Continuamos con el resumen
El siguiente tema se refiere a los diagramas de bifurcación:
Son una forma de ver como el comportamiento
de un sistema dinámico cambia
a medida que cambian los parámetros
y se construyen, creo que es la mejor forma de entenderlo,
variando un sólo parámetro cada vez
Así pues, para cada parámetro, se construye una linea de fase,
si es una ecuación diferencial o un diagrama de estado final,
para una función iterada obteniendo una colección de estos
y se unen formando un diagrama de bifurcación
Aqui tenemos uno de los primeros diagramas
de bifurcación que hemos considerado.
Esta es la ecuación logística con recogida
la ecuación está escrita aquí
y h es el parametro que estamos modificando
y h ....no tengo espacio,...
h está aquí, de 0 a 100, hasta 200 y asi sucesivamente
y una forma de interpretar esto es:
Supongamos que queremos saber que pasa en h igual a 100
Nos enfocamos en el valor 100
y se ve, ¡aha!, que hay un atractor aquï
y un punto repulsor ahí
Así pues, hay dos puntos fijos, uno atractor
el otro repulsor
y lo interesante es que,
la población será estable en estos puntos
recordad la historia que conté acerca de peces en un lago
y h es la velocidad de pesca
cuantos peces se pescan cada año
y, vemos que incrementos en h, hacen que la población de peces decrezca
Esto tiene sentido,
pero lo sorprendente es que cuando se llega aquí
y se hace un cambio muy pequeño en la velocidad de pesca
la población en estado permanente, decrece subitamente
y desaparece...
Así un cambio pequeño en h
conduce a un gran cambio cualitativo en el comportamiento de los peces
Esto es un ejemplo de una bifurcación
que ocurre justo aquí,
que produce un cambio súbito en el comportamiento del sistema
a medida que el parametro varía lenta y continuamente
Así pues hemos visto los diagramas de bifurcación
para ecuaciones diferenciales
y vemos una sorprendente discontinuidad en el comportamiento
Después, consideramos los diagramas de bifurcación en la ecuación logistica
y vemos las bifurcaciones en el paso de periodo 2 a periodo 4
pero lo que es realmente interesante es
que se forma una estructura increíble que hemos visto en detalle con zoom
vemos que hay ventanas de periodo 3 y, en general, un comportamiento complicado
Así hay muchos valores para los que el sistema es caótico
El sistema se mueve de un periodo a otro en una forma determinada
y tiene una estructura autosimilar que es muy complicada
pero tiene una serie de regularidades en la ecuación logistica
A continuacion consideramos
la ruta hacia el caos, con duplicaciones más de cerca
y en particular, se define un cociente delta
que describe cuantas veces las ramas n son mas largas que las n+1
así pues, delta es cuanto más largo es esto, respecto de eso Esto es delta 1
y el numero de veces que esto es mas largo que eso, será delta 2
y consideramos los diagramas para distintas funciones
y, aunque no lo he probado,
discutimos como esta cantidad
delta, este cociente
entre las longitudes en el diagrama de bifurcación es universal
y esto significa que tiene el mismo valor para todas las funciones
con tal de que,... (un poco de letra pequeña)
que mapeen el intervalo sobre sí mismo y tengan un solo máximo cuadrático
Así, este valor, que se,...
considera no racional y trascendente,
se conoce como la constante de Feigenbaum
en honor a una de las personas que hicieron este descubrimiento de universalidad
Este es un sorprendente resultado matemático.
y muestra que existen similitudes entre
un amplio conjunto de sistemas matemáticos
En mi opinión, lo que es incluso más sorprendente
son las consecuencias físicas.
Los sistemas físicos muestran la misma universalidad
Así, la ruta hacia el caos duplicando el periodo
se observa en sistemas físicos,...
he hablado del grifo que gotea, sistemas convectivos, fluidos
y se puede medir delta en estos sistemas.
No es un experimento sencillo, pero puede hacerse
y los resultados son consistentes con este valor univesal 4,669
y lo que esto quiere decir
que, de alguna forma, las sencillas ecuaciones unidimensionales,....
Empezamos con la ecuación logistica
y obviamente, invente una historia sobre conejos en una isla
que, sin embargo, producen un número, o hacer predicciones
que se pueden llevar al mundo real
y realizar un experimento mucho más complicado
y obtener los mismo número
Esto creo que es uno de los resultados más
sorprendentes e interesantes de los sistemas dinámicos
Después, pasamos de ecuaciones diferenciales
de una dimensión a ecuaciones diferenciales de dos variables
Ahora, en lugar de controlar la temperatura o la población
vamos a controlar dos poblaciones
Digamos R para conejos y F para zorros
y tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales enlazadas
el futuro de los conejos depende de los conejos y los zorros
y el futuro de los zorros depende de los zorros y los conejos
Ahora, están acopladas, enlazadas entre si.
