大家好。 第二部分是动力学和混沌。 动力学是事物如何变化， 正如之前所描述的， 理解复杂系统的一个基本方面是 它们的动力学特征。 复杂行为如何展开以及 它如何随着时间变化。 首先我将简要介绍动力学。 然后我们将研究迭代的概念， 以及简单迭代的行为 如何产生复杂的模式。 我们将花一些时间 讨论非线性的关键概念 以及非线性相互作用 如何形成复杂系统的关键。 然后，我们将深入研究一个 简单的人口增长模型， 产生意外的行为。 我会解释“混沌”是什么意思， 另外知道敏感依赖 初始状态。 动力学是系统如何 随时间变化的一般研究。 我将向您展示一些人们研究 动力学主题的例子。 行星动力学研究 行星的运动 引力和轨道的特征， 偏离轨道，日食等。 流体动力学研究 流动流体， 包括研究海洋流动，飓风，太空中的气体云 和湍流气流，就像 我们在飞行时 所经历的那样。 电动力学研究电路中的电流, 气候动力学研究气候是如何随着时间的 推移在温度压力等方面发生变化。 动态人群,观察人们 如何行动。 这可以是有序的方式， 也可以是无序的方式， 例如，当有人打电话时，“火!” 在拥挤的房间里，人们可能会踩踏。 人群动力学，观察人口如何随时间变化。 我们将在这个单元中讨论相当多的内容。 财务动态着 与股票价格或 其它金融活动相关的现象。 群体动力学研究了动物或 人群是如何形成的， 以及如何共同完成任务。 还有关于社会动态的工作。 这包括冲突和合作的动态; 例如，在国家之间。 动力学是一个非常普遍的领域。 这是数学的巨大成功 和科学开发定量工具， 如可用于解释 许多不同现象 的微分方程 和动力系统理论是数学的一般领域 简而言之，它涉及动力系统 它是数学的一个分支， 它描述了系统如何随时间变化， 它包括许多子分支， 包括微积分， 微分方程迭代映射等。 我们将在本单元中讨论其中的一些内容。 系统的动力学是指 系统变化的方式。 动力系统理论为我们 提供了用于描述动力学的 词汇和一套数学工具。 让我简要介绍一下动力系统理论的历史， 并提及一些 历史名人。在西方， 对动力系统的研究 始于亚里士多德。 亚里士多德认为有两套法则。 一个用于地球上的物体，以直线移动， 亚里士多德说，只有在力作用下。 事情的发生速度 取决于它们的重力。 他认为还有一套独立的 天空的物理定律。 例如，其它行星和太阳轨道 完美的围地球转。 亚里士多德的观点基于 逻辑，常识，以及一些朴素的观察。 他并没有真正认为 进行系统实验的必要性。 只是在几千年后， 人们才开始质疑他的观点。 例如 Nicolaus Copernicus（尼古拉斯·哥白尼） 提出新的天体运动学说。 他的理论上太阳是静止的， 行星绕着它运行。 就研究运动学而言， Galileo (伽利略) 是实验方法的开拓者。 他通过实验证明，Aristotle (亚里士多德) 的 运动定律大多数都是错误的。 Isaac Newton (艾萨克·牛顿) 是 现代动力学的创始人。 牛顿发现了我们今天用来 理解重力作用下运动学 的大部分内容。他提出了当时的激进派 认为运动定律是一样的 在地球上和天空中。 重力是普遍存在的， 无论在哪里，都是一样的。 Newton (牛顿) 和 , Leibnitz (莱布尼茨) 也发明了 我们称之为微积分的数学分支, 从那以后, 微积分已成为主要的工具， 用于研究系统 随时间和空间而变化。 Pierre-Simon Laplace (皮埃尔 - 西蒙拉普拉斯) 是 牛顿还原论和决定论的重要支持者。 我将从他那里读到一个非常 著名的引文，它总结了他对 确定性宇宙的看法，其中一切事物 原理上都是可知的。 我们可以将宇宙的现状视为 其过去的影响及 未来的原因，这种智慧在 在某个时刻会知道所有使自然处于运动状态的力 以及构成其中 物体的 所有位置。如果这种智慧足够大， 可以将这些数据提交 来分析，它将在一个公式中 包含宇宙中最大的 物体和最小的 原子的运动。对于这样的智能， 没有什么是不确定的， 未来也是如此,就像过去会 出现在眼前。 虽然 Laplace (拉普拉斯) 在 1800年早期写过这篇文章， 但我们今天可以想象智能可能是一台计算机， 例如，能够模拟宇宙中所有粒子的 超级计算机以及 作用于它们的力量， 并且能够预测任何事物。 这种对完全预测可能性的 观点被广泛接受， 直到19世纪末或20世纪初。 虽然在此之前， 法国数学家 Henri Poincare（亨利·庞加莱） 开始猜测为什么这种完美的预测可能 无法实现的可能原因。 他是现代动力系统理论和 混沌概念的先驱。 