Ενότητα 2: Δυναμική και Χάος

Γεια χαρά σε όλους.

Η δεύτερη ενότητά μας είναι επάνω στην Δυναμική και το Χαός.

Η Δυναμική είναι η επιστήμη για το πώς αλλάζουν τα πράγματα.

Όπως εξήγησα και προηγούμενα, μία θεμελιώδης πλευρά για να καταλάβουμε τα συστήματα πολυπλοκότητας, είναι να χαρακτηρίσουμε την δυναμική τους.

Το οποίο σημαίνει πως η πολύπλοκη συμπεριφορά ξεδιπλώνεται και πως μεταβάλλεται μέσα στον χρόνο.

Πρώτα θα κάνω μια μικρή αναδρομή της ιστορίας της επιστήμης της Δυναμικής

Μετά θα εξετάσουμε την έννοια της επανάληψης και πως η επανάληψη απλών συμπεριφορών, μπορεί να οδηγήσει σε πολύπλοκα πρότυπα (patterns).

Θα αφιερώσουμε κάποιο χρόνο συζητώντας για την σημαντική έννοια της μη-γραμμικότητας

και πως οι μη-γραμμικές αλληλεπιδράσεις διαμορφώνουν τη βάση των συστημάτων πολυπλοκότητας.

Μετά θα εξετάσουμε σε βάθος ένα απλό μοντέλο πληθυσμιακής ανάπτυξης, το οποίο οδηγεί σε μη αναμενόμενη συμπεριφορά

και θα εξηγήσω τί εννοούμε με τον όρο "Χάος",

αλλιώς γνωστό ως Ευαίσθητη Εξάρτηση στις Αρχικές Συνθήκες

Η Δυναμική είναι η γενική μελέτη για το πως τα συστήματα αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου

Θα σας δείξω κάποια παραδείγματα για το τι είδους θέματα εξετάζονται κάτω από την επικεφαλίδα "Δυναμική".

Η πλανητική Δυναμική εξετάζει την κίνηση των πλανητών κάτω από την επίδραση της δύναμης της βαρύτητας

και χαρακτηρίζει τις τροχιές τους και τις αποκλίσεις από τις τροχιές, τις εκλείψεις κοκ.

Η Ρευστοδυναμική εξετάζει την ροή των ρευστών

και περιλαμβάνει θέματα όπως η μελέτη των ωκεανικών ροών, ανεμοστρόβιλους, νέφη αερίων στο διάστημα και τυρβώδης ροή του αέρα,

όπως αυτή που μπορεί να αισθανθούμε όταν πετάμε μ' αεροπλάνο.

Η Ηλεκτροδυναμική εξετάζει την ροή του ηλεκτρισμού στα ηλεκτρικά κυκλώματα.

Η Δυναμική του κλίματος κοιτά πώς μεταβάλλεται το κλίμα με το πέρασμα του χρόνου, σε όρους θερμοκρασίας, πίεσης κοκ.

Η Δυναμική του πλήθους εξετάζει πως ενεργούν/αντιδρούν πλήθη ανθρώπων και πως αυτό μπορεί να γίνεται με συντεταγμένο τρόπο ή άτακτο τρόπο.

Για παράδειγμα όταν κάποιος φωνάζει "Φωτιά!", σ' ένα γεμάτο δωμάτιο, οι ανθρώποι μπορεί να ποδοπατήσουν/ποδοπατηθούν.

Η Δυναμική του πληθυσμού εξετάζει πώς ο πληθυσμός διαφέρει με την πάροδο του χρόνου,

θα μιλήσουμε αρκετά για το θέμα αυτό, σ' αυτή την Ενότητα.

Η χρηματοοικονομική Δυναμική, επικεντρώνεται σε φαινόμενα σχετικά με τις τιμές των μετοχών ή άλλες χρηματοοικονομικές δραστηριότητες.

Η Δυναμική των ομάδων εξετάζει πως σχηματίζονται ομάδες ζώων ή ανθρώπων

και πως συνεργάζονται για να ολοκληρώσουν εργασίες.

Επίσης υπάρχει πολύ υλικό στην κοινωνική Δυναμική, που περιλαμβάνει την Δυναμική της σύγκρουσης

και την Δυναμική της συνεργασίας, για παράδειγμα μεταξύ των κρατών.

