2.6 Universalità nel caos Facciamo un passo indietro e facciamo il punto su quanto abbiamo visto finora. Il motivo per cui abbiamo utilizzato la mappa logistica era di illustrare il fenomeno chiamato caos, che significa comportamento apparentemente casuale che dipende in modo sensibile alle condizioni iniziali. La mappa logistica era un'equazione semplice, completamente deterministica che, quando iterata, può mostrare questo tipo di comportamento apparentemente casuale con sensibile dipendenza ai valori iniziali (a seconda del valore di R). Non c'era alcuna casualità nell'equazione della mappa logistica Il valore successivo di x è completamente determinato dal precedente valore di x E ancora, notiamo questo comportamento apparentemente casuale Questo viene detto caos deterministico, dove il caos origina da un'equazione o sistema completamente deterministico. E il messaggio da imparare è che, se abbiamo un caos deterministico, non è possibile una perfetta previsione, come un orologio alla Laplace (come visto in precedenza), neppure in principio, dal momento che non conosciamo il valore preciso della condizione iniziale. Questo è un risultato profondamente negativo che, al pari della meccanica quantistica, contribuì a spazzar via la visione ottimistica del 19° secolo di un universo come un orologio newtoniano e della sua predicibilità secondo un'impostazione deterministica. Ma qual è il messaggio positivo? La teoria dei sistemi dinamici è il tentativo di scoprire i principi generali inerenti a sistemi che cambiano nel tempo. Grazie al lavoro di molte persone e studiando la mappa logistica e altre simili equazioni deterministiche, il risultato fu quello di trovare altrettanti risultati sorprendentemente profondi e positivi che andremo a identificare col termine di universalità nel caos. Ossia di attributi che sono universali rispetto ad una certa ampia gamma di sistemi caotici. In breve, nonostante i sistemi caotici non siano predicibili con esattezza, esiste un'ampia classe di sistemi caotici che hanno delle proprietà universali ampiamente predicibili. Vediamo quali sono queste proprietà. Ricorda il diagramma di biforcazione della mappa logistica, che mostrava il periodo di raddoppio che porta al caos E avevamo diversi regimi di attrazione. Ricordi che avevamo attrattori a punto fisso? E avevamo il regime ad attrattore periodico? E questo portava alla regione detta caos dove c'erano ciò che abbiamo chiamato attrattore caotico -- conosciuto anche col nome di attrattore strano. Si noti che c'è un'interessante struttura nel regime dell'attratore caotico, come quando il sistema ritorna ad essere periodico in qualche sua parte. Si tratta di un argomento sicuramente interessante ma esula dallo scopo di questo corso. Ma c'è qualcosa che è davvero sorprendente e interessante, cioè questo tipo di periodo di raddoppio che porta al caos che vediamo qui, appare anche in altri sistemi caotici. Le tipologie di sistemi che presentano queste ramificazioni sono chiamati mappe unimodali o ad una gobba. Proprio come la nostra mappa logistica che stiamo vedendo in questo momento, si può vedere che esibisce una sola gobba nella parabola E ci sono molti sistemi simili in natura, ossia che esibiscono questo tipo di comportamento. Essi hanno lo stesso periodo di raddoppio che porta al caos. Un'altra mappa che mostra un comportamento unimodale è la cosiddetta mappa seno. E' chiamata mappa seno perché utilizza la funzione trigonometrica del seno. Ecco com'è x(t+1) = R/4 sin (pi x(t)). Se avete dimenticato la trigonometria, non preoccupatevi. Pensatela come una particolare funzione matematica che può essere iterata nello stesso moto in cui abbiamo iterato la mappa logistica. Si noti che x non rappresenta più una popolazione. Ora siamo nel regno delle funzioni matematiche astratte dove x può essere qualsiasi cosa purché vada da 0 a 1. Spesso R/4 viene indicato con la lettera greca lambda. Ho lasciato la notazione R diviso 4 per mantenere una connessione con la nozione precedente di R nella mappa logistica. Ma si pensi a questa come una funzione particolare che si andrà ad iterare. Ho implementato la mappa seno come un modello di NetLogo che si può scaricare nel sito dei materiali didattici E si può vedere che anch'esso forma questa parabola, o mappa a une gobba, proprio come la funzione logistica e inoltre mostra il caratteristico periodo di raddoppio che porta al caos. Nel sito dei materiali didattici, il file si chiama sinemap.nlogo Quindi ora abbiamo visto una proprietà universale del caos nelle mappe unimodali, ossia il periodo di raddoppio che porta al caos Ma c'è un'altra