Witam wszystkich. Nasza druga jednostka dotyczy dynamiki i chaosu Dynamika jest o tym, w jaki sposób rzeczy ulegają zmianom i jak to omawialiśmy wcześniej, zasadniczym aspektem do zrozumienia systemów złożonych jest określenie ich dynamiki, to jest W jaki sposób ich złożone zachowanie się rozwija i jak zmienia się w czasie. Na początek, omówię po krótce historię nauki o dynamice. Potem przyjrzymy się idei iteracji i temu jak iteracja prostych zachowań może prowadzić do wzrostu złożoności układów. Spędzimy trochę czasu omawiając kluczowe pojęcia układów nieliniowych i tego jak wzajemne relacje nieliniowe tworzą sedno systemów złożonych Następnie spojrzymy bliżej na prosty model wzrostu populacji, który daje początek nieoczekiwanym zachowaniom. Wytłumaczę, co rozumie się pod pojęciem "chaosu", inaczej określanego jako wrażliwość na warunki początkowe. Dynamika jest ogólnym studium nad zachowaniem się systemów w czasie Pokażę Wam kilka przykładów zagadnień jakie ludzie studiują w ramach dynamiki. Dynamika planet zajmuje się ruchem planet pod wpływem grawitacji oraz określaniem ich orbit, odchyleniami ich orbit, elipsami itd. Dynamika płynów z kolei, zajmuje się przepływami płynów włączając w to studia nad pływami oceanicznymi, huraganami, chmurami gazów w przestrzeni turbulencjami w przepływach powietrza jakich możemy doświadczać podczas podróży samolotem. Dynamika prądów elektrycznych to studia nad przepływami prądów w obwodach. Dynamika klimatu obejmuje obserwacje zmian klimatu w czasie w znaczeniu temperatury, ciśnienia i tak dalej. Dynamika tłumu bada natomiast zachowanie ludzi w tłumie, który może być uporządkowany lub nieuporządkowany na przykład, kiedy ktoś woła: "ogień!" w zatłoczonym pomieszczeniu ludzie mogą zacząć uciekać w popłochu Dynamika populacji przygląda się zmianom ludności w czasie Będziemy jeszcze mówić o tym w ramach tej jednostki. Dynamika finansów z kolei bada zjawiska związane z cenami giełdowymi oraz inne działania finansowe Dynamika grup zajmuje się badaniem grup zwierząt bądź ludzi oraz ich wspólnym działaniem w osiąganiu celu Jest także dynamika społeczna, która zawiera dynamikę konfliktów i współpracy, na przykład, pomiędzy narodami. Dynamika jest bardzo szeroką dziedziną. Wielkim tryumfem matematyki i nauki był moment, gdy stworzono ilościowe narzędzia takie jak rachunek różniczkowy, które znalazły zastosowanie do tak wielu różnych zjawisk. Teoria systemów dynamicznych jest ogólną dziedziną matematyki zajmującą się systemami dynamicznymi, w skrócie, to gałąź matematyki zajmująca się opisem zmian systemów w czasie i obejmuje wiele poddziedzin takich jak: analiza, równania różniczkowe mapy iteracji itd. Wrócimy do tego w trakcie tej jednostki. Dynamika systemu odnosi się do sposobu, w jaki system ulega zmianie. Teoria systemów dynamicznych dostarcza nam zasób słów i narzędzi matematycznych do opisu dynamik. Pozwólcie, że podzielę się z Wami odrobiną historii teorii systemów dynamicznych i wspomnę kilka znanych nazwisk. Studia systemów dynamicznych na Zachodzie rozpoczęły się w zasadzie od Arystotelesa. Arystoteles wierzył, że istnieją dwa zestawy praw. Jeden zestaw dotyczący ziemi, gdzie ciała, w jego opinii, poruszają się po liniach prostych, jedynie pod wpływem siły zewnętrznej. Ciała spadają na ziemię w tempie proporcjonalnym do ich ciężaru. Wierzył natomiast, że istnieje oddzielny zbiór praw fizycznych dla niebios. Na przykład, inne planety oraz słońce poruszają się wokół ziemi po doskonałych okręgach. Arystoteles bazował w swych poglądach na logice i zdrowym rozsądku oraz na szeregu dość naiwnych obserwacji. Nie dostrzegał żadnej potrzeby jakichkolwiek eksperymentów. Dopiero po kilku tysiącach lat ludzie zaczęli kwestionować jego poglądy. Mikołaj Kopernik, dla przykładu, zaproponował nowy zestaw praw dla niebios. W jego teorii, Słońce pozostaje nieruchome a planety krążą wokół niego. Galileusz był z kolei pionierem metody eksperymentalnej, w