Se pueden resolver estas ecuaciones usando el metodo de Euler o técnicas similares
de forma casi idéntica a como se hace en sistemas unidimensionales
y se obtienen dos soluciones
la solucion para los conejos y la solución para los zorros
y en este caso, (es la ecuación de Lotka-Volterra)
ambas oscilan,
tenemos ciclos tanto de conejos como de zorros
pero ahora podemos dibujar R respecto a F
De esta forma perdemos la información temporal
pero nos muestra como los conejos y los zorros
están relacionados
y si hacemos esto.
obtenemos un dibujo como este.
simplemente recuerdo que la curva va en estas direcciones
y de esta manera, los conejos y los zorros estan dando vueltas
La población de conejos crece, y la cantidad de zorros crece.
Luego, el número de conejos decrece, puesto que los zorros se los comen
Después, le número de zorros decrece,
puesto que están hambrientos, ya que no hay conejos
y así sucesivamente.
Esto si similar a la línea de fase
para ecuaciones diferenciales de una variable
pero se denomina el plano de fase puesto que esta en un plano
y esto muestra como se relacionan F y R en el plano de fase
El plano de fase, y el espacio de fases
son una serie de construcciones geométricas
y herramientas analíticas utilizadas
para visualizar comportamientos de sistemas dinámicos
Un resultado importante es que no puede existir
caos, en ecuaciones diferenciales de dos variables
porque las curvas no pueden cruzarse en el diagrama de fase
las ecuaciones son determinísticas
y esto significa que en todos los puntos del espacio,
(recordemos que hablamos del espacio de fase)
un punto del espacio da una poblacion de conejos y zorros,
hay una dirección única, asociada con el movimiento
El valor de la funcion R del tiempo o F de tiempo
que dan una dirección: como los conejos estan creciendo
o como los zorros están creciendo
Si dos lineas se cruzaran,
como hacen mis dedos en este momento
entonces tendríamos un sistema no determinado
habria dos trayectorias posibles desde un mismo punto
Asi el hecho de que las curvas no pueden cruzarse
limita el comportamiento
y solo pueden trazar determinadas trayectorias en el espacio de fases
Puede haber puntos estables o inestables,
puntos fijos y órbitas que, por supuesto, pueden ir hacia el infinito
y puede haber ciclos límite, produciendo comportamientos ciclicos
y hemos visto un ejemplo de estos
Pero lo más importante es que no pueden existir órbitas aperiodicas
Este resultado se conoce como el teorema de Poincaré- Bendixson
que tiene aproximadamente un siglo de existencia
que no es inmediatamente obvio, precisa una prueba
Esa es la razon por la que es un teorema y no
una afirmación obvia
Se podría tratar de imaginar curvas en el espacio que
nunca repitan
pero que tampoco salgan de un area limitada
pero el teorema de Poincaré- Bendixson dice
estas soluciones son imposibles
El resultado principal es que las ecuaciones
diferenciales de dos dimensiones no pueden ser caoticas
Sin embargo, este no es el caso para ecuaciones
diferenciales en tres dimensiones
Aquí tenemos la ecuación de Lorentz
De nuevo es un sistema dinámico, es un conjunto de
reglas; nos dice que algo cambia con el tiempo
En ese caso ese algo es x, y, z;
.... He olvidado que parametros he escogido para sigma, rho y beta,
Y obtenemos tres soluciones, x, y y z..
Las tres son curvas que varían con t
y también podemos representarlas en el diagrama de fase
x, y z juntos y...
para ese sistema, lo que obtenemos
es una estructura complicada que da vueltas sobre sí misma y se repite
Parece que las lineas se cruzan, pero no es así.
Hay un espacio entre ellas.
Parece que se cruzan porque esta
es una representación bidimensional de algo que
ocurre en 3 dimensiones.
De acuerdo
Un poco más acerca de los espacios de fase,
Determinismo significa que curvas en 2 D no pueden cruzarse
pero como el espacio es tridimensional
las curvas pueden ir por encima o por debajo
y eso significa que puede existir un comportamiento más interesante
una trayectoria puede moverse alrededor por encima
o por debajo de ellla misma de manera complicada
y lo que eso significa, en consecuencia,
es que las ecuaciones diferenciales en 3D pueden ser caóticas
podemos obtener curvas, limitadas y aperiodicas
con sensibilidad a condiciones iniciales también.
Y despues hemos descubierto
que las trayectorias en el espacio de fase,
son particularmente interesantes y divertidas,
y frecuentemente, se dirigen hacia estas cosas denominadas
atractores extraños
Aqui tenemos el atractor de Lorentz
para los notables valores d e la ecuación de Lorentz
y los atractores extraños, que son...
son puntos de atracción.
y lo que significa es que atraen a las órbitas cercanas
Por lo tanto, si tenemos unas condiciones iniciales
las curvas van a ser atraidas hacia ese atractor
Y en ese sentido son estables,
Si estamos en el atractor, y alguien nos empuja un poco
volvemos enseguida hacia él. Esto es lo que significa ser estable
Asi hay un atractor estable en el plano de fase
pero el movimiento hacia el atractor no es periodico
de la forma que la mayor parte de los atractores
y puntos fijos que hemos visto
sino que el movimiento sobre el atractor es caotico
y las óbitas son aperiodicas
y dependen de las condiciones inciales
Asi pues es un atractivo atractor caotico
Analizamos el tema un poco mas desde el punto de vista geometrico
y descubrimos que los ingredientes claves para
un atractor extraño, o realmente, para lograr algún
tipo de caos, es extender y doblar.
