!Hola a todos! Esta unidad es sobre Fractales.
Los fractales son objetos, que son auto-similares a diferentes escalas
Pensemos en un árbol; los árboles tienen ramas
y las ramas tienen subramas que salen de ellas
y asi sucesivamente.
Eso son fractales; los fractales son útiles
para representar varios objetos de la Naturaleza.
En esta unidad exploraremos fractales visual y
matemáticamente y veremos el rol
que juegan la geometría fractal en los sistemas complejos.
Los fractales pueden ser definidos intuitivamente como objetos con
autosimilaridad en diferentes escalas. Es impactante ver como
muchos objetos naturales tienen este tipo
de propiedades. Veamos un ejemplo simple.
un ejemplo muy simple: Los árboles como fractales permiten explicar
la nocion de auto-similaridad
tomemos una foto de un árbol
Ahora seleccionamos una parte y
la cortamos y la aumentamos. Podemos ver que
la estructura de de la parte aumentada de la foto
es muy similar a la de la estructura en su totalidad
de la foto en sí misma. Hagámoslo de nuevo.
tomemos una parte de la foto dentro de este cuadrado rojo
y aumentémoslo de nuevo.
la estructura
que vemos dentro de la imagen aumentada de la imagen
es muy similar a las dos imagenes previas y notar que
la tercera imagen es un trozo muy pequeño de
la imagen original. Ahora podemos hacer lo mismo nuevamente
tomar una pequeña parte, aumentarla
y de nuevo tenemos una estructura que se parece mucho al árbol
El caso es que no importa cuantas veces se haga a cierto
a cierto en la imagen, siempre es posible tomar
un pequeño trozo, aumentarlo y seguir viendo
que tiene una estructura similar.
Ese es el centro de la noción de auto-similaridad
en diferentes escalas. Ahora, antes de seguir,
permítanme una nota breve para todos los matemáticos que nos ven.
La definición rigurosa
de fractales significa que los objetos son perfectamente
auto-similares en todas las posibles escalas.
Asi que los objetos de los que vamos a hablar
en la naturaleza son "como fractales", no son reales
como fractales en el sentido matemático, pero voy
a usar el termino fractal
de todas maneras. Entonces, aquí una foto de tipo
de brócoli que tiene propiedades fractales.
Pueden ver que cada pequeño monte de brocoli
consiste en otros más pequeños, que en si mísmos
tienen la misma estructura, y así sucesivamente.
Las hojas son fractales lo son en la misma manera en la que los arboles son
fractales. Los cúmulos de galaxias pueden ser fractales. De hecho
una agrupación de agrupaciones si miramos a uno de estas
agrupaciones, son también una agrupación y así sucesivamente.
Así, los grupos de galaxias pueden ser fractales. Las raices de las plantas tienen
propiedades de fractales como un arbol. Los surcos de las montañas
son fractales. Si miramos una de estas montañas también
tiene picos y valles del mismo modo en las que
Los surcos de las montañas lo tienen. Sorprendentemente la internet (World Wide Web)
es también fractal. Este es un mapa de una parte de
la WWW - las conexiones entre
las páginas y pueden ver si se aumenta una pequeña parte
de la red, tiene el mismo tipo de punta saliendo de
el conector (hub) central que tiene la toda la red.
Veremos luego, que cuando hablamos de redes, el
significado de las propiedades fractales en redes tales como
la World Wide Web. Estos son algunos pequeños ejemplos
de algunas propiedades fractales en objetos de la naturaleza.
Hablando de
un poco de historia - muchos matemáticos estudiaron
las nociones relacionadas con fractales, tales como la noción de
auto-similaridad o la dimensión fraccional y hablaremos
acerca de eso un poco más adelante y veremos
como lucen los objetos con dimension fraccional.