universalità, che è ancora più sorprendente, che è stata scoperta negli anni 70 e 80 da differenti gruppi di persone. Ne parlo mostrando nuovamente il diagramma di biforcazione della mappa logistica. Negli anni 70, il fisico Mitchel Feigenbaum studiò questa mappa approfonditamente. Egli misurò con la massima precisione che gli era possibile i punti nei quali queste biforcazioni occorrono. E trovò che la biforcazione in due avviene circa per R = 3.0 e che la biforcazione in quattro avviene per questo valore, la biforcazione a otto per questo valore, a sedici per questo valore, e così via fino a quando, finalmente, al valore approssimativo di 3.569946 sequito da qualche altro decimale, si ottiene una biforcazione infinita. Nel senso che abbiamo il caos. Che non è più periodico. E questo punto si chiama inizio del caos. Se notate, queste biforcazioni sempre diventano più veloci al variare di R. Questo va da circa 0.24 a 0.30 E' un sacco di tempo. E poi da 0.30 fino a circa 0.34, che è ancora più breve. E quindi diventa di volta in volta più breve. Quindi quello che fece Feigenbaum fu prendere queste biforcazioni e misurare il tasso per il quale la distanza fra biforcazioni si restringe. Il tasso al quale queste si restringono è definito come rapporto fra questa lunghezza diviso per la lunghezza della prossima biforcazione e quindi il tasso di questa lunghezza dalla biforcazione a periodo due a quella di periodo quattro divisa per la distanza temporale fra la biforcazione di periodo quattro a quella di periodo otto e via così. Ognuno di questi rapporti è una misura della velocità con cui le biforcazioni si restringono. Osserviamo questo rapporti in modo matematico. Questo è come apparono. Il primo rapporto è la distanza fra le biforcazioni del periodo 2 e quelle del periodo 4. Questo significa R2-R1 divide la distanza fra la biforcazione del periodo 4 e del periodo 8. Ok. Questo fa 4,7514 ecc. e questa è la nostra stima del tasso al quale la distanza fre le biforcazioni si restringe. Ok. Ora possiamo andare al prossimo gruppo e ottenere la distanza fra il periodo 4, periodo 8 diviso per il periodo 8, periodo 16. Questo ci dà 4.656 ecc. E continuamo così. Feigenbaum fece la stessa cosa con una calcolatrice, poi successivamente con un computer più veloce, e trovò che continuando in questo modo, al crescere di R, questo numero inizia a convergere al questo valore: 4.6692016 seguito da diversi decimali. In termini matematici, questo è il limite per n che va all'infinito di R(n+1) - R(n) diviso per R(n+2) - R(n+1). Ma se non conoscete i limiti, non preoccupatevi. Semplicemente guardate questi esempi e vedete che al crescere del numero della biforcazione, ci si avvicina sempre di più a questo valore. In altre parole, ogni nuova biforcazione appare all'incirca questo tot volte più velocemente di quella precedente. Questo è ciò che ha trovato Feigenbaum. Ora questo numero è chiamato costante di Feigenbaum perché non solo egli lo ha derivato matematicamente dopo averlo osservato (ha anche sviluppato un'intera teoria che mostra come questo deve essere matematicamente vero) egli ha anche mostrato che qualsiasi mappa unimodale come la mappa logistica o la mappa seno avrà lo stesso tasso. Quindi questo numero è la costante universale per sistemi caotici derivati da mappe ad una gobba. Questo numero è stato osservato anche sperimentalmente in una serie di sistemi andando dai fluidi ai circuiti elettrici, laser, reazioni chimiche e così via. Un altro fatto straordinario è che quasi allo stesso momento in cui Feigenbaum stava facendo le sue scoperte, la stessa cosa avveniva da un altro team di ricerca, quello dei matematici francesi Pierre Collet e Charles Tresser Questi erano completamente indipendenti da Feigenbaum Ed ora questa scoperta viene a volta chiamata Teoria di Feigenbaum-Collet-Tresser. Riassumendo, vediamo cosa abbiamo imparato in questa unità sulla dinamica dei sistemi caotici complessi. Forse la cosa più importante è l'esempio nel quale un comportamento complesso e non prevedibile provvenga da semplici regole deterministiche, come nella mappa logistica. Abbiamo visto anche che la teoria dei sistemi dinamici ci fornisce di un vocabolario per descrivere comportamenti complessi utilizzando termini come "attrattore" e "periodo di sdoppiamento che porta al caos" ecc. Abbiamo visto che ci sono dei limiti fondamentali alla predizione dettagliata di sitemi caotici, per via della "dipendenza sensibile alle condizioni iniziali". Allo stesso tempo abbiamo visto che esistono delle proprietà universali di questi sistemi caotici e lo potremmo chiamare "ordine del caos".