Ciao a tutti, questa unità è sui frattali.
I frattali sono oggetti auto-simili su scale diverse.
Pensate ad un albero: ha un tronco con i rami
e questi rami hanno altre ramificazioni che partono
da essi e queste hanno a loro volta altri rami e così via.
Questo è un frattale. I frattali sono un buon modo
per descrivere molti oggetti in natura.
In questa unità esploreremo i frattali, sia visivamente
che matematicamente e io esaminerò [per voi] alcuni dei ruoli
giocati dalla geometria frattale nei sistemi complessi.
I frattali possono essere definiti intuitivamente come oggetti
auto-simili su scale differenti. È impressionante come
ci siano così tanti oggetti naturali con questo tipo
di proprietà. Vediamo un semplice esempio:
gli alberi. Gli alberi sono frattali e permettetemi di spiegare
la nozione di auto-similitudine.
Prendiamo l'immagine di un albero.
Adesso prendiamo una parte dell'immagine,
la ritagliamo e la ingrandiamo. Potete vedere che
la struttura di questa parte ingrandita dell'immagine
è molto simile alla struttura dell'immagine
completa. Rifacciamo la stessa operazione.
Prendiamo una parte di quest'immagine all'interno di questo rettangolo rosso
e ingrandiamola. Ancora,
la struttura
che potete vedere all'interno di questo ingrandimento dell'immagine
è molto simile alle due immagini precedenti e notate che
questa terza immagine è una parte davvero piccola
dell'immagine originale. Ora possiamo ripetere ancora la stessa operazione.
Prendiamo un pezzo di questa terza immagine, lo ingrandiamo:
abbiamo ancora strutture che sembrano molto simili ad alberi.
Quindi non importa quanto si ingrandisca: fino ad un certo
punto -- in queste immagini -- si possono continuare a realizzare
piccoli ritagli, ingrandirli e vedere che
hanno tipologie di struttura molto simili tra loro.
Questo è il punto cruciale della nozione di auto-similitudine
su scale diverse. Prima di andare oltre
consentitemi di fare una veloce precisazione per tutti
i matematici in ascolto. La definizione
di frattale dice che l'oggetto è perfettamente
auto-simile su tutte le scale possibili.
Quindi, gli oggetti di cui stiamo per parlare in
natura, sono solo simili ai frattali. Non sono veri
frattali in senso matematico, ma
utilizzerò comunque il termine "frattale" per descriverli.
Questa è un'immagine di una varietà particolare
di broccoli, che ha proprietà frattali.
Potete vedere che ognuna di queste montagnole del broccolo
è costituita da altre montagnole che a loro volta hanno
la stessa struttura e così via.
Le venature delle foglie sono frattalimnella stessa maniera in cui gli alberi sono
frattali. Gli ammassi di galassie possono essere frattali. Questo è
un ammasso di ammassi e se avessi guardato uno di questi
ammassi, esso stesso sarebbe stato un ammasso e così via.
Quindi gli ammassi di galassie possono essere frattali. Le radici delle piante hanno
proprietà frattali simili a quelle degli alberi. Le catene montuose sono
frattali. Se guardo una qualsiasi tra queste montagne
ha picchi e valli simili a quelli di tutta
la catena montuosa. Sorprendentemente il World
Wide Web è un frattale. Questo è un diagramma di parte del
World Wide Web -- le connessioni tra
pagine web -- e potete vedere, ingrandendo un piccolo pezzo,
che ha lo stesso tipo di punte che escono da un
nodo centrale come accade anche per l'immagine completa.
Vedremo poi, quando parleremo di reti,
l'importanza delle proprietà frattali di reti come
il World Wide Web. Questo sono piccoli esempi di
alcuni oggetti simili ai frattali in natura.
Per parlare
un po' di storia - molti matematici hanno studiato
le nozioni legate ai frattali, come il concetto di
auto-similitudine o dimensione frazionaria e
più tardi parleremo anche di questo, oltre che dell'aspetto
che dovrebbero avere gli oggetti di dimensione frazionaria.
Siamo andati indietro di molti secoli con la matematica,
ma il termine "frattale" stesso, per descrivere questi oggetti,
fu coniato da Benoit Mandelbrot, un matematico del ventesimo secolo.
Prese il nome dalla radice latina di frattura.