Bueno, yendo atrás varios siglos en matemática
el término "fractal" en sí para describir tales objetos
fue usado por Benoit Mandelbrot, a matemático del siglo 20
El tomó el nombre de la raiz latina
para la palabra fracturado. El objetivo de Mandelbro era desarrollar
una teoría matemática que a grandes rasgos describiese mejor
el mundo natural. En geometría típica, la matemática
de estructuras simples describen objetos simples y regulares
pero en el mundo real consisten en objetos muy disímles
como los surcos de las montañas o agrupaciones de galaxias
y así. Mandelbrot se dio cuenta que era necesario
juntar el trabajo de muchos diferntes
matemáticos de diferentes campos para crear
una nueva sub-rama de la matemática llamada geometría fractal.
El ejemplo más famoso de Mandelbrot es la nocion de
la medición de la linea costera. El particularmente
estaba mirando la línea costera de Gran Bretaña, debido a
sus irregularidades y su pregunta fue:
"Supongamos que queremos medir el largo -
que tipo de regla debemos usar?"
Bueno, si vemos que
estamos midiendo la costa con una regla larga y
obtenermos un cierto numero de medidas - una, dos, tres, cuatro
cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce.
Pero si encogemos la regla podemos obtener una costa mas larga
Aquí la acortamos a la mitad y si la contamos
entonces obtenemos uno, dos tres, cuatro, cinco
seis siete, ocho, nueve, diez, once, doce
trece, catorce, quince, dieciseis, diecisiete
dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, ventidos,
ventitrés, veinticuatro, venticinco, venitiseis
veintisiete, veintocho. Veintiocho es mas
que 2 veces doce así que eso significa que
el largo actual que obtuvimos es mas largo
que obtenemos y que la razón para esto es que una
regla pequeña puede calzar mejor entre
los esquinas y estrechos que vemos en la costa.
Si usamos una regla mas pequeña que podemos cortar
en mitad. Aquí puedes ver que incluso calza mejor en
más estrechos y esquinas y esto nos da
una linea costera de lo que medimos aquí. Así que cual es
el largo de la linea costera? si miramos por una regla aun menor
podemos obviamente ser capaces de ponerla en todos esas
esquinas y estrechos. Estas esquinas y estrechos,
así como sabes, aparecen en tanto vamos acercándonos
a la línea costera. VEamos una versión de esto con una
costa real. Aquí escogí la costa de
Irlanda. Aquí una foto satelital de irlanda
Entonces, juguemos al mismo juego aquí que hicimos
con el arbol anteriormente. Tomemos un trozo de costa.
Lo que vemos es una costa bien arrugada,
especialmente sobre la parte sur
de Irlanda. Lo que voy a hacer ahora es
aumentar esto y ahora podemos ver mas estrechos y
esquinas, y podemos imaginar poniendo una
regla pequeña aquí y obtener una
medición mas grande de la costa que si la medimos
a esta escala.
Ahora puedo hacer lo mismo -
tomar un poco de esto y aumentarlo. Lo hago en
la próxima página donde lo puedo aumentar un poco.
Ahora me muevo usando una imagen satelital
de Google mapas y ahora podemos ver incluso
mas pequeños estrechos y pasos de
la linea costera.
hacemos esto un poco mas aquí
Ahora recuerden que este trozo no es el mismo trozo
que acá. Es el pequeño pedazo de este pequeño pedazo
y tomemos este pequeño pedazo y aumentémoslo.
No pueden verlo ahora
pero pueden verlo ahora mas
en detalle que aquí. Aun mas arrugado
en una escala menor. Ahora podemos seguir haciendo esto
una y otra vez. Aquí esta la parte aumentada.
Podemos ver en mas detalle si aumentamos una pequeña parte
de esto. Google mapas no puede ir más alla,
pero pueden imaginar ahora que es lo que pueden obtener
a una escala más pequeña donde esten ustedes, una persona, si
miran a la playa y ven este detalle
de arrugas y si yo tomo un trozo aun mas pequeño
de esto, obtengo el punto de vista de un cangrejo.
EL cangrejo podría ver en mayor detalle que la persona
y así sucesivamente y sigue
mas y mas. Así que la cuestión es cuanto
linea de Gran Bretaña o Irlanda
realmente depende del tamaño de la regla que se usa para
medirla. Ahora parece tener mas importancia de lo que
uno normalmente pensaría. Pensamos que el largo
de un objeto es una noción bien definida -
que tiene un tamaño real, pero que es "tamaño real"?