让我给出他最着名的语录， Poincare (庞加莱) 说，如果我们在最初的时刻 确切地知道自然规律 和宇宙的情况，我们就可以在 接下来的时刻准确地 预测同一个宇宙的情况。 现在这与 Laplace (拉普拉斯) 所说的一致。 但是，他继续说，但即使自然法则 不再对我们 有任何秘密， 我们仍然只能知道最初的情况。 如果这使我们能够以相同的近似值 预测后续情况 那就是我们所需要的， 我们应该说已经 预测到了这种现象。 这是受规则支配的。 但并非总是如此。 可能会发生初始条件的 微小差异在 最终现象中产生非常大的差异。 前者的一个小错误会在 后者中产生巨大的错误。 预测变得不可能。 该引用引入了 称为敏感依赖于 初始条件的概念。 考虑 Laplace (拉普拉斯) 的想法。 如果在精确的时间， 知道宇宙中每个原子的确切位置和速度， 可以使用牛顿定律准确 预测原子在未来 某个精确时间的位置和速度。 但是，假设你并不完全 清楚这些立场。 假设您只知道 有限数量的小数位。 Poincare (庞加莱) 所说的是， 有一些系统，不是全部， 而是一些系统， 如果你的位置或速度有一些小数位错误， 你的计算最终会结束。 这可能是第10个小数位， 百分之一，千分之一， 或者更小的数。 如果系统对初始条件敏感， 那么初始条件， 例如，每个原子的 位置和速度， 在某个特定时间，如果它以这种方式敏感， 那么如果不知道确定 的初始条件， 预测变得不可能。 Poincare (庞加莱) 的依赖于初始条件的敏感概念， 由着名的 蝴蝶效应来说明。 在这个假设的例子中， 一只小蝴蝶在东京扇动翅膀。 这导致一些空气分子的 位置和速度的变化。 如果整个天气系统 对初始条件敏感并且 天气预报员不考虑蝴蝶，经过一段时间后， 它们的预测将会消失， 蝴蝶实际上可能会产生飓风。 这并不是说这实际发生了， 或者天气对 初始条件很敏感， Poincare (庞加莱) 只是说有 一些系统有这个属性， 我们不知道它们都是什么。 稍后我们将在这个单元中看一个简单的。 现在我们可以定义混沌的概念。 混乱在日常口语中被用来表示粗略无序， 但在动力系统理论中， 它意味着特定的东西。 它是系统动力学 的一种特殊类型。 这是系统变化的一种方式。 它被定义为对初始条件的 敏感依赖性。我们稍后会 更精确地说明这一点。 现在你可能熟悉这个家伙， Dr. Ian Malcolm (伊恩马尔科姆博士) “你从来没有听说过混沌理论？ 非线性方程？奇异吸引子？” 如果这听起来很熟悉， 你可能真的见过他。 在90年代，他是一本书中的角色， 然后是一部名为侏罗纪公园的电影。 您可能知道也可能不知道， 由Michael Creighton (迈克尔克雷顿) 编写的续集侏罗纪公园，并制作成电影 被称为失落的世界。 “失落的世界”的一部分 发生在圣菲研究所。 在序幕中， 我们有“生活在混乱的边缘”， Creighton (克赖顿) 写道，圣菲研究所 位于峡谷路上的 一系列建筑物中， 这些建筑曾经是修道院。这确实是事实。 研究所的研讨会 在一个房间举行， 这个房间也是一个真实的小教堂。 现在站在讲台上，阳光照在他身上， Ian Malcolm (伊恩马尔科姆) 突然停下来， 然后继续他的演讲, 穿着全黑色的，靠在拐杖上， Malcolm (马尔科姆) 给人的印象是严厉。 他在研究所 因其非常规分析和 悲观倾向而闻名。 八月题为“混沌边缘的生活”的讲话是 他典型的思想。 在其中， Malcolm (马尔科姆) 提出了他对混沌理论的分析， 因为它应用于进化。 一旦这本书出版， 电影问世，很多人都注意到有 一个名叫圣菲研究所的地方。 我碰巧在 90年代中期作为常驻教员在那里， 有一天，圣菲研究所的 图书管理员来到午餐， 并与研究所的一组教师和博士后坐在一起， 幽默地提到有人写了 她写了一封信 请求 Ian Malcolm (伊恩马尔科姆) 教授的论文。 当然，博士后， 作为博士后，决定做一个显而易见的事情， Ian Malcolm (伊恩马尔科姆) 建个人网站。 这是他在圣菲研究所的网站， 其中有一些论文， 以及他的研究兴趣等等， 只有在圣菲研究所董事会 认定这是 不专业的之后，Ian Malcolm (伊恩马尔科姆) 的 网页才会失效。 混沌是动力系统理论中 非常重要的领域，它出现在许多不同的背景下。 你可以看到所有这些不同领域 混乱局面的 如大脑活动，人口增长， 财务数据等。 我们将以非常简单的 人口增长模型来研究 人口增长中的混沌现象。 我们要解决这个问题， 混沌和随机性有什么区别？ 结果证明这是一个比人们想象的 更微妙的问题。 我们将通过“确定性混乱”的概念 来探索它。