2.3 Sistemas no lineales vs. sistemas lineales Escribamos un modelo simple de crecimiento poblacional, una vez más. Supongamos que la tasa de nacimiento es igual a 2. En la sub unidad previa dije que este modelo simple es lineal cuando graficamos la población en el tiempo t + 1, contra la población en el tiempo t Esto es debido a que los conejos individuales no interactúan entre sí y no hay un límite al crecimiento Otra forma de describir la linealidad es decir que "el todo es la suma de las partes" y en el modelo simple del crecimiento poblacional lo podemos ver Por ejemplo supongamos que comenzamos nuestra población inicial con un solo conejo y una tasa de nacimiento de 2 y lo reproducimos durante 3 años Terminamos con 8 conejos Ahora asignemos a nuestra población inicial, 10 Es decir 10 veces más que la original Click en "setup", reproducimos 1, 2, 3 terminamos con 80 conejos 10 veces el valor original Entonces si tomamos 10 corridas diferentes de la población inicial en 1, y las corremos por 3 años y sumamos los resultados Obtenemos la misma cosa tomando una población inicial de 10 por 3 años Esto es 80 conejos en cualquier caso Por lo tanto aquí, el "todo es igual a la suma de sus partes" Pero este no es el caso si el sistema no es lineal Vamos a hacer nuestro sistema no lineal poniendo interacciones no lineales entre los individuos. Aquí está nuestro modelo de interacciones no lineales Aquí tenemos N sub t + 1 es igual a la tasa de nacimiento por N sub t Pero ahora vamos a restar el número de crías que mueren debido a la superpoblación. Podemos asumir que la superpoblación ocurre debido a los límites en comida o espacio y que hay una población máxima que puede vivir en este hábitat particular. Por lo tanto podemos definir el número de los que mueren debido a la superpoblación como igual a N sub t al cuadrado, el cuadrado del número en la población actual dividido por el máximo posible de la población Este modelo tiene interacciones no lineales El término N sub t al cuadrado viene del hecho que hay n posibilidades al cuadrado de interacciones pares entre los individuos Esta es una simplificación con respecto a la realidad. Pero este es un modelo altamente simplificado del crecimiento real de la población. Está destinado a capturar los efectos de las interacciones no lineales y es muy aproximado en relación a lo que ocurre en la realidad. Expandamos el modelo y hagámoslo aún más general, permitiendo que algunas crías de los conejos no mueren a causa de la superpoblación. Llamémoslo la tasa de muerte. Nuestro modelo es el mismo, excepto que ahora tenemos a la tasa de nacimiento menos la tasa de muerte Este modelo es llamado "logístico" y fue desarrollado por el matemático Pierre Verhulst en los comienzos del 1800 Vamos a ver si corre en NetLogo El modelo es llamado "logisticModel.nlogo" y como siempre ustedes pueden bajarlo del link que figura abajo o de la página de los materiales del curso Así es como se ve el modelo. Tenemos un "slider" de la población inicial y "sliders" para la tasa de nacimiento y para la tasa de muerte. Estos son números reales, no enteros y si el modelo viene con valores reales para el tamaño de la población de la siguiente generación, redondea los números reales para poder producir enteros. Hay también un "slider" para la "capacidad de soporte" que es el nombre científico para la población máxima que el hábitat puede soportar. Ok, vamos a asignar a la población inicial el valor 1, la tasa de natalidad a 2.0, vamos a dejar la tasa de mortalidad en 0 y la capacidad de carga en 50. Click en "setup" y luego "reproduce" varias veces, la población está creciendo, creciendo, creciendo y notemos aquí que tiene 25 conejos fijos Si hacemos una vuelta más de "reproduce" queda fijo en 25. Notemos que este gráfico de población sobre tiempo no es más exponencial en su forma, no crece demasiado rápido, en vez comienza yendo rápido pero luego desacelera y se estabiliza. Esto es llamado la función logística en vez de función exponencial y el gráfico de la población de este año versus la población del año pasado no es más una línea recta. Porque no tenemos más un sistema lineal. Volvamos al modelo de Netlogo Una pregunta obvia es por qué el número de conejos no es 50 que es la capacidad de carga Bueno este es el modo en que el modelo trabaja. Si hay 25 individuos, entonces 25 al cuadrado dividido 50 es igual a 12.5 que son los que morirán y el resto tendrá una tasa de nacimiento de 2 para generar las crías de la siguiente generación. Por lo tanto tenemos 25 Es un modelo matemático, no necesariamente un modelo realista de crecimiento poblacional, especialmente con números pequeños Está destinado a capturar la naturaleza no lineal de como la población crece en el mundo real, pero no es precisamente exacto. En lo que estamos interesados no es en cuan realista es el modelo sino en los aspectos no lineales de ese comportamiento Volvamos al modelo Entonces nuestra pregunta es: ¿es el todo la suma de las partes? Como vimos que era en el modelo lineal Hagamos lo que hicimos antes, correr, y reproducir por 3 veces Aquí tenemos 7 conejos de la corrida pero ahora vamos a asignar a la población inicial 5, esto es 5 veces el original Clickeamos en "setup" y lo corremos 3 veces Vemos aquí que el número de conejos no es 5 veces 7, que es la suma de las partes de la primera versión de esto Esto es 1 individuo produce 7 individuos después de 3 pasos, si pensás que 5 individuos producirán 5 veces eso, o 35 individuos después de 3 corridas Pero en vez de eso obtenemos 21 Por lo tanto en este caso no lineal el todo es diferente de la suma de sus partes Ahora vemos una diferencia entre los sistemas lineales y no lineales esto es, qué pasa cuando las partes interactúan en una forma no lineal Este es un concepto clave en los sistemas complejos al que volveremos una y otra vez Ahora es el tiempo para que vos hagas algunos ejercicios cortos