Lo scopo di Mandelbrot era di sviluppare
una teoria matematica della rugosità per descrivere meglio
il mondo naturale. La geometria tradizionale, [ovvero] la matematica
di strutture semplici, descrive gli oggetti regolari,
ma il mondo reale è costituito da oggetti molto corrugati
come catene montuose e ammassi di galassie
eccetera. E Mandelbrot realizzò che gli serviva,
per mettere assieme il lavoro di molti matematici
in diversi campi, creare una nuova
branca della matematica, chiamata geometria frattale.
L'esempio più famoso di Mandelbrot riguarda la
misura della lunghezza della costa. In particolare
guardava alla costa della Gran Bretagna, per
la sua asperità, e la sua domanda era:
Supponiamo di voler misurare la sua lunghezza,
di quale dimensione dovrebbe essere il righello che andrebbe utilizzato?
Se guardiamo in questa zona
stiamo misurando con un righello piuttosto lungo e
otteniamo un certo numero di lunghezze: uno, due, tre, quattro,
cinque, sei, sette, otto, nove, dieci, undici, dodici.
Ma se rimpiccioliamo il righello otteniamo una costa più lunga.
Qui lo dimezziamo e se si conta
si ottiene uno, due, tre, quattro, cinque,
sei, sette, otto, nove, dieci, undici, dodici,
tredici, quattordici, quindici, sedici, diciassette,
diciotto, diciannove, venti, ventuno, ventidue,
ventitré, ventiquattro, venticinque, ventisei,
ventisette, ventotto. E ventotto è di più
di due volte dodici, quindi questo significa che
la lunghezza che otteniamo qui è maggiore della lunghezza
che otteniamo qui e la ragione di questo è che i righelli più piccoli
entrano un po' meglio negli
angoli e nelle fessure che vediamo lungo la costa.
Se cerchiamo un righello ancora più piccolo possiamo tagliare questo
a metà. Si può vedere che entra ancora meglio in
ancor più angoli e fessure e ci darà una costa
più lunga di quella che abbiamo misurato qui. Quindi quale è
la lunghezza della costa? Se utilizziamo un righello ancor più piccolo
sarebbe ovviamente possibile farlo entrare in tutti questi
altri angoli e fessure. Gli angoli e le fessure,
come sapete, continuano a comparire man a mano che ingrandiamo
la costa. Vediamo ora un'applicazione di ciò con
immagini reali della costa. Scelgo la costa
dell'Irlanda. Qui c'è un'immagine satellitare dell'Irlanda.
Ora facciamo lo stesso gioco che abbiamo fatto prima con
il nostro albero. Prendiamo un piccolo pezzo della costa.
Notiamo che questo è una costa moderatamente rugosa,
specialmente in questa parte a sud-ovest
dell'Irlanda. Vado ad
ingrandire il tutto e ora possiamo vedere ancor più angoli
e fessure, quindi ci possiamo immaginare di inserire qui un
righello più piccolo e di ottenere una misurazione più lunga
della costa rispetto a quella che avremmo ottenuto misurandola
a questa scala.
Ora posso fare la stessa cosa -
prendo un pezzo di questa e lo ingrandisco. L'ho messo sulla
prossima pagina dove ingrandisco questo pezzo.
Adesso sono passata dall'utilizzare un'immagine satellitare
ad utilizzarne una di Google maps e posso vedere ancor
più piccoli minuscoli angoli e fessure sulla
costa.
Ora lo faccio a questo pezzo qui.
Ricordate che questo non è lo stesso di quest'altro pezzo
qui. È un pezzettino di quel pezzo
e prendiamo quel pezzo, lo ingrandiamo.
Non si vede così bene adesso,
ma si possono vedere ancor più
dettagli che qui. Ancor più rugosità su
scala più piccola. Possiamo continuare a farlo
molte volte. Qui c'è il pezzo ingrandito.
Avremmo potuto vedere maggiori dettagli se avessimo ingrandito una piccola
parte di questo. Google maps non arriva a questo,
ma si può immaginare che si possa portare tutto a una
scala piccola al punto tale che una persona possa
guardare dalla spiaggia e vedere questa
rugosità dettagliata e se avessi preso un pezzo ancor più piccolo
di questo, avrei ottenuto il punto di vista di un granchio.
Il granchio vedrebbe ancor più dettagli della persona
e così via e si continua così ancora
e ancora. Quindi la domanda di quanto sia lunga la
costa della Gran Bretagna o dell'Irlanda
dipende davvero dalla lunghezza del righello utilizzato
per misurarla. Questo sembra andare contro a ciò
che potremmo normalmente pensare. Pensiamo che la lunghezza
di un oggetto è una nozione ben definita - che ha una
lunghezza reale. Ma qual'è la lunghezza reale qui?