... Cofnijmy się na chwilę i przypomnijmy, co zaobserwowaliśmy dotychczas Celem obserwacji mapy logistycznej było zilustrowanie zjawiska chaosu który oznacza wyglądające na losowe zachowanie z wysoką wrażliwością na warunki początkowe Mapa logistyczna była prostym, całkowicie deterministycznym równaniem które, podczas iteracji, zachowywało się właśnie w losowy sposób będąc wrażliwym na warunki początkowe (w zależności od wartości R) W równaniu mapy logistycznej nie było żadnej losowości To, jaka była kolejna wartość x było całkowicie określone przez poprzednią wartość x A jednak obserwowaliśmy zachowanie wyglądające zupełnie losowo Nazywamy coś takiego deterministycznym chaosem kiedy to chaos powstaje z całkowicie deterministycznego systemu równań To, czego się tu możemy nauczyć to że gdy mamy deterministyczny chaos, doskonałe przewidywanie, deterministyczny wszechświat Laplace'a który widzieliśmy, jest niemożliwy nawet z samej zasady, ponieważ nigdy nie znamy precyzyjnej wartości warunków początkowych To jest głęboko negatywny wynik, który wraz z mechaniką kwantową przyczynił się do zmiecenia optymizmu XIXw. odnośnie do niutonowiskiego świata który podobnie do zegara poruszał się po przewidywalnej ścieżce Ale jaki jest pozytywny przekaz tego wszystkiego? Teoria systemów dynamicznych jest próbą odkrycia ogólnych zasad w systemach które zmieniają się w czasie. Dzięki pracy wielu ludzi i badaniu mapy logistycznej i podobnych równań deterministycznych, odkrywano zaskakującą głębię i ogólne zasady, które dziś nazywamy uniwersalizmem w chaosie Są to cechy, które zachowują uniwersalność w pewnej gamie systemów chaotycznych W skrócie, podczas gdy systemy chaotyczne są nieprzewidywalne w szczegółach to istnieje szeroka klasa takich systemów mających uniwersalne i przewidywalne własności Przyjrzyjmy się, czym one są Przypomnijcie sobie diagram bifurkacji dla mapy logistycznej pokazujący droge do chaosu poprzez podwajające się okresy Mieliśmy różne, jak to nazwaliśmy, rodzaje atraktorów Pamiętacie, mieliśmy atraktor w ustalonym punkcie Mieliśmy także atraktory okresowy i dochodzimy do obszaru chaosu, gdzie mamy coś co nazywamy atraktorem chaotycznym zwanym również atraktorem dziwnym Wspomnijmy, że pojawiają się interesujące struktury w tym chaotycznym zakresie włączywszy w to miejsca, w których system ponownie zaczyna być periodyczny Rozmowa o tym jest ciekawa, ale wykracza poza zakres tego kursu Ale mamy tu coś, co jest rzeczywiście zaskakujące i ciekawe i jest tym nasza droga do chaosu z podwajającym się okresem a to, co tu widzimy pojawia się również w wielu innych systemach chaotycznych Ten rodzaj systemów z podwajającym się okresem nazywamy unimodalnym, lub też mapą z pojedynczym wybrzuszeniem Podobnie jak w przypadku mapy logistycznej, na którą teraz patrzymy możecie zobaczyć tu pojedynczy garb na paraboli w naturze mamy mnóstwo systemów z tego rodzaju zachowaniem Wszystkie mają tę sama regułę podwajania okresu atraktorów w drodze do chaosu Inna mapą pokazującą takie unimodalne zachowanie jest mapa zwana sinusową Nazywa się tak ponieważ używa funkcji trygonometrycznej sinus Tu widzimy jak wygląda x(t+1) = R/4 sin(Pix(t)) Jeśli zapomnieliście trygonometrię to nie martwcie się Myślcie po prostu o niej jako o pewnej funkcji, która może być iterowana w taki sam sposób jak nasza mapa logistyczna Zauważcie też, że x nie odnosi się już dłużej do populacji Jesteśmy obecnie w zakresie abstrakcyjnych form matematycznych gdzie x reprezentuje cokolwiek, pod warunkiem, że jest w przedziale (0;1) Ludzie często piszą to R/4 jako grecką literę lambda Zostawiłam to jako R/4 tylko po to, żeby zachować powiązanie z poprzednią ideą R w mapie logistycznej Ale myślcie o tym jako o pewnej funkcji którą mamy zamiar iterować Zaimplementowałam mapę sinusową jako model w NetLogo możecie ściągnąć ją ze strony z materiałami do kursu I widzicie, że tu również formuje się parabola lub mapa z jednym garbem, tak jak dla funlcji logistycznej i także widać tu podwajającą okres drogę do chaosu Na stronie z materiałami do kursu, plik nazywa się sinemap.nlogo A więc widzieliśmy uniwersalna cechę chaosu w mapach unimodalnych- jest to podwajająca okres droga do chaosu Ale jest jeszcze jedna, bardziej