Scriviamo il nostro semplice modello di crescita della popolazione, ancora una volta, e poniamo il tasso di nascita uguale a due. Nella precedente sottounità ho detto che questo semplice modello è lineare. Quando si fa il grafico della popolazione al tempo t+1 rispetto alla popolazione al tempo t. Questo perché i singoli conigli non interagiscono tra loro e non c'è un limite alla crescita. Un altro modo per descrivere la linearità e dire che l'intero è la somma delle parti. Nel modello semplice di crescita della popolazione possiamo vedere questo: per esempio supponiamo di iniziare con una popolazione iniziale di un coniglio e un tasso di nascita uguale a due e riproduciamo per tre anni. Risulteranno otto conigli. Ora se poniamo la popolazione iniziale a 10 che è dieci volte quella stabilita originariamente. Clicco su setup, poi su reproduce una, due, tre... finiamo con 80 conigli, dieci volte la popolazione iniziale. Quindi, se prendiamo dieci volte una popolazione iniziale di un coniglio e facciamo passare tre anni e sommiamo i risultati, abbiamo lo stesso risultato che se prendiamo una popolazione iniziale di dieci per tre anni, che è 80 conigli in ogni caso. Quindi il globale è uguale alla somma delle parti ma questo non avviene se il sistema non è lineare. Faremo diventare il sistema non lineare introducendo una interazione non lineare tra gli individui Questo è il modello della interazione non lineare Abbiamo n_(t+1) uguale a il tasso di nascita moltiplicati per n_t ma sottraiamo il numero di figli che muoiono, a causa del sovraffollamenti. Possiamo stabilire che il sovraffollamento avviene a causa dei limiti di cibo e di spazio e che c'è un massimo di popolazione che può vivere in questo habitat particolare, quindi troveremo il numero di morti a causa del sovraffollamento, uguale a n_t elevato al quadrato, il quadrato del numero della popolazione attuale diviso il valore massimo possibile della popolazione. Questo modello è una interazione non lineare. Il termine n_t al quadrato deriva dal fatto che ci sono n^2 possibili interazioni di coppia tra gli individui. Ovviamente questa è una semplificazione della realtà ma questo è un modello molto semplificato della crescita della popolazione. Il suo significato è quello di evidenziare gli effetti dell'interazione non lineare ed è molto approssimato rispetto alla realtà. Estendiamo il modello e facciamolo diventare persino più generale facendo sì che alcuni dei figli muoiano per cause diverse dal sovraffollamento. Chiamiamo questo tasso di mortalità. Il modello è lo stesso eccetto che abbiamo il tasso di nascita meno il tasso di mortalità. Questo si chiama il modello logistico ed è stato sviluppato dal matematico Pierre Verhulst nei primi anni del 1800. Ora vediamo come si evolve in NetLogo, il modello si chiama logisticmodel.nlogo e, come al solito, potete scaricarlo dal link qui sotto o dalla pagina del materiale del corso. Ecco come appare il modello. Abbiamo uno slider per la popolazione iniziale e uno slider per il tasso di nascita e uno per il tasso di mortalità. Sappiate che questi, adesso, sono numeri reali, non interi. Il modello possiede un valore reale per la misura della popolazione e alla generazione successiva abbiamo un arrotondamento di quel numero per avere un intero C'è anche uno slider per gestire la capacità che è il nome scientifico per la massima popolazione che l'habitat può supportare. Impostiamo la popolazione iniziale a 1, il tasso di nascita a 2.0 impostiamo il tasso di mortalità a 0 e la capacità a 50 Facciamo setup e ora reproduce parecchie volte in una riga così la popolazione sta crescendo crescendo e crescendo e notiamo che è fissata a 25 che se io faccio un altro giro di reproduce rimane a 25. Notate che la popolazione nel tempo non è più esponenxioale in questo modo. Non cresce più esponenzialmente, invece inizia veloce ma poi inizia a rallentare questa crescita fino a che si appiattisce questa si chiama funzione logistica invece di funzione esponenziale e il grafico della popolazione di quest'anno rispetto all'anno precedente non è più una linea retta perché non abbiamo più un sistema lineare Ora ritorniamo al modello NetLogo Una domanda ovvia è: perchè il numero di conigli non è 50? che è la capacità. Bene, questo è il modo in cui il modello funziona Se ci sono 25 individui quindi 25 al quadrato diviso 50 uguale 12,5 di quegli individui che muoiono e ricordiamo che abbiamo un tasso di nascita uguale a 2, per creare figli per la generazione successiva. Quindi abbiamo 25. E' un modello matematico, non necessariamente un modello di crescita realistico, specialmente con piccoli numeri è inteso per capire la natura non lineare della crescita della popolazione nel mondo reale ma non necessariamente per essere precisi. Quindi non siamo interessati a quanto il modello è realistico ma a come influisce sul comportamento la nonlinearità. Torniamo al nostro modello. La nostra domanda è: l'intero è uguale alla somma delle parti? Come abbiamo visto nel modello lineare Facciamo ciò che abbiamo fatto prima, facciamo reproduce per tre volte Qui otteniamo 7 conigli, perché è arrotondato, ma impostiamo la popolazione iniziale a 5 che è cinque volte l'originaria. Facciamo di nuovo setup e andiamo avanti tre volte e vedete che il numero di conigli non è 5 x 7 che sarebbe la somma delle parti per la prima versione di questo Cioè: un individuo produce sette individui dopo tre passi quindi pensate che cinque individui produrrebbere cinque volte questo che sarebbero 35 individui dopo tre volte, invece otteniamo 21 quindi nel caso non lineare, il complessivo non è la somma delle parti Quindi avete potuto vedere una differenza fra sistemi lineari e non lineari che è ciò che succede quando le parti interagiscono in modo non lineare Questo è un concetto chiave nei sistemi complessi che ritornerà tante volte. E ora è il momento per voi di fare alcuni brevi esercizi.