Se necesita algo de extensión para separar las órbitas cercanas
y la analogía la hacemos con el amasado un poco de masa
Cuando se amasa, se extiende
y esto separa los elementos de la masa y se dobla sobre sí mismo
Y el doblado obliga a que las órbitas esten limitadas
y toma dos órbitas lejas y las mueve cerca
pero la extensión, empuja las órbitas cercanas lejos.
y eso es lo que produce el efecto mariposa
de dependencia de las condiciones iniciales
Extensión y doblado puede ser relativamente
facil de entender en un espacio tridimensional
como es el espacio de amasar una pasta de pan
o un espacio de fases
pero ocurre también en mapas de una dimensión
y la ecuación logística se extiende y se dobla.
y esto puede explicar como los mapas de una dimensóon
de las funciones iteradas tienen algunas
de las características de los sistemas de mayor dimensión
Y tambien explica como estos sistemas multidimensionales
sistemas convectivos, grifos que gotean, pueden
ser representados por sistemas de una dimensión como la ecuación logística
y tienen el parámetro universal 4, 669
En resumen, extensión y doblado son los ingredientes clave
de los sistemas dinamicos con caos.
Asi pues, atractores extraños una vez más,
son estas estructuras complejas
que resultan de sistemas dinámicos sencillos
Recordemos que hemos visto tres ejemplos
El mapa de Henon, el atractor Henon
que es un sistema de dos dimensiones, discreto
un sistema de dos dimensiones iterado
y despues, dos diferentes conjuntos
de ecuaciones diferenciales en tres dimensiones:
la famosa ecuacion de Lorentz
y también, la ligeramente menos famosa, pero igualmente bella
ecuación de Rössler
De nuevo, el movimiento en el atractor es caotico
pero todas las órbitas van hacia el atractor
Y por tanto, los atractores extraños combinan elementos de orden y desorden
que es uno de los conceptos clave del curso
El movimiento en el atractor es local e inestable
en ellos las órbitas se separan, pero globalmente, son estables
y tienen estas estructuras estables
El mismo atractor de Lorentz aparece todo el tiempo
Si se separa del atractor, vuelve a él de nuevo
En el último tema que consideramos en la unidad 9
es la formacion de patrones.
Hemos visto a lo largo del curso
que los sistemas dinámicos pueden producir caos
este es uno de los resultados más importantes.
Un comportamiento no periódico e impredecible.
pero los sistemas dinámicos tienen mucho mas que caos
Pueden producir modelos patrones, estructuras
organizaciones, complejidad etc.
y hemos considerado un ejemplo de un sistema que forma patrones
Hay muchos más entre los que podriamos haber elegido.
Hemos considerado los sistemas de reacción-difusión
Aqui tenemos dos productos quimicos
que reaccionan y se difunden
y difusión, que es la expansión aleatoria de moleculas en el espacio
la difusión tiende a eliminar diferencias
hacer todo tan aburrido y suave como sea posible
Pero si tenemos dos substancias químicas
que reaccionan de una determinada manera
es posible obtener estructuras espaciales estables
incluso en presencia de difusión
Aquí tenemos dos ecuaciones, que explique en la última unidad
Son deterministicas, como los sistemas dinamicos
que hemos estudiado antes
y se extienden espacialmente ya que ahora u y v
son funciones, no solo del tiempo, sino de x e y
y por tanto deben tratarse con ecuaciones en derivadas parciales
Crucialmente, las reglas son locales
Así los valores de u y de v, que son concentraciones químicas
dependen de una función f de los valores de estas
concentraciones en una posición específica.
y de la Laplaciana, en esta posición.
Es decir, tenemos una regla local,..
y las concentraciones en un lugar, no saben
cual es la concentracion en otra posición
y hacen lo que tienen que hacer, en su posicion específica
y, sin embargo, producen estas
estructuras cuando se consideran en conjunto
Vimos un ejemplo rápido,
experimentos con las ecuaciones de
reacción difusión en la web de Experimentarium digitale
y aqui tenemos un ejemplo de lo que vimos
a partir de una situación inicial aparecen estos puntos estables
Tambien vimos un video de Stephen Morris
de Toronto, en el que dos fluidos
se vierten en una placa de Petri
y, casi de manera mágica, empiezan a aparecer patrones
El Belousov Zhabotinsky
es otro ejemplo de Reacción- Difusión
El tema de formación de patrones es un tema
muy amplio. Podria ser probablemente, un curso en sí mismo
Lo más importante que quiero indicar es que
hay mucho más en los sistemas dinámicos
que simplemente caos e impredecibilidad
Sistemas dinamicos, simples y extendidos
en el espacio, con reglas locales
son capaces de producir patrones y estructuras globales estables.
por eso, el estudio de caos, incluye mucho mas que el caos
Algunos sistemas dinámicos sencillos pueden
producir complejidad y fenomenos emergentes