zaskakująca uniwersalność którą odkryto w latach 70tych i 80tych przez kilka grup badaczy Wyjaśnię ją przez przyjrzenie się logistycznej mapie bifurkacji W latach 70tych XX wieku, fizyk Mitchel Feigenbaum studiował tę mapę bardzo wnikliwie I zmierzył jak tylko mógł dokładnie punkty w których pojawiały się bifurkacje Zauważył, że bifurkacja o okresie 2 pojawia się przy R równym około 3,0 okres 4 przy tej wartości okres 8 przy tej wartości okres 16 przy tej wartości i tak dalej aż ostatecznie, przy wartości około 3,569946 z paroma następnymi miejscami dziesiętnymi, mamy okres równy nieskończoności To oznacza, że mamy chaos. Jest nieokresowy Ten punkt nazywamy początkiem chaosu Zapewne zauważyliście, że bifurkacje zachodzą coraz szybckiej i szybciej wraz ze zmianą wartości R. Zmiana zachodzi od 0,24 do 0,30 To długi czas Następnie od 0,30 do 0,34 z czymś To już krócej Następnie jest krócej, krócej, i jeszcze krócej To co zrobił Feigenbaum, to wziął poszczególne bifurkacje i zmierzył tempo w jakim skraca się dystans pomiędzy bifurkacjami To tempo zdefiniowane jest jako współczynnik tej długości dzielonej przez długość do następnej bifurkacji i współczynnik tej długości od bifurkacji okresu 2 do bifurkacji okresu 4 dzielonej przez długość od bifurkacji okresu 4 do okresu 8 i tak dalej Każdy z tych współczynników jest miarą tempa z jaką skracają się bifurkacje Spójrzmy na te współczynniki matematycznie Oto jak one wyglądają Pierwszym z nich jest dystansem pomiędzy okresem 2 i okresem 4 To jest R2-R1 dzielonym przez odległość między okresem 4 i 8 To daje nam 4,7514 i to jest nasze pierwsze przybliżenie tempa w jakim skraca się dystans między kolejnymi bifurkacjami Ok. Teraz możemy przejść do następnego zbioru i obliczyć odległość między okresem 4 do okresu 8 i podzielić przez odległość od okresu 8 do 16 To daje nam 4,656 itd. Kontynuujemy ten proces.. Feigenbaum obliczał to używając biurkowego kalkulatora a później szybszego komputera i odkrył, że gdy kontynuujemy obliczenia w miarę wzrostu R To ilorazy zaczynają dążyć do tej wartości 4,6692016 i dalej kolejne miejsca dziesiętne W terminologii matematycznej to granica, dla n w nieskończoności dla wyrażenia R(n+1)-R(n)/R(n+2)-R(n+1) Jeśli nie jesteście zaznajomieni z granicami, nie martwcie się Spójrzcie tylko na przykłady że gdy zwiększamy liczbę bifurkacji, to jesteśmy coraz bliżej tej wartości Innymi słowy, każda kolejna bifurkacja wydarza się tyle razy szybciej niż poprzednia To właśnie odkrył Feigenbaum Liczba ta została nawet nazwana stałą Feigenbauma ponieważ, co zadziwiajace, nie tylko on ją wyprowadził matematycznie (rozwinął całą teorię, która miała pokazać że jest to prawdziwe matematycznie) Również pokazał, że każda unimodalna, czy jedno grzebietowa mapa jak mapa logistyczna, czy sinusowa będzie miała taką sama wartość tego współczynnika A więc liczba ta jest uniwersalną stałą systemów chaotycznych o powyższych cechach Ta liczba została również doświadczalnie zaobserwowana w wielu systemach jak przepływ płynów, do obwodów elektrycznych laserów, reakcji chemicznych itp. Kolejnym zadziwiającym faktem związanym z tym jest to że niemal w tym samym czasie kiedy Feigenbaum prowadził badania ten sam wynik został osiągnięty przez inny zespół badawczy francuskiego matematyka Pieere'a Colleta oraz Charlesa Tressera Działali oni zupełnie niezależnie od Feigenbauma A to wspólne odkrycie jest teraz czasami zwane Teorią Feigenbauma, Colleta, Tressera W ramach podsumowania, spójrzmy czego się w tym wykładzie nauczyliśmy o ważności systemów dynamicznych i chaosu w systemach złożonych Być może najważniejsze jest, że mogliśmy zobaczyć przykład, w którym złożone, nieprzewidywalne zachowanie wynika z prostych, deterministycznych zasad jak w przypadku mapy logistycznej Widzieliśmy też jak teoria systemów dynamicznych, daje nam nowe słowa do opisu złożonego zachowania za pomocą terminów: "atraktor" oraz "podwajająca okres droga do chaosu" itd. Widzieliśmy, że są fundamentalne ograniczenia dla dokładnego przewidywania w systemach opartych na chaosie z powodu "wrażliwości na warunki początkowe" W tym samym czasie widzieliśmy, że systemy chaotyczne mają uniwersalne cechy i przez to możemy mówić o "porządku w chaosie"