Napiszmy raz jeszcze nasz model na wzrost populacji i załóżmy, że wskaźnik urodzeń wynosi 2 W poprzednim segmencie powiedziałam że ten prosty model jest liniowy Jeśli narysujemy wykres populacji dla czasu 't+1' w stosunku do populacji w czasie 't' dzieje się tak dlatego, że króliki nie odziaływują na siebie oraz nie ma żadnych ograniczeń dla wzrostu Innym sposobem opisu liniowości jest powiedzenie że całość jest sumą części W naszym prostym modelu populacji możemy to zobaczyć Na przykład, załóżmy, że zaczniemy naszą populację od 1 królika a wskaźnik urodzeń wynosi 2 i przeprowadzimy reprodukcję w okresie 3 lat Otrzymamy w sumie 8 królików Teraz, ustalmy naszą populację początkową na 10 to jest 10 razy więcej niż poprzednio Wciskamy Setup i robimy reprodukcję w latach 1,2,3 W tym przypadku kończymy z 80 królikami 10 razy więcej niż poprzednio A więc jeżeli przeprowadzimy 10 rund z populacją początkową równą 1 Zrobimy na niej 3 roczne cykle i podsumujemy wyniki to otrzymamy tyle samo, ile w przypadku populacji początkowo równej 10 i jednej 3-letniej reprodukcji to jest 80 królików w obu przypadkach A więc całość równa się sumie części Inaczej ma się sprawa, jeśli system jest nieliniowy Zmienimy nasz system na nieliniowy poprzez wprowadzenie nieliniowych oddziaływań pomiędzy jednostkami Oto nasz model oddziaływania nieliniowego Mamy n z indeksem t+1 równa się wskaźnik urodzeń pomnożony przez n z indeksem t Ale teraz odejmiemy tu liczbę potomstwa które obumarło z powodu przepełnienia Możemy założyć, że to przepełnienie ma miejsce z powodu ograniczenia pożywienia, lub przestrzeni i istnieje pewna maksymalna populacja, która może żyć w tym szczególnym środowisku A więc spróbujemy zdefiniować liczbę królików, która umarła od przepełnienia jako n z indeksem t do kwadratu Kwadrat liczebności obecnej populacji podzielone przez wspomnianą maksymalną możliwą populację Teraz mamy w modelu nieliniową zależność 'nt' do kwadratu bierze się stąd że w populacji o liczebności n może zachodzić n do kwadratu wzajemnych interakcji Oczywiście jest to uproszczenie w stosunku do rzeczywistości ale ten model jest wielkim uproszczeniem modelu rzeczywistego wzrostu populacji Chcemy też za jego pomocą uchwycić ideę nieliniowych interakcji i jest to tylko przybliżenie tego, co ma miejsce w rzeczywistości Rozszerzmy jeszcze nasz model i uczyńmy go jeszcze bardziej ogólnym poprzez pozwolenie, aby niektóre króliki umierały nie tylko z powodu przepełnienia Czynnik ten nazwiemy wskaźnikiem śmiertelności Nasz rozszerzony model będzie więc podobny ale od wskaźnika urodzeń odejmiemy wskaźnik śmiertelności Nasz model nazywa się "modelem logistycznym" i został rozwinięty przez matematyka o nazwisku Pierre Verhulst we wczesnych latach 19tego wieku Obejrzyjmy ten model w Netlogo Model nazywa się LogisticModel.nlogo I jak zwykle możecie go ściągnąć poprzez link poniżej albo ze strony z materiałami do kursu Tu widzimy jak wygląda model Mamy tu suwak populacji początkowej oraz suwak wskaźnika urodzeń a także wskaźnika śmiertelności To są liczby rzeczywiste, nie całkowite Jeśli model napotyka na liczbę rzeczywistą w liczebności kolejnej populacji to automatycznie ją zaokrągla do liczby całkowitej Mamy tu także suwak 'nośności' co jest naukową nazwą na maksymalną liczebność populacji jaka może zaistnieć w danym środowisku Ok, ustalmy więc teraz liczebność populacji początkowej na 1 Wskaźnik urodzeń na 2.0 Wskaźnik śmiertelności na razie ustalmy na 0 natomiast wskaźnik nośności ustalmy na 50 Klikamy Setup następnie klikamy Reproduce kilka razy z rzędu Widzimy jak populacja rośnie.. rośnie.. rośnie.. lecz zauważamy, że rosnąć przestaje i ustala się na liczebności 25 Gdy klikam Reproduce, populacja wciąż pozostaje na wartości 25 Zauważmy teraz, że wykres liczebności populacji w czasie nie jest już dłużej wykładniczy i nie rośnie tak szybko Zamiast tego, zaczyna się szybkim wzrostem ale później tempo wzrostu zwalnia aż zupełnie się wypłaszcza Nazywamy to funkcją logistyczną w miejsce funkcji wykładniczej A wykres tegorocznej populacji w odniesieniu do zeszłorocznej nie jest już linią prostą, ponieważ nie mamy już systemu liniowego Powróćmy teraz do naszego modelu w Netlogo Nasuwa się tu oczywiste pytanie dlaczego liczba królików nie osiąga 50 co jest maksymalną możliwą populacją No cóż, w ten właśnie sposób działa nasz model Jeżeli mamy 25 osobników to 25 do kwadratu dzielone przez 50 daje nam 12,5 Tyle osobników umrze w danym roku i jeśli mamy wskaźnik urodzeń równy 2 to liczba osobników w następnym cyklu wyniesie właśnie 25 To jest model matematyczny niekoniecznie realistyczny model wzrostu populacji szczególnie w zakresie takich małych liczb Celem modelu jest tylko uchwycenie tego jak działa system nieliniowy obrazujący wzrost populacji w rzeczywistym świecie ale niekoniecznie musi być precyzyjny Co tu jest interesujące, to nie to, na ile realistyczny jest nasz model ale jaki wpływ ma element nieliniowości na zachowanie modelu Powróćmy do modelu Zadajmy sobie teraz pytanie Czy całość jest tu sumą części? jak to mogliśmy widzieć w modelu liniowym Zróbmy to, co poprzednio Uruchomimy reprodukcję na 3 cykle Otrzymujemy 7 królików; po zaokrągleniu Teraz zmieńmy populację początkową na 5 to jest 5 razy więcej niż wcześniej Setup i znowu robimy 3 cykle I widzimy, że teraz liczba królików nie równa się 5 razy7 tak jak było to poprzednio gdy całość była sumą składników A więc, jeden osobnik 'wyprodukował' 7 osobników po 3 cyklach i spodziewalibyśmy się, że 5 osobników 'wyprodukuje' 5 razy tyle potomstwa czyli 35 osobników Ale zamiast tego dostajemy 21 osobników A więc w tym nieliniowym przypadku całość jest różna od sumy części Możemy więc teraz zobaczyć różnicę pomiędzy systemami liniowymi, a nieliniowymi Tzn. kiedy części systemu wpływają na siebie w nieliniowy sposób To kluczowa koncepcja w systemach złożónych która będzie powracać bardzo często Teraz kolej na Was, abyście zrobili kilka prostych ćwiczeń