odniesieniu do analizy ruchu. Dowiódł on doświadczalnie, że większość praw ruchu Arystotelesa była błędna. Izaaka Newton był twórcą współczesnej dynamiki. Odkrył on większość zasad których używamy do dziś, by ustalić jak ciała poruszają się w polu grawitacyjnym. Zaproponował on również radykalny pogląd, że prawa dotyczące ruchu są takie same dla ziemi jak i dla nieba. Oznacza to, że grawitacja jest uniwersalną siłą, działającą niezależnie od miejsca w kosmosie. Newton, wraz z Leibnitzem, stworzył również gałąź matematyki zwaną analizą matematyczną która stała się podstawowym narzędziem używanym do badania zmian w systemach w czasie i przestrzeni. Pierre-Simon Laplace był wielkim zwolennikiem redukcjonizmu i determinizmu Newtona. Przeczytam bardzo znany cytat Laplace'a, który podsumowuje jego pogląd na deterministyczny wszechświat, w którym wszystko jest z zasady poznawalne. Laplace powiedział:"Możemy wyobrazić sobie obecny stan kosmosu jako wynikający z jego przeszłości oraz przyczyny determinującej jego przyszłość: intelektu, który w danym momencie zna wszystkie siły wprawiające naturę w ruch oraz wszystkie pozycje obiektów, z którego natura jest zbudowana. Taki intelekt, gdyby był wystarczająco wielki by przeanalizować wszystkie dane, mógłby przeanalizować i zawrzeć w jednej formule ruch największych ciał we wszechświecie oraz najmniejszych jego atomów. Dla takiego intelektu nie istniałaby żadna niepewność, a przyszłość tak jak przeszłość, byłaby odkryta przed jego oczyma." Podczas gdy Laplace pisał te słowa we wczesnych latach XIXw. my możemy dzisiaj wyobrazić sobie, że tym intelektem mógłby być superkomputer, który byłby w stanie stworzyć model wszystkich cząstek we wszechświecie oraz sił na nie działających i byłby dzięki temu zdolny do przewidzenia jakiegokolwiek zdarzenia. Pogląd ten, o możliwości absolutnego określenia przyszłości był powszechnie akceptowany do końca XIX, lub nawet początków XX wieku. Mimo tego, wcześniej już francuski matematyk Henri Poincare, rozpoczął spekulacje na temat przyczyn, dla których tak doksonałe przewidywania mogą być niemożliwe. Był pionierem współczesnej teorii systemów dynamicznych oraz pojęcia chaosu. Pozwólcie, że przytoczę tu jego najsłynniejszą wypowiedź. Poincare powiedział: "Gdybyśmy znali dokładnie prawa natury i stan wszechświata w momencie początkowym moglibyśmy przewidzieć dokładnie stan tegoż świata w następnym momencie." To zgadza się z poglądem Laplace'a. Ale Poincare kontynuuje: "Ale nawet gdyby prawa naturalne nie miały przed nami tajemnic, to i tak sytuację początkową możemy poznać tylko w przybliżeniu. Jeśli dzięki temu moglibyśmy przewidzieć następną chwilę z takim samym przybliżeniem to osiągnęlibyśmy to, co chcemy i moglibyśmy powiedzieć, że przewidzieliśmy określone zjawisko. Że jest ono zdeterminowane przez prawa natury. Ale nie zawsze tak jest. Może się zdarzyć, że małe różnice w warunkach początkowych spowodują znaczące zmiany w efekcie końcowym. Mały błąd na początku spowoduje bardzo duży błąd w efekcie końcowym. Wtedy przewidywanie staje się niemożliwe." Cytat ten wprowadza pojęcie zwane zależnością wrażliwą na warunki początkowe Rozważmy ideę Laplace'a. Jeżeli, w ściśle określonym czasie znamy położenie i prędkość każdego atomu we wszechświecie, to możemy użyć praw Newtona do dokładnego przewidzenia prędkości i położenia atomów w ścisłe określonym czasie w przyszłości. Ale, załóżmy, że nie znamy położenia atomów tak dokładnie. Przypuśćmy że znamy ją do któregoś miejsca po przecinku. To, o czym mówi Poincare to, że istnieją systemy, nie wszystkie, ale niektóre w których, jeśli mamy błąd na którymś miejscu po przecinku w określeniu prędkości, to nasza kalkualcja w końcu zawiedzie nas w końcu na kompletne bezdroża. Może tu chodzić o błąd kilku dziesiątych setnych, tysięcznych, albo jakikolwiek jaki sobie wyobrazimy Jeżeli system jest wrażliwy na warunki początkowe, na przykład może tu chodzić