Όπως μπορείτε να δείτε η Δυναμική είναι ένα πολύ εκτεταμένο πεδίο και είναι μεγάλος θρίαμβος των Μαθηματικών και της Επιστήμης

που μπόρεσαν ν' αναπτύξουν ποσοτικά εργαλεία, όπως οι διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες μπορούν να εφαρμοσθούν για να εξηγήσουν τόσο διαφορετικά φαινόμενα .

Η Θεωρία των Δυναμικών Συστημάτων είναι η γενική περιοχή των Μαθηματικών που αφορά δυναμικά συστήματα.

Επιγραμματικά, ο κλάδος των Μαθηματικών που περιγράφει πώς μεταβάλλονται τα συστήματα μέσα στο χρόνο

και περιλαμβάνει πολλούς υποκλάδους, όπως Λογισμό, διαφορικές εξισώσεις, επαναλαμβανόμενους χάρτες κοκ.

Θα μιλήσουμε για μερικούς από αυτούς τους κλάδους, σ' αυτή την Ενότητα.

Η Δυναμική του συστήματος αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο το σύστημα μεταβάλλεται.

Η Θεωρία των Δυναμικών Συστημάτων μας δίνει ένα λεξιλόγιο και ένα σύνολο μαθηματικών εργαλείων για την περιγραφή της Δυναμικής.

Επιτρέψτέ μου να δώσω μια σύντομη ιστορική αναδρομή της Θεωρίας Δυναμικών Συστημάτων

και ν' αναφέρω ορισμένα από τα μεγάλα ιστορικά ονόματα.

Στην Δύση, η μελέτη της Δυναμικής άρχισε ουσιαστικά με τον Αριστοτέλη.

Ο Αριστοτέλης θεωρούσε ότι υπήρχαν δύο ομάδες νόμων:

Μία ομάδα για την Γη, όπου τα αντικείμενα κινούνται σ' ευθείες γραμμές, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη,

και μόνο κάτω από την επίδραση της Δύναμης και τα αντικείμενα πέφτουν με ρυθμό ανάλογο με το βάρος που έχουν.

Πίστευε ότι υπήρχε μία ξεχωριστή ομάδα νόμων για τους ουρανούς.

Για παράδειγμα, άλλοι πλανήτες και ο ήλιος βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τη Γη σε τέλειους κύκλους

Ο Αριστοτέλης στήριξε τις απόψεις του πάνω στην Λογική και την κοινή λογική και κάποια "αφελή" παρατηρήση,

δεν ένοιωσε την ανάγκη να κάνει συστηματικά πειράματα.

Μόνο μετά από μερικά χιλιάδες χρόνια οι άνθρωποι άρχισαν ν' αμφισβητούν τις θέσεις του.

Ο Νικόλαος Κοπέρνικος, για παράδειγμα, πρότεινε ένα νέο σύνολο νόμων για τους ουρανούς.

Στην δική του θεωρία ο ήλιος είναι ακίνητος και οι πλανήτες περιστρέφονται γύρω του.

Ο Γαλιλλαίος ήταν ένας πρωτοπόρος της επιστημονικής μεθόδου,

όσον αφορά το ζήτημα της κίνησης.

Και απέδειξε, κυρίως με πειραματικό τρόπο, ότι οι περισσότεροι νόμοι του Αριστοτέλη για την κίνηση ήταν λανθασμένοι.

Ο Ισαάκ Νεύτωνας ήταν ο θεμελιωτής της σύγχρονης επιστήμης της Δυναμικής.

Ο Νευτώνας ανακάλυψε τα βασικά αυτών που χρησιμοποιούμε σήμερα για να καταλάβουμε την φύση της Κίνησης, κάτω από την επίδραση της βαρύτητας.

Πρότεινε, την τότε επαναστατική άποψη, ότι οι νόμοι της Κίνησης είναι οι ίδιοι και πάνω στην Γη και στους ουρανούς.

Δηλαδή η βαρύτητα είναι μία παγκόσμια δύναμη που δρα το ίδιο,

ανεξάρτητα απο το που βρισκόμαστε στο Σύμπαν.

Ο Νεύτωνας, μαζί με τον Λάιμπνιτζ, επινόησε επίσης εκείνον το κλάδο των Μαθηματικών που ονομάζουμε Λογισμό,

ο οποίος είναι το βασικό εργαλείο που χρησιμοποίουμε για να εξετάσουμε πως μεταβάλλονται τα συστήματα στο χώρο και τον χρονο.

