En este vídeo, quiero extraer y resaltar
algunas de las claves y logros del estudio
de los sistemas dinámicos,
algunas de las cosas que considero más importantes e interesantes.
Y debo decir que no creo que haya una
sola lección o grupo de lecciones que
provengan de los sistemas dinámicos,
y en particular, creo que la importancia de
los sistemas dinámicos en la comprensión
que viene de ellos será diferente en diferentes campos.
Así que, ciertamente, lo que es importante
para un matemático puede ser diferente
de lo que es importante para un biólogo o un economista.
Y también tengo que decir que no hay
un acuerdo universal acerca de
qué cosas son las importantes.
Por tanto, uno de los objetivos de
este curso es daros una base matemática
en fenómenos básicos como el caos,
atractores extaños y aspectos relacionados.
Para que os podáis formar vuestra propia
opinón sobre todo ello. Sin embargo,
espero que todo éstos pensamientos o comentrios
sean interesantes y al menos os den en qué pensar.
Así que, veamos. Una de las cosas que
considero más importantes en
el estudio de los sistemas dinámicos
es la comprensión de que sistemas dinámico simples,
como la ecuación logística, o la ecuación de Rossler,
no poseen, o no poseen necesariamente
propiedades dinámicas simples.
Y otra forma en la que me gustaría pensar sobre ésto es
que puede haber una diferencia entre
la naturaleza de un proceso y la naturaleza del producto.
Así, por ejemplo, la ecuación logística
es una ecuación determinista, es una
regla simple iterativa, tan aburrida como parece,
pero la simple ecuación determinista
produce comportamiento aperiódico
y aleatorio o aparentemente aleatorio.
Así que, hay una distinción entre
la naturaleza, las características, del proceso generador,
en este caso, una simple ecuación determinista,
y su resultado, que en este caso es una
secuencia aperiódica, aleatoria en esencia.
Así que ésto tiene también implicaciones
importantes, algunas de las que hemos hablado
en la unidad 3, por ejemplo, si veis
un proceso que se comporta aparentemente
de forma aleatoria, con flucturaciones amplias,
o algo de este tipo, podríais pensar:
Tiene que haber algo, un proceso externo;
no sigue una regla simple; se mueve al azar.
Y podría ser el caso. Pero también podría
ser el caso de que haya una dinámica
simple, intrínseca, que está produciendo
esta aparentemente conducta aleatoria.
Podéis tener un sistema ligado a una regla
y descrito en simples términos, pero que
se comporta en formas que parecen
lo contrario a ésto.
Otro ejemplo en el que podemos tener un
comportamiento que parece opuesto al del
que lo produce es el estudio de bifurcaciones.
Así, cuando vimos la ecuación logística en
la cosecha, vimos que hay una población estable
y, conforme aumentáis la cosecha,
la población estable disminuye,
pero hay un punto crítico, una tasa crítica
de cosecha, y si aumentáis sólo un poco
por encima de esa tasa de cosecha,
la población estable no desciende despacio
hacia cero, sino que simplemente desaparece.
Así que hay un cambio súbito, discontinuo.
La propia ecuación diferencial es
perfectamente continua, pero
el comportamiento en el punto de equilibrio,
en el punto fijo, puede ser discontinuo.
Así que, si veis algo, un sistema que tiene
un cambio brusco, y tenéis una población
estable de un centenar, y un poco después
la población desaparece, podríais, lógicamente,
esperar una influencia externa, y parece
requerirse una influencia externa para mover
esta población de 100 a 0 bruscamente.
Y realmente podría ser así, pero
los sistemas dinámicos también nos muestran
que podría haber una causa intrínseca
para ello, interno a la dinámica del sistema,
y en particular podría ocurrir que
pequeños cambios en los parámetros
lleven a grandes cambios en el valor de
equilibrio de la población.
Así pues, un sistema continuo,
la ecuación diferencial, puede tener
discontinuidades incluidas en él.
De nuevo, el proceso que genera el fenómeno
es de alguna forma opuesto en carácter
del proceso que es generado.
Otro ejemplo de este fenómeno que estoy
intentando describir es el patrón de formación
del que hablemos justo en la última unidad.
Podéis tener una sistema dinámico simple,
extendido espacialmente en un sentido,
pero algo que es local, en el que cada punto,
el valor futuro de cada punto,
es una función sólamente de lo que ocurre
en este punto, e incluso podéis añadir
difusión, esa fuerza, por decirlo así, que
tiende a esparcirlo todo.
Y en presencia de todo ésto, reglas de
difusión local, con algunos términos reactivos
también, uno se puede encontrar
estructuras espaciales estables.
Por tanto, estos patrones parecen no venir
de ningún sitio, de condiciones iniciales
casi perfectamente homogéneas,
que la difusión no es capaz de suavizar,
pero que de hecho puede
hacer emerger estos patrones.
