نستمر بمراجعتنا،
المواضيع التالية التي غطيناها تتعلق برسوم التشعبات البيانية.
إنهم طريقة لرؤية كيف يتغير سلوك الأنظمة الديناميكية بينما يتغير
الوسيط.
أعتقد أنّه من الأفضل التفكير بهم كونهم قد تم بنائهم لكل قيمة وسيط
على حدا.
إذاً من أجل كل قيمة وسيط، لدينا خط مرحلي، إن كانت معادلة تفاضلية،
أو رسم بياني للحالة النهائية للتابع التكراري.
نحصل على مجموعة من هؤلاء، ومن ثم نلصق هؤلاء مع بعضهم لنحصل
على رسم تشعبي بياني.
إذاً، ها هنا أحد أول رسوم التشعبية البيانية التي نظرنا إليها.
هذه معادلة لوجيستية مع حصاد. المعادلة هنا بالأسفل.
وإذاً h هي الوسيط الذي يتغير.
H هنا تذهب من 0 إلى 100 إلى 200 وهكذا.
ولذلك طريقة لتفسير هذا هي بأن تفترض أنك تريد أن تعرف ماذا يحدث
عند h تساوي 100. حسناً، سأجرب أن أركّز على تلك القيمة مباشرةً، وأستطيع أن أرى " آها"،
يبدو لي كأنّ هناك نقطة ثابتة جاذبة هنا، ونقطة ثابتة
منفرة هناك. إذاً يوجد نقطتين ثابتتين: أحدهما جاذبة والأخرى
منفرة، أو نافرة.
والشيء المثير للإهتمام هنا هو أنّ هذه نقطة ثابتة مستقرة،
ستكون هذه كثافة سكانية مستقرة للقصة التي أخبرتكم بها التي تتضمنت أسماك في بحيرة
أو محيط، و h هي معدل الصيد، كم سمكة تصطاد كل سنة.
ويزداد ