Hallo zusammen, in diesem Kapitel geht es um Fraktale.
Ein Fraktal ist ein Objekt das auf verschiedenen Maßstäben
ähnlich aussieht. Denk an einen Baum - es hat einen Stamm und Äste.
Von diesen Ästen gehen weitere Äste hervor,
und von diesen wiederum weitere Äste usw.
Bäume sind also Fraktale.
Viele Naturobjekte können als Fraktale bezeichnet werden.
In diesem Kapitel werden wir Fraktale visuell und
mathematisch erforschen, und ich werde die Rolle von
Fraktal-Geometrie in Komplexen Systemen erläutern.
Fraktale sind also Objekte mit einer
Selbst-Ähnlichkeit auf verschiedenen Größen-Dimensionen. Es ist bezeichnend
wie viele Naturobjekte diese Eigenschaft besitzen.
Nehmen wir ein einfaches Beispiel.
Bäume. Ich will anhand dieses Beispieles
das Konzept der "Selbst-Ähnlichkeit" erläutern.
Hier ist ein Bild von einem Baum.
Nehmen wir jetzt einen Teil dieses bildes
und machen es größer. Man sieht dass
es eine Ähnlichkeit gibt zwischen dem Bild
vom ganzen Baum, und dem vergrößerten Bild-Teil.
Wiederholen wir jetzt diesen Vorgang.
Vergrößern wir dieses bild-teil
innerhalb vom roten Kasten. Wie vorhin,
die Struktur
erkenntlich in diesem vergrößertem Bild-Teil
hat Ähnlichkeit mit den vorherigen Bildern, und bedenke dass
das dritte Bild nur ein kleines Teil vom Original ausmacht.
Wiederholen wir diesen Vorgang noch einmal.
Vergrößern wir einen Teil dieses dritten Bildes -
wiedermals ist die Struktur Baum-ähnlich.
Wir könnten diesen Vorgang abermals wiederholen -
immer wieder eine kleine Region des
vorherigen Bildes vergrößern.
Die Struktur würde sich wiederholen.
Genau das, ist die Crux vom Selbst-Ähnlichkeits Konzept.
Bevor ich weitermache,
möchte ich eine Bemerkung für die Mathematiker unter
euch machen. Die Eigentliche Definition für Fraktal
bestimmt dass die Selbst-Ähnlichkeit perfekt
auf allen möglichen Maßstäben ist.
Also sind die Naturobjekte die wir in diesem
Kurs behandeln lediglich Fraktal-Ähnlich. Es sind streng genommen
keine echten Fraktale im Mathematischen Sinn, aber wir
werden Sie als solche trotzdem
bezeichnen. Dieses Bild zeigt eine besondere
Brokkoli Sorte dass Fraktale Eigenschaften hat.
Man sieht einzelne Brokkoli Stücke
bestehend aus kleineren Stücken die wiederum aus kleineren
Stücken bestehen, alle mit derselben Struktur.
Ähnlich wie Bäume sind auch die Blätter Venen Fraktale.
Galaxienhaufen bilden Fraktale. Dies ist übrigens
ein Haufen von Galaxienhaufen, die ja
selber aus Anhäufungen von Galaxien bestehen usw.
Deshalb können Galaxienhaufen Fraktale sein.
Wurzeln haben Fraktale Eigenschaften ähnlich wie Bäume.
Gebirgszüge sind Fraktale. Betrachtet man einzelne Berge so sieht man
Täler und Spitzen genau wie im ganzen Gebirgszug.
Das World Wide Web ist überraschenderweise
auch ein Fraktal. Dies ist eine Karte von
den Verbindungen zwischen
Websites, und wenn man eine kleine Region davon
vergrößert sieht man sowas wie einen Spieß dass
aus einem Zentrum entspringt, ähnlich wie im ganzen Bild.
Wir werden später sehen, wenn wir über Netzwerke sprechen, dass
die Fraktal Eigenschaften von Netzwerken - wie das World Wide Web -
Signifikant sind. Das war ein kleiner
Überblick von Naturobjekten mit Fraktalen Eigenschaften.
Ein Historischer Blick -
Viele Mathematiker haben Themen rund um
Fraktale studiert, zum Beispiel das
Konzept der Selbst-Ähnlichkeit oder fraktionierte Dimension.
Wir werden diese Themen später aufheben
und fragen was die Essenz von Objekten mit
fraktionierter Dimension ist.
