Introduzione: Il percorso "period-doubling" verso il caos vediamo la versione di NetLogo della mappa logistica Si trova nella pagina del materiale del corso Ciò che NetLogo sta per fare è proprio ciò che io ho fatto nella precedente lezione che mostra la parabola della mappa logistica mostra come la traiettoria dei punti si muove lungo la parabola nel tempo Qui posso impostare R con lo slider e imposto il valore iniziale di x x0, così R=2, x0 è 0.2000 Qui c'è la mappa logistica clicco set up e lui disegna la mia parabola Qui puoi vedere che traccio x con t versus x con (t+1) cominciamo: x con t è 0.2 x con (t+1) è 0.32 e ogni volta che clicco go il sistema avanza di una unità di tempo qui abbiamo tracciato x con t è 0.32 x di (t+1) è 0.4352 ed il punto si è spostato vedi 0.32 sull'asse delle x e 0.4352 sull'asse delle y avanti e avanti e puoi vedere tutta la cosa che si ripete si itera fino a che raggiunge un "attrattore", o "punto fisso" : 0.5 e qui puoi vedere il tracciato di X con t nel tempo quindi questi sono due modi diversi di visualizzare la traiettoria della mappa ora puoi anche vedere che se cambi x0... ad es. prendiamo x0 su fino a 0.9 ebbene, 0.90285. E' abbastanza vicino. Faccio "set up". ok, stessa parabola. Ma ora x0 inizia in un punto diverso Ecco qua 0.9029 e il corrispondente prossimo istante è 0.1754 è questo punto blu e facciamo go e ancora go si può vedere che il sistema ritorna al punto 0.5 e sta lì. stessa cosa se cambiamo x0 tutto verso il basso, un valore molto basso qui 0.01143 ora facciamo "set up" Molto vicino allo zero qui giù in fondo. E "go" (si sentono i click) clicco go di continuo. E ancora il sistema finisce al valore di 0,5 e si ferma lì. questo 0.5 è un attrattore a punto fisso per il sistema indipendentemente da dove parte il sistema finisce sempre al valore dell'attrattore ora variamo il valore di R e vediamo come la frazione di crescita (R) cambia mentre cresce Lo cambio qui (è un po' difficile cambiarlo con precisione) .... a 2.50 specifico che un altro modo per cambiarlo con un valore preciso, è cliccarci su correggere e dargli il valore esatto qui. quindi ci scrivo dentro ok, e adesso cosa succede? fai Set up bene stavolta la parabola è più alta perchè ho cambiato il valore di R cio che causala conseguenza del cambiamento di R è che cambia l'altezza della parabola ok. ora ad es. comincio con x0 = qui vado a correggere e cambio questo valore a 0.2 - ok vado a fare ancora "set up" ok, ora 0.2 e 0.4 e "Go"... vediamo subito il sistema portarsi a 0.6 (è il vs quiz) E se cambio ancora x0, ad es 0.9, faccio "set up" .... vediamo cosa accade ancora: il sistema converge verso 0.6 ma lo fa attraverso una traiettoria differente ci va in un modo diverso ci mette un po' di più stavolta e ancora, se lo muovo tutto giù, veramente in basso, qui.... "set up" ...ok ora è vicino allo zero. Faccio "go". Più volte. Ancora, gradualmente esso va a 0.6 quindi 0.6 è il punto fisso attrattore per il sistema con un valore differente di R In pratica, il valore di R è determina la dinamica complessiva del sistema quando dico dinamica complessiva, dico a quale tipo di attrattore, se c'è, il sistema tende dopo un certo numero di istanti. quindi questo sistema ha, diciamo, una dinamica ad attrattore fisso: 0.6 ok. cerchiamolo un'altra volta poniamo R a 2.8 settiamo ancora x a 0.2 ok. "set up" La parabola è ancora più alta. E vediamo cosa accade. Bene stavolta il puntino rimbalza avanti e indietro Ci vuole un lungo tempo perché si assesti alla fine si assesta nel punto 0.6429 Ricorda: questa è approssimazione, perché x_t è un numero reale ed è possibile che ci siano più spazi decimali che tagliamo arrotondando a un certo numero di decimali. cosicchè è possibile che possa oscillare ancora di più se noi avessimo più decimali. Ma alla fine lui si stabilizza in un punto fisso. Ma ci vuole più tempo. Questo è uno degli effetti di alzare R... è il tempo che ci vuole per assestarsi ad un punto fisso. Una cosa da notare di NetLogo è io possa andare ancora in un box di questi e settare il numero di decimali da vedere ed il massimo permesso è 17.