o prędkości cząstek oraz o ich położenie w określonym czasie, to jeśli system jest wrażliwy na te warunki, to przy jakimkolwiek błędzie w początkowych wartościach przewidywanie staje się niemożliwe. Twierdzenie Poincare'a na temat wrażliwości na warunki początkowe ilustruje dobrze słynny przykład tzw. efektu motyla. W tym hipotetycznym przykładzie, mały motyl macha swymi skrzydłami w Tokio. To powoduje zmianę w położeniu i prędkości kilku cząstek powietrza. Jeśli teraz cały system pogodowy jest wrażliwy na warunki początkowe a ci, którzy przygotowują prognozy nie wezmą motyla pod uwagę, to po pewnym czasie ich prognozy będą błędne, a sam motyl może de facto spowodować huragan. Nie oznacza to, że coś takiego rzeczywiście się dzieje albo że pogoda jest wrażliwa na warunki początkowe; Poincare stwierdza po prostu, że są systemy, wykazujące takie właściwości i nie wiemy czym one są. Przyjrzymy się prostemu przykładowi już za chwilę. A teraz możemy pokusić się o definicję chaosu. Chaos jest słowem używanym w języku potocznym i oznacza z grubsza nieporządek, ale w teorii systemów dynamicznych, oznacza ono coś ściśle określonego. To szczególny typ dynamiki systemu. To jeden ze sposobów w jaki zmienia się system. Definiujemy go jako wrażliwość na warunki początkowe. Sprecyzujemy to w dalszym toku naszych rozważań. A teraz, możecie znać Doktora Iana Malcolma, który pytał: "Nie słyszałeś o teorii chaosu? Równania nieliniowe? Dziwne atraktory?" Jeśli brzmi to dla Was znajomo to zapewne go spotkaliście. Był postacią z książki, a potem filmu z lat 90tych pod tytułem "Park Jurajski". Możecie wiedzieć, lub nie, ale kontynuacja "Parku Jurajskiego" również napisana przez Michaela Creightona i sfilmowana, nazywała się "Utracony świat". Część "Utraconego świata" dzieje się w Santa Fe Institute. W prologu mamy "Życie na krawędzi chaosu", Creighton pisze, że instytut w Santa Fe znajduje się w szeregu budynków na Canyon Road, które wcześniej mieściły żeński klasztor. To prawda. Seminaria w Instytucie odbywały się w pokoju, który był kiedyś kaplicą. Stojąc na podium, oświetlony snopem światła słonecznego, Ian Malcolm, robi dramtyczna pauzę zanim zacznie kontynuować swój wykład, ubrany całkowicie na czarno, wspierając się o laskę, Malcolm sprawia wrażenie wielkiej powagi. Znany był w Instytucie ze swych niekonwencjonalnych analiz i swej tendencji do pesymizmu. Jego wystąpienie nazwane przez Augusta: "Życie na krawędzi chaosu" było typowym przykładem jego myślenia. W przemówieniu, Malcolm przedstawił swoją analizę teorii chaosu i sposobu w jaki stosuję się do ewolucji. Gdy ukazała się jego książka, oraz film wielu ludzi zauważyło, że istnieje miejsce o nazwie Santa Fe Institute. Tak się złożyło, że byłam w instytucie w latach 90tych jako członek rezydent, i pewnego dnia bibliotekarz z instytutu przyszedł na lunch i usiadł z grupą członków wydziałów i habilitantów i wspomniał humorystycznie że ktoś napisał list proszący o prace Iana Malcolma. W wyniku tego, oczywiście, habilitanci jak to habilitanci, postanowili zrobić rzecz oczywistą, to znaczy, założyli stronę internetową Iana Malcolma. I tak oto mamy stronę Iana Malcolma w Santa Fe Institute, na której są niektóre jego prace, zakres zainteresowań, itd. i dopiero Rada Zarządu Instytutu zdecydowała, że utrzymywanie strony www Iana Malcolma jest nieprofesjonalne i należy ją zamknąć. Chaos jest bardzo ważnym obszarem w teorii systemów dynamicznych i ukazuje się w wielu różnych kontekstach. Możemy zobaczyć chaos jako istotny element różnych dziedzin takich jak: aktywnośc mózgu, wzrost populacji, dane finansowe, itd. Zamierzamy przyjrzeć się zjawisku chaosu we wzroście populacji, na bazie bardzo prostego modelu wzrostu. Postawimy pytanie, o to jaka jest różnica pomiędzy chaosem, a przypadkowością, które to pytanie jest bardziej wnikliwe niż mogłoby sie komuś wydawać. Będziemy badać to zagadnienie za pomocą idei "chaosu deterministycznego".