Das Wort "Fraktal" hat sich
Benoit Mandelbrot ausgedacht,
ein Mathematiker aus dem 20. Jahrhundert.
Der Name stammt aus dem Lateinischen für Fraktioniert.
Die Motivation Mandelbrot's war es eine Theorie für raue Flächen
zu entwickeln um die Natur besser beschreiben zu können.
Konventionelle Geometrie, die Mathematik von simplen Strukturen,
beschreibt glatte Objekte,
aber die Realität besteht aus sehr rauen
Objekten wie Gebirge und Galaxienhaufen usw.
Mandelbrot begriff dass er die Arbeit
von verschiedenen Mathematikern einigen
musste um ein neues Mathematik sub-Feld zu
ergründen - Fraktal Geometrie.
Mandelbrot's berühmteste Beispiel betrifft
die Vermessung einer Küstenlinie.
Insbesondere war er an der Küstenlänge Groß Britanniens interessiert
wegen ihrer Zerklüftetheit. Seine Frage:
Angenommen wir würden ihre Länge bemessen, wie groß
sollte das Lineal sein für diese bemessung?
Also, wenn wir hier schauen
benutzten wir ein ziemlich langes Lineal und wir bekommen
eine bestimmte Anzahl ihrer Längeneinheit - eins, zwei
drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn, elf, zwölf.
Doch benutzten wir ein kleineres Lineal,
würden wir eine längere Küstenlinie messen. Hier benutzten wir
ein Lineal dass halb so groß ist, und wenn
man sie aufzählt - 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26,
27, 28. Und 28 ist mehr als
zwei mal so viel wie zwölf, was bedeutet
dass die eigentliche Länge hier länger ist
als hier und der Grund dafür ist dass
kleinere Lineale die Details der
Küstenkonturen besser erfasst.
Wenn wir ein noch kleineres Lineal benutzten
sieht man dass es umso besser die Konturen
erfasst und eine längere Küste
messt als hier. Was ist aber dann die
wahre Küstenlänge? Benutzten wir ein noch kleineres
Lineal, so würden wir diese weiteren Ecken
und Winkeln messen können. Die Ecken und Winkeln, wie ihr wisst,
vermehren sich je größer der zoom auf die
Küste ist. Lasst uns das mit echten
Küsten veranschaulichen. Hier haben wir
die Küste von Irland - ein Satellitenbild.
Machen wir das gleiche Spiel wie vorhin
mit den Bäumen. Wir nehmen ein kleines Stück der Küstenlinie.
Man sieht dass es ziemlich Zerklüftet ist,
Insbesondere im Süd-Westen Irlands.
Also was ich jetzt machen werde ist in
diesen Abschnitt einzuzoomen und man sieht
mehr Ecken und Winkeln. Wir können uns vorstellen
hier ein kleines Lineal zu benutzten und
eine längere Messung der Küste zu machen als mit
einem größeren Maßstab.
Jetzt den Vorgang wiederholen -
hier auf eine kleine Region einzoomen. Ich zeige dass
auf dem nächsten Bild.
Hier wechsele ich von einem Satellitenbild
auf ein "Google maps" Bild und ich sehe
mehr Ecken und Winkeln in der
Küstenlinie.
Mach dasselbe hier drüben.
Bedenke, es ist nicht die gleiche Region
wie hier drüben. Es ist ein kleiner Teil davon -
vergrößern wir es.
Jetzt kann man es nicht so gut sehen,
aber man kann hier mehr Details sehen
Noch mehr Rauheit auf dem
kleinen Maßstab. Wir könnten dass
wiederholen. Hier zoomen wir auf diese Region.
Wir könnten noch mehr Details sehen wenn wir auf eine kleinere
Region einzoomen würden. Google maps bietet uns nicht diese Option,
aber man könnte sich einen Maßstab
vorstellen wobei eine Person den Strand
betrachtet und die detaillierte Rauheit
erfasst, und wenn ich noch einmal einzoome,
dann erfasse ich die Perspektive einer Krabbe.
Die Krabbe sieht mehr Details als die
Person, und es geht immer so weiter usw.
Also die Frage wie lange die Küstenlinie
Groß Brittaniens oder Irlands ist
hängt vom Maßstab des Lineals ab.
Das hört sich ein bisschien komisch an.
Normal denken wir ja dass die Maßen eines
Objektes klar definiert sind - etwas hat
eine wahrhafte länge. Doch was ist hier die wahrhafte länge?