości to otrzymasz 1, 2, 3, 4, 5
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26,
27, 28. I dwadzieścia osiem to więciej
niż 2 razy 12, więc to znaczy, że
aktualna długość jaką otrzymujemy jest większa niż długość
którą otrzymujemy tutaj i powodem tego jest to, że mniejsza
linijka lepiej pasuje do
wcięć i uwypukleń , zawartych w linii brzegowej.
Jeśli weźmiemy jeszcze mniejszą linijkę, powstą z naszej połamanej
na pół raz jeszcze. Możesz zobaczyć, że pasuje lepiej do
wcięć i uwypukleń i poda nam dłuższą
linie brzegową niż tą zmierzoną tu. Więc jaka jest prawdziwa
długośc linii brzegowej? Jeśli zmierzymy ją jeszcze mniejszą
linijką to oczywiście będziemy mogli lepiej wpasować się
w wcięcia i uwypuklenia. Jak wiesz wcięcia i uwypuklenia,
pojawiają się wraz z powiększaniem linii
brzegowej. Zobaczmy wersję z prawdziwym
obrazem linii brzegowej. Tu, wybrałam linie brzegową
Irlandii. Tutaj jest zdjęcie satelitarne Irlandii.
Zagrajmy więc, jeszcze raz w tą samą grę, co zrobiliśmy
już wcześniej z naszym drzewem. Bierzemy mały kawałek linii
brzegowej. Widzimy, że to uczciwie pokręcona linia,
specjalnie tutaj na zachodnio-południowej części
Irlandii. Więc, to co zamierzam teraz zrobić to
ją powiększyć i widzimy nawet więcej wcięć i uwypukleń
więc, możemy sobie wyobrazić przyłożenie mniejszej
linijki do niej i otrzymanie dłuższego
pomiaru dla linii brzegowej, niż tą którą byśmy zmierzyli
w tej samej skali.
Teraz mogę zrobić to samo -
wziąć mały kawałek i go powiększyć. Robię to
na następnie stronie, gdzie mogę go powiększyć.
Teraz przeniosłam się z zdjęcia satelitarnego
na zdjęcie z Google maps i teraz widzę nawet
więcej małych wcięć i uwypukleń
w linii brzegowej.
Zróbmy to temu małemu kawałkowi, który jest tutaj.
Teraz pamiętaj, że to nie jest ten sam kawałek
stąd. To jest mały kawałek, małego kawałka
i weź ten mały kawałek i go powiększ.
Nie widzisz teraz tego tak dobrze,
ale może zobaczyć nawet więcej
szczegółów niż tu. Nawet więcej nierówności
w mniejszej skali. Teraz może robic to
w kółko. Tu jest ta część powiększona.
Możemy zobaczyć więcej szczegółów, jeśli powiększymy
mniejszą cześć. Mapy Google w sumie nie przybliżają tak bardzo,
ale możesz wyobrazić sobie, że możesz zmniejszyć to
do takiej skali, gdzie ty jako osoba, możesz
zobaczyć plaże i widzieć te szczegółowe
nierówności i nawet jeśli spojrzę na jeszcze mniejszy
kawałek, to otrzymam perspektywę kraba.
Krab zobaczy nawet więcej detali niż człowiek
i tak dalej i tak w kółko.
Tak więc pytanie: jak długa jest
linia brzegowa Wielkiej Brytanii lub Irlandii
naprawdę zależy od długości linijki, której użujesz
by to zmierzyć. Wydaję się to teraz przeciwne, temu
jak normalnie rozumujemy. Myślimy, że długość
jakiegoś obiektu ma soją dobrze zdefiniowaną wartość -
prawdziwą długość. Ale czym tutaj jest prawdziwa długość?