Ο Πιερ-Σιμόν Λαπλάς ήταν μεγάλος υποστηρικτής του Νευτώνειου αναγωγισμού και αιτιοκρατίας

Θα διαβάσω ένα σημαντικό του απόσπασμα, που συνοψίζει τις απόψεις του για το αιτιοκρατικό Σύμπαν,

όπου το κάθε τι είναι ευγενές και αξιωματικό.

Ο Λαπλας είπε: " Μπορούμε να θεωρήσουμε την τωρινή κατάσταση του σύμπαντος

σαν το αποτέλεσμα του παρελθόντος του και η αιτία του μέλλοντός του.

Μία διάνοια η οποία κάποια στιγμή θα γνώριζε όλες τις δυνάμεις που θέτουν την φύση σε κίνηση

και όλες τις θέσεις όλων των στοιχείων που συνθέτουν τη φύση,

εαν αυτή η διάνοια ήταν επίσης τόσο τεράστια ώστε να υπάξει όλα αυτά τα δεδομένα σε ανάλυση,

θα μπορούσε να περιλάβει σε μία και μόνο εξίσωση τις κινήσεις των πιο μεγάλων σωμάτων του σύμπαντος

και αυτών του πιο μικροσκοπικού ατόμου, γιατί για μία τέτοια διάνοια τίποτα δεν θα είναι αβέβαιο

και το μέλλον, όπως το παρελθόν θα είναι παρών μπροστά στα μάτια της.

Ο Λαπλάς έγραψε αυτό το κομμάτι στις αρχές του 19ου αιώνα,

θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι σήμερα μία τέτοια διάνοια θα μπορούσε να είναι ένας υπολογιστής,

ένας υπερ-υπολογιστής που θα μπορούσε να μοντελοποιήσει όλα τα σωματίδια του σύμπαντος,

για παράδειγμα και όλων των δυνάμεων που ασκούνται σ' αυτά και θα μπορούσε να προβλέψει οτιδήποτε.

Αυτή η άποψη της δυνατότητας της απόλυτης πρόβλεψης, ήταν ευρέως αποδεκτή

μέχρι τα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα

Παρόλ' αυτά πριν από αυτή την στροφή ο Ανρί Πουανκαρέ, ο γάλλος μαθηματικός,

άρχισε να κάνει εικασίες για διάφορους λόγους που μία τέτοια τέλεια πρόβλεψη μπορούσε να μην είναι δυνατή.

Ήταν ένας πρωτοπόρος της μοντέρνας Θεωρίας των Δυναμικών Συστημάτων και της έννοιας του Χάους.

Επιτρέψτέ μου να σας δώσω το πιο γνωστό του απόσπασμα.

Ο Πουανκαρέ είπε: "Εαν ξέραμε επακριβώς τους νόμους της φύσης και την κατάσταση του σύμπαντος

κατά την αρχική στιγμη, θα μπορούσαμε να προβλέψουμε ακριβώς την κατάσταση του ίδιου σύμπαντος

σε μία επόμενη (διαδοχική) στιγμή" (αυτό είναι παρόμοιο με εκείνο που είπε ο Λαπλάς).

Αλλά μετά συνεχίζει:

"... ακόμη κι αν υπήρχε περίπτωση οι φυσικοί νόμοι να μην κρύβουν κάποιο μυστήριο για εμάς,

θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση μόνο προσεγγιστικά.

Εάν αυτό μας επέτρεπε να προβλέψουμε την διάδοχη κατάσταση με την ίδια προσέγγιση,

εξάλλου αυτό είναι το μόνο που χρειαζόμαστε, τότε θα έπρεπε να πούμε ότι το φαινόμενο έχει προβλεφθεί,

ότι διέπεται από νόμους.

Αλλά δεν είναι πάντοτε έτσι, μπορεί να συμβαίνει ότι μικρές μεταβολές στις αρχικές συνθήκες

παράγουν πολύ μεγάλες (διαφορές) στα τελικά φαινόμενα.

Ένα μικρό σφάλμα στις πρώτες θα προκαλέσει ένα τεράστιο σφάλμα στις τελευταίες.

Η πρόβλεψη γίνεται αδύνατη".

Αυτό το απόσπασμα εισάγει την έννοια της "Ευαίσθητης εξάρτησης στις αρχικές συνθήκες¨.

Σκεφτείτε την ιδέα του Λαπλάς. Αν σ' ένα ακριβές χρονικό σημείο, γνωρίζατε την ακριβή θέση και ταχύτητα

κάθε ατόμου στο σύμπαν, θα μπορούσατε να χρησιμοποιείστε του νόμους του Νεύτωνα

για να προβλέψετε επακριβώς την θέση και την ταχύτητα που θα έχουν τ' άτομα σε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή στο μέλλον.

Αλλα υποθέστε ότι δεν ξέρετε ακριβώς τις θέσεις (των ατόμων), υποθέστε ότι τις γνωρίζεται με ακρίβεια κάποιων δεκαδικών ψηφίων.

Αυτό που λέει ο Πουανκαρέ είναι ότι υπάρχουν κάποια συστήματα, όχι όλα,

αλλά κάποια, στα οποία αν είστε κάποια δεκαδικά ψηφία λάθος ως προς την θέση ή την ταχύτητα,

οι υπολογισμοί σας θα καταλήξουν να είναι πολύ μακρία.

Και αυτό μπορεί να είναι το δέκατο δεκαδικό ψηφίο, το εκατοστό, το χιλιοστό,

ή όσο πιο μακρία θέλετε να πάτε.

Το σύστημα, αν είναι ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες,

όπου αρχικές συνθήκες θα είναι, για παράδειγμα, οι θέσεις και οι ταχύτητες κάθε ατόμου

σε κάποιο συγκεκριμένο χρονικό σημείο. Αν είναι ευαίσθητο κατ' αυτό τον τρόπο

τότε αν δεν γνωρίζετε τις ακριβείς τιμές για τις αρχικές συνθήκες,

η πρόβλεψη γίνεται αδύνατη.

Η αντίληψη του Πουανκαρέ για ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, απεικονίζεται από το γνωστό

και ως "φαινόμενο της πεταλούδας".

Σ' αυτό το θεωρητικό παράδειγμα, μια μικρή πεταλούδα χτυπά τα φτερά της στο Τόκυο.

Αυτό προκαλεί μία μικροσκοπική αλλαγή στην θέση και την ταχύτητα μερικών μορίων αέρα,

αλλά αν όλο το κλιματικό σύστημα είναι ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες

και οι μετερεωλόγοι δεν υπολογίσουν το πέταγμα της πεταλούδας,

μετά από λίγες στιγμές οι προβλέψεις τους θα είναι πολύ λανθασμένες και η πεταλούδα

μπορεί όντως να προκαλέσει έναν τυφώνα.

Αυτό δεν υποννοεί ότι (το φαινόμενο της πεταλούδας) συμβαίνει πραγματικά ή ότι ο καιρός είναι ευαίσθητος στις αρχικές συνθήκες.

Ο Πουανκαρέ απλά λέει ότι υπάρχουν κάποια συστήματα μ' αυτή την ιδιότητα

και δεν ξέρουμε ποιά είναι όλα αυτά.

Θα εξετάσουμε ένα απλό σύστημα αργότερα σ' αυτή την ενότητα. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του Χάους

Το χάος χρησιμοποιείται στην καθομιλουμένη για να περιγράψει χονδρικά την αταξία,

αλλά στη Θεωρία Δυναμικών Συστημάτων σημαίνει κάτι συγκεκριμένο.

Είναι ένας συγκεκριμένος τύπος της δυναμικής ενός συστήματος,

ένας συγκεκριμένος τρόπος με τον οποίο αλλάζει ένα σύστημα και ορίζεται ως:

Ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες

Θα το κάνουμε πιο συγκεκριμένο λίγο αργότερα

Μπορεί να γνωρίζεται αυτό τον τύπο, τον γιατρό Ίαν Μάλκολμ που ρώτησε:

Δεν έχετε ακούσει ποτέ για την θεωρία του Χάους; Μη γραμμικές εξισώσεις; Παράξενους ελκυστές;

Αν αυτό σαν ακούγεται γνωστό, μπορεί να τον έχετε δει.

Ήταν ένας χαρακτήρας σ' ένα βιβλίο και έπειτα ταινία, το "Jurassic Park", πίσω στην δεκατία του '90.

