El mapa logístico

Ahora vamos a comenzar a explorar la 
dinámica del modelo logístico

Pueden recordar que n(t+1) es la población
en el tiempo t+1

Y esto es igual a la tasa de nacimiento, 
menos la tasa de mortalidad

multiplicada por la población en el 
tiempo t, menos el número de individuos

que morirán debido a la sobrepoblación
que es la población en t elevada al

cuadrado, dividida por el máximo de la
población o la capacidad de carga.

Voy a comenzar escribiendo esto
en su forma más simple

Primero voy a poner que R, representa
la tasa de nacimiento menos

la tasa de mortalidad

Y voy a poner que K es la población 
máxima

Ahora puedo escribir esta ecuación
usando estos símbolos nuevos

Ahora voy a hacer un poquito
de álgebra, por lo tanto si no te gusta

el álgebra podés seguir de largo, si no
se entiende, tampoco importa mucho

Es solamente el punto final que se debe
conocer.

Lo que voy a hacer es dividir los dos
lados de la ecuación

por K, la capacidad de carga

Y ahora voy a definir un nuevo
símbolo

y este va a ser Xt =Nt/k

Ahora puedo reescribir esta ecuación

usando mis símbolos nuevos

Esta ecuación representa la fracción
de la población actual, de la capacidad

de carga, en un tiempo dado

y esto es igual a R veces la fracción
al momento previo menos la misma

fracción al cuadrado.

Y esto es conocido como

el mapa logísitico.

Y esto resulta que es la ecuación más
famosa en el campo de las teorías

del caos.

Reescribamos el mapa logísitico aquí
para clarificar.

Muy simple, no?

Como sucede frecuentemente, es más
interesante de lo que parece

Mucha gente estudia esta ecuación
de manera profunda desde que

Verhulst la propuso

Dos ejemplos prominentes de gente que
la estudió son Lord Robert May

un biólogo teórico que escribió 
un artículo muy influyente

sobre esta ecuación en la década de
1970

y Mitchell Feigenbaum un físico
teórico que trabajó extensamente

en esta ecuación en la década
del 80.

Y es probablemente la persona que
más se asocia con esta ecuación

en la comunidad científica.

Notemos que X es la población
en algún tiempo dado

dividido por la capacidad de carga

o el valor máximo de la población

Por lo tanto X siempre un número
real entre 0 y 1

Es por esto que la ecuación es 
llamada mapa

esto es que toma, de este lado,
un valor actual de X entre 0 y 1

que mapea en un nuevo valor de X
que también está entre 0 y 1.

Vamos a ver un ejemplo

Asignemos R = 2 y nuestra población
inicial sobre la capacidad de carga

Xo = .2. Esto es nuestra población
es un 20% de la capacidad de carga

Ahora podemos iterar este mapa, por
lo tanto saquemos las calculadoras

Calculemos X1

Esto será igual a 2, que es el valor de R
multiplicado por .2 menos .2 al cuadrado

Y de acuerdo a mi cálculadora, esto
es igual a .32

Pasamos entonces de un 20% de la 
capacidad de carga

a 32%.

Ahora sucede que el año próximo

El año próximo tenemos 2 veces,

Ahora utilizamos este valor, de nuestra
previa interacción.

.32 menos .32 al cuadrado y esto es igual
a .4352

Ok, sigamos, pero un poco más rápido ahora

y para siempre vamos a obtener .5 como
respuesta

Esto implica que si su tasa de crecimiento
que es la tasa de nacimiento

menos la tasa de mortalidad, o R

es igual a 2

y comenzás al 20% de la capacidad de carga

bajo este modelo, la población siempre
va a terminar en un 50%

de la capacidad de carga.

Hay dos cosas que debo hacer 
notar aquí:

Primero, estoy usando el término modelo

aquí para referirme a una ecuación
matemática

Es decir, el mapa logístico, este
es el modelo

Se lo llama modelo porque es una 
representación simplificada

del fenómeno real del crecimiento
poblacional

Pero también me refiero al programa
de computadora que escribimos

y usamos en netlogo, como modelos.

Son también representaciones
simplificadas de los fenómenos reales

La palabra "modelo" es un término
muy general en ciencias para

cualquier representación simplificada
de la naturaleza

Sea una ecuación, un programa de
computadora, un dibujo

o cualquier otra cosa

La segunda cosa que debemos notar
es que este valor de .5

se llama atractor

Es un atractor para este sistema porque
el sistema está, en algún sentido,

atraído a él.

Resulta que aún si comenzamos
con valores iniciales diferentes

de la población, por ejemplo
X0 igual a .8, el sistema terminará

con el valor de .5, luego de un
número determinado de pasos.

Cuando el sistema termina en
en un solo valor, como .5

este valor es llamado
un punto fijo

Este valor o el punto, permanece fijo

Esto, para este sistema, .5 es
llamado un atractor de punto fijo

Y por sistema me refiero, otra vez,
a esta ecuación con R igual a 2

A veces el término modelo y
sistema son usados como sinónimos

Espero que esto no los confunda

En cualquier caso, podemos ver 
otras clases de atractores

en la próxima subunidad.

Finalmente, veamos una forma diferente
de visualizar la dinámica

del mapa logístico.

Esto es, cómo cambia a medida
que está iterando

Voy a dibujar un gráfico de la
ecuación del mapa logístico

para R igual a 2

Ahora voy a graficar aquí, Xt;
lo que voy a graficar aquí es Xt+1

Ok, entonces

No es un gran dibujo, pero es más
o menos así como se ve

es una parábola

que va entre 0 y 1 aquí

y aquí para R igual a 2, lo escribo
va entre 0 y .5, que es lo máximo

Ok, pongamos .5 aquí sobre el eje
de las x

Entonces podemos seguir los pasos
para calcular los valores tomados

Ok, nuestro primer valor, si lo
recuerdan es X1 igual .32

Esto es X1 que es .32 y lo
encontrarán aquí

y el valor correspondiente de Y
en la parábola

.4352, que es X2

Este es el punto X1, X2

Entonces tomamos el valor de X2

y encontramos aquí en el eje X,
porque vamos a calcular el valor

siguiente de la función

.4352 está aquí

y se corresponde con este punto

sobre la parábola que es X3

.49160192, ok, este punto aquí
es X2, X3, ok?

y tomamos el X3 que es .49160192, 
lo encontramos en el eje de las X

y vamos aquí para hallar X4 que
es .499999, etc.

Si seguimos haciendo esto

finalmente obtenemos exactamente
.5 y .5

Y otra vez, es todo acerca de .5

y el sistema ya no va a ningún
lugar más

Queda fijo en este punto.

Podemos pensar que pasamos de un 
punto al otro

a lo largo de esta parábola.

Como un ejemplo de la dinámica
del sistema. Este valor de R

es el punto inicial

y esto es llamado una "trayectoria".

Ahora es tiempo de una nueva pregunta

Necesitarás una calculadora
para responder a esta pregunta

R es igual a 2.5 y X0 es igual a .2

Use nuestra ecuación para el
mapa logístico

llenando 2.5 para R y comenzando
con X0 como .2

para calcular X1, X2, X3 y así 
sucesivamente hasta alcanzar

el punto fijo.

Cuál es ese punto fijo?

Y recuerden que el punto fijo
es un valor de X tal que

Xt es el mismo que Xt+1