Сейчас давайте обратимся к исследованию динамики в логистической модели.

Если вы помните, n с индексом t+1 это популяция в t+1 год

и она равна рождаемость (birth rate) минус смертность (death rate) умноженную на текущую популяцию n с индексом t минус количество индивидов умерших от перенаселения,

которое является популяцией n с индексом t в квадрате деленной на максимальную популяцию или carrying-capacity (максимальная плотность популяции).

Я начну записывать это в более простом формате.

Сначала я возьму R равную рождаемость (birth rate) минус смертность (death rate).

И я возьму K равную максимальной плотности популяции.

Теперь я могу переписать основное уравнение, используя эти новые символы.

Теперь я немного воспользуюсь алгеброй, но если вам не нравится алгебра

просто пытайтесь следовать за ходом моих мыслей.

И если вы не понимаете его, это не имеет особого значения, так как вам важно знать только конечный результат.

Я разделю обе части данного уравнения на K - carrying-capacity (максимальная плотность популяции).

И затем я определю новый символ X с индексом t равный n с индексом t деленный на K.

Теперь я перепишу это уравнения используя новый символ X.

Это уравнение представляет собой долю нынешней популяции по отношению к максимальной плотности популяции в данный момент времени.

И это равно R умноженной на долю текущей популяции минус эта же доля в квадрате.

И это уравнение известно как логистическое отображение карта (logistic map).

И оно оказывается самым известным из уравнений теории хаоса.

Теперь, давайте рассмотри логистическое отображение (logistic map) более подробно.

Ха...! Действительно просто?!

Однако это более интересно чем кажется.

Многие люди изучали это уравнение более глубоко, с тех пор как оно было предложено Верхюльстом

Два видных примера людей изучавших это уравнение, это

лорд Роберт Мей биолог-теоретик, который написал очень влиятельную статью об этом уравнении в 70-х

и Мишель Фейгенбаум физик-теоретик, которая активно работала с этим уравнением в 80-х.

И, вероятно, этих людей чаще всего связывают с данным уравнением в научном сообществе.

Заметим, что X является популяцией в некоторый момент времени деленной на carrying-capacity (максимальную плотность популяции).

Для максимальной популяции X всегда является вещественным числом между 0 и 1.

Именно по этой причине это уравнение называется карта.

Т.е. X принимает текущее значение между 0 и 1.?

и относится к новому значению X, которое также находится между 0 и 1.

Рассмотрим пример:

Пусть R равно 2 и наша начальная популяция относящаяся к carrying-capacity (максимальной плотности популяции) равна 2 десятых.

Т. е. наша популяция составляет 20% carrying-capacity (максимальной плотности популяции)

Теперь мы можем развивать эту карту, взяв калькулятор и подсчитав.

X1 равно 2 умноженное на 0.2 минус 0.2 в квадрате.

Мой калькулятор показывает, что это равно 0,32.

Мы изменили 20% нашей carrying-capacity (максимальной плотности популяции) на 32%.

Что же произойдет в следующем году.

В следующем году, у нас есть 2 умноженное... Теперь мы должны взять значение вычисленное в предыдущем поколении.

0.32 минус 0.32 в квадрате. И это равно 0.4352

Хорошо, давайте двигаться немного быстрее.

И всегда после этого мы получаем ответ 0.5

Это означает, что рост популяции для нашей рождаемости (birth rate) за вычетом смертности (death rate) или R равной 2

и при старте с 20% carrying-capacity (максимальной плотности популяции)

то эта модель населения все равно со временем достигнет 50% carrying-capacity (максимальной плотности популяции) .

Здесь нужно упомянуть две вещи.

Во-первых: я использую термин "модель" со ссылкой на математическое уравнения, т.е. логистическое отображение.

Вот это модель.

Она называется "модель", потому что это упрощенное представление реального феномена роста популяции,

но это также она относится к компьютерным программам, которые мы написали и используем NetLogo, как упрощенные модели реальных явлений.

Слово "модель" является общим термином в науке для любого упрощенного представления природы.

Может являться уравнением, рисунком, компьютерной программой или чем то другим.

Вторая вещь, которую нужно отметить состоит в том, что значение 0.5 называется аттрактор.

Это аттрактор системы, потому что система стремится к нему.

Получается, что даже если бы мы начали с другого значения начальной популяции X0 равное 0.8.

Система все равно закончит со значением 0.5 после нескольких итераций.

Если система сходится к одному значению, например 0.5, это значение называется фиксированной точкой

Так как значение остается неизменным.

Таким образом, для этой системы 0.5 называется фиксированной точкой аттрактором.

Я всегда говорила об этом уравнения с R, равным 2.

Часто термины "модель" и "система" используются как синонимы.

Я надеюсь это вас не сильно запутает.

В любом случае мы увидим другие типы аттракторов в следующем подразделе.

Наконец, есть другой способ визуализировать динамику логистического отображения,

Т. е. показать, как оно меняется в процессе итерации.

Я нарисую график уравнения логистического отображения с R равным 2.

Теперь я напишу ниже X с индексом t. А в этой части X с индексом t+1.

Хорошо, это не идеальная форма, но оно является чем то напоминающим параболу., которая изменяется от 0 до 1 по X

И для R равному 2 она изменяется от 0 до 0.5 по Y

Отложим точку 0.5 на оси X и теперь мы можем следовать пути пройденному ранее, путем расчета различных значений.

Таким образом, наша первая величина, если вы помните, X1 была равна 0,32.

Мы находим X1 около 0,3 и соответствующее значение Y на параболе.

Оно было равно 0,4352, и это было X2.

Итак, вот точка (X1, X2).

Затем берем значение X2 и находим его на оси X, потому что мы рассчитываем следующее значение функции.

Так точка 0,4352 находится где-то здесь и соответствует точке на параболе, которая является значением X3 равное 0.9160192.

Хорошо, вот точка (X2, X3).

Теперь возьмем значение X3, которое равно 0.9160192 и найдем его на оси X.

И мы найдем X4, которое было равно 0,49999 и так далее.

Хорошо теперь я применяю это значение и получаю точно 0.5 и 0.5 для обоих значений X и Y.

И система больше не изменится, по-прежнему оставаясь в этой точке.

Так что эта система, переходящая из одной точки в другую вдоль этой параболы, является примером динамической системы со значением R и отправной точкой.

И эта парабола называется траекторией.

Теперь пришло время для решения следующего теста.

Для этого теста вам понадобится калькулятор.

Пусть R равно 2.5 и X0 равно 0.2.

Используя уравнения для логистического отображения подставляя 2.5 вместо R и 0.2 вместо X0,

нужно рассчитать X1, X2, X3, и так далее до фиксированной точки.

Какова эта фиксированная точка?.

Помните, что фиксированная точка является значением X с индексом t, таким же как значение X с индексом t+1.