Así que, cuando uno ve surgir un patrón
en física o en biología o química o economía
puede ocurrir que alguien lo hizo,
alguien lo diseñó, como alguien haría
el plano de una casa, o puede ser que
símplemente éso es lo que hace el sistema,
sin diseñador ni instrucciones desde arriba;
se autoorganiza. Cierto tipo de patrones
puede formarse espontáneamente.
Así que, de nuevo, vemos un ejemplo
donde fenomenos generadores de procesos,
en este caso, una regla local determinista,
es de alguna manera opuesto al resultado,
como un patrón global estable.
Así, creo que una de las claves, de las ideas claves,
en los sistemas dinámicos, es la separación
entre los resultados de los procesos,
qué apariencia tiene el resultado,
sus características, y el proceso que
los genera. Y creo que ésto es descubrimiento
importante para toda la ciencia en general,
y para el estudio de los sistemas complejos
en particular.
Otro descubrimiento importante que viene
del estudio de los sistemas dinámicos,
es la idea de que el orden y el desorden
no son necesariamente opuestos. De que
se entremezclan y coexisten en montones
de formas interesantes. Una forma, de la
que vamos a hablar, es la
la dependencia sensible de las condiciones iniciales,
o el efecto mariposa, en el que tenemos
un sistema que es determinista, pero
a pesar de ello es imposible predecir
a largo plazo, por la dependencia sensible
a las condiciones iniciales. Y, de hecho,
es casi como si la función es tan determinista,
depende tanto de las condiciones iniciales,
obedece las reglas con tanta precisión
a lo largo del tiempo, que esta precisión
la hace impredecible.
Porque uno necesitaría conocer
las condiciones iniciales, los valores iniciales,
con una precisión imposible
para realizar predicciones a largo plazo.
Así que, de alguna forma, estos
resultados negativos, que ciertos procesos,
la predicción del tiempo quizás, nunca se podrán
predecir a largo plazo. Pero también creo que
son resultados positivos por una serie de razones.
Una es símplemente que los resultados positivos
son que no hay límite al conocimiento,
y es mejor conocer los límites que
no conocerlos. Pero también hay un tipo
de sistemas caóticos que no se pueden
predecir en cierto sentido, pero pueden
ser predecibles en un sentido de promedio.
Y vimos que los atractores extraños, que son
un ejemplo agradable y vivo de cómo pueden
coexistir el orden y el desorden en el
mismo sistema. Así, en una atractor extraño,
tenemos movimiento caótico, sensible a las
condiciones iniciales, pero la estructura,
la forma en el espacio de fases, a distancia
de donde se establece el efecto mariposa,
a lo largo de las trayectorias,
es una estructura estable, es un atractor.
Así, tenemos un gran número de
condiciones iniciales, muy separadas,
y las ponemos en el atractor, y una vez
en el atracto, se mueven caóticamente,
aperiódicamente, con dependencia sensible
de las condiciones iniciales.
Para la mayor parte de sistemas que
hemos descrito con atractor extraño,
no podemos hacer predicciones de
trayectorias individuales, pero podemos
hacer predicciones estadísticas con precisión
porque la forma global de las trayectorias
del atractor extraño se mueven por el
espacio de fases de forma estable;
es predecible. Así que podemos asegurar
con claridad con qué frecuencia el sistema
estará en esta región del espacio de fases,
en contraposición a esta región, o cualquier
otra situación en la que esté el sistema.
Así pues, podemos tener una forma de
estabilidad estadística global a largo plazo
con inestablidad local que da lugar a
dependencia sensible a las condiciones iniciales.
Así que hay una mezcla interesante de esta
combinación de un fenómeno de
desorden y orden. Y de forma más general,
creo que a menudo hay una presunción
en ciencia, y en modelado quizá, de que
el orden y desorden son cosas completamente
diferentes, y si veis algo que se comporta
con cierto orden y cierto desorden,
tendremos que entender el sistema ordenado
de forma unilateral, con un buen
sistema de ecuaciones, y la parte desordenada
necesitará procesos estadísticos
o estocásticos, o algo similar.
Y ésta puede ser un buen enfoque,
pero también puede ser que el orden
y el desorden puedan existir en mismo sistema,
y en esencia puede constituir
caras diferentes de la misma moneda.
Así, de muchas formas diferentes, creo que
los sistemas dinámicos desafían la idea
de orden y desorden como opuestos,
y también desafían la idea de que
simplicidad y complejidad son opuestos.
porque hay montones de ejemplos de
comportamiento complejo a partir
de ecuaciones simples.
Otro aspecto que surje en los sistemas dinámicos
y en otras partes, pero del que hablamos en
este curso, y que es un tema que vale la pena
resaltar, son los diferentes modos en que se
utilizan los modelos matemáticos.
Muy a grandes rasgos, uno puede imaginar
dos formas de modelar un fenómeno.