Μπορεί και να μην το γνωρίζετε ότι η συνέχεια του "Jurassic Park",

το οποίο γράφτηκε επίσης από τον Michael Chrichton και έγινε ταινία,

ονομάστηκε "Ο χαμένος κόσμος" και μέρος του "Χαμένου κόσμου" έλαβε χώρα στο Ινστιτούτο της Σάντα Φε.

Ο πρόλογος έχει τον τίτλο "Η ζωή στην άκρη του Χάους",

όπου ο Chrichton γράφει: "Το Ινστιτούτο της Σάντα Φε στεγάζεται

σε μία σειρά κτιρίων στο Canyon Road, η οποία πριν ήταν ένα μοναστήρι.

(Αυτό είναι πράγματι αλήθεια)

Και τα σεμινάρια του Ινστιτούτου γινόταν σ' ένα δωμάτιο που χρησίμευε σαν εκκλησάκι (επίσης αλήθεια).

Τώρα, στεκούμενος στο πόντιουμ με μία δέσμη φωτός να τον φωτίζει.

ο Ίαν Μάλκολμ κάνει μία δραματική διακοπή πριν συνεχίσει την διάλεξή του .

Ντυμένος στα μαύρα, στηριζόμενος σ' ένα μπαστούνι, ο Μάλκολμ έδίνε την εντύπωση του αυστηρού.

Ήταν γνωστός στο Ινστιτούτο για την αντισυμβατική του ανάλυση και την τάση του για απαισιοδοξία.

Η ομιλία του που ο Αύγουστος ονόμασε " Η ζωή στην άκρη του Χάους", ήταν τυπική του τρόπου σκέψης του.

Σ' αυτήν ο Μάλολμ παρουσίασε την ανάλυση του για την Θεωρία του Χάους, όπως αυτή εφαρμόζεται στην Εξέλιξη"...

... λοιπόν, όταν αυτό το βιβλίο πρωτοκυκλοφόρησε και ιδιαίτερα όταν βγήκε η ταινία,

πολύς κόσμος παρατήρησε ότι υπάρχει κάποιο μέρος που ονομάζεται το Ινστιτούτο της Σάντα Φε

και τυγχάνει να βρίσκομαι εκεί από τα μέσα της δεκαετίας του '90,

σαν μόνιμο εκπαιδευτικό προσωπικό.

Και μια μέρα η βιβλιοθηκάριος του Ινστιτούτου ήρθε για γεύμα

και καθόταν μαζί με μια παρέα καθηγητών και μετα-διδακτορικών στο Ινστιτούτο

και είπε γελώντας ότι κάποιος της έστειλε ένα γράμμα, ζητώντας τα άρθρα του καθηγητή Ίαν Μάλκολμ.

Έτσι, όπως ήταν αναμενόμενο, οι μετα-διδακτορικοί (ως μετα-διδακτορικοί),

αποφάσισαν να κάνουν το προφανές, το οποίο ήταν να κάνουν μια ιστοσελίδα του Ίαν Μάλκολμ.

Αυτή είναι η ιστοσελίδα του, στο Ινστιτούτο της Σάντα Φε, η οποία είχε κάποια άρθρα του

και τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα κοκ.

Και μόνο όταν το διοικητικό συμβούλιο του Ινστιτούτου της Σάντα Φε

αποφάσισε ότι κάτι τέτοιο ήταν αντιεπαγγελματικό, κατέβηκε η ιστοσελίδα του Ίαν Μάλκολμ.

Το Χάος είναι μία πολύ σημαντική περιοχή στην Θεωρία Δυναμικών Συστημάτων

και εμφανίζεαι σε πολλά διαφορετικά πλαίσια.

Μπορείτε να δείτε όλες τις διαφορετικές περιοχές όπου εμφανίζεται το Χάος,

όπως την εγκεφαλική δραστηρότητα, πληθυσμιακή αύξηση, χρηματοοικονομικά δεδομένα κοκ.

Θα εξετάσουμε το φαινόμενο του Χάους στην πληθυσμιακή αύξηση,

μ' ένα πολύ απλό μοντέλο πληθυσμιακής αύξησης.

Θα συζητήσουμε την ερώτηση ποιά είναι η διαφορά μεταξύ Χάους και τυχαιότητας,

η οποία αποδυκνείεται ότι είναι μια πιο δύσκολη ερώτηση από όσο θα νόμιζε κάποιος

και θα εξερευνήσουμε την έννοια που ονομάζεται "αιτιοκρατικό χάος".