Uno es tratar de conseguir cada detalle correcto
e intentar conseguir un modelo tan predictivo
como sea posible, y este es un enfoque valioso.
Pero, a veces también interesa conseguir un
modelo que es deliberadamente simple,
que deja fuera algunas características,
quizá algunas características que
no os preocupan, pero preserva algunas
características en las que estáis más interesados.
Así que, en este sentido, este tipo de modelo
es más como una caricatura.
Se diseña justo para capturar algunos
elementos esenciales de un sistema,
y no tratan de reproducir cada detalle
de este sistema.
Y a menudo, estos tipos de modelos,
pueden llevar a una mejor comprensión,
o al menos un tipo diferente de comprensión
que los modelos realmente grandes
que tratan de capturarlo todo.
Por tanto, estos modelos simples sólo
pueden sugerir, quizá, que hay simples
mecanismos comunes para características
similares que hemos visto a través de
diferentes fenómenos.
Probablemente, el mejor ejemplo de ésto
es esta idea de universalidad. Así, esta
duplicación del periodo hacia el caos es
universal, en el sentido de que ciertos aspectos
de cómo se produce, como proporciones de
longitud o regiones periódicas sucesivas,
serían iguales, no como sistemas matemáticos,
sino también como sistemas físicos.
Y esto es un ejemplo sorprendente de cómo
modelos matemáticos muy simples pueden
dar lugar a, no solo una comprensión cualitativa,
sino predicciones numéricas sobre
fenomenos físicos.
Personalmente, tiendo a pensar que la
universalidad, no en el mismo sentido fuerte
que vemos en los sistemas dinámicos,
en sistemas complejos como ecosistemas o
redes complejas, o economías o similares,
Así que pienso que la universalidad, en el
sentido estricto, puede ser un poco una
excepción, que no vemos todo el tiempo.
Sin embargo, pienso que estos modelos sencillos
ofrecen contribuciones realmente valiosas
en el origen de comportamientos complejos,
y comportamientos aleatorios también.
No es el único tipo de contribución, pero
creo que es una contribución importante.
Y por último, está la cuestión de qué es
el caos, qué son los sistemas dinámicos,
cómo pensar, quizá, respecto al resto de
las ciencias y el resgo de las matemáticas.
¿Es una revolución o un cambio de paradigma,
como es la mecánica cuántica? Bien,
Hemos discutido ésto en una entrevista con
Steven Keller, filósofo de la ciencia en la
Universidad de Hamline, y ahí parece,
al menos a mí, que el caos y los sistemas
dinámicos no son una revolución en la forma
que lo fue la mecánica cuántica, por ejemplo.
La mecánica cuántica cambia por completo
nuestra visión del universo, y requirió, no sólo
aceptar cosas nuevas, sino rechazar otras.
No creo que el caos alcance este nivel.
Realmente, no dice que la mecánica Newtoniana
sea incorrecta, símplemente dice que la
mecánica Newtoniana, esta idea basada en
leyes del universo, ese mecanismo de relojería
del universo, es realmente mucho más
interesante y resulta que los relojes pueden
también hacer cosas interesantes, no solo
ser relojes, sino que pueden ser caóticos
y aleatorios, y también producir patrones.
De todas formas, no creo que el caos y los
sistemas dinámicos requieran necesariamente
rechazar teorías físicas, o todas las teorás
fisicas, pero requieren volver a pensar sobre
ciertos conceptos y ciertas ideas.
Una buena descripción de ésto es un
artículo sobre historia de la ciencia de
David Aubin, Emi Dehan Domedico,
en el que argumentan que más pensar en
el caos como una revolución, un cambio
súbito, hacen una larga revisión de la
historia, como un gran arco con muchas
corrientes de pensamiento fluyendo juntas, y lo que emerge,
en este área de caos y sistemas dinámicos,
lo llaman una gran reconfiguración social
de las disciplinas, que cambia el panorama
conceptual. Así, las disciplinas y las
corrientes de pensamiento fluyen juntas
y surgen quizá como una lengua común
o un armazón común que reconfigura ciertas
categorías, el orden y el desorden,
como hemos hablado antes,
constatndo que no tienen que ser opuestos,
dándose cuenta de que podéis conseguir
comportamiento aperiódico a partir de una
función iterativa que se repite, o similar.
Reconfiguraron algunas de estas ideas,
y las disciplinas han fluído juntas en esencia,
y por esto hay un lenguaje común,
al menos en parte entre la biología,
economía, matemáticas y física.
Así que las nociones de atractor extraño,
espacio de fases, exponente de Lyapunov,
efecto mariposa, dependencia sensible
a las condiciones iniciales, son todas ellas
partes de este nuevo armazón,
y hay una forma de comunicar ideas, y hay
una forma de hacer modelos matemáticos,
y quizá hay una forma de mirar el mundo.
Y ojalá que durante este curso seais
ahora parte de esta convergencia de ideas
en caos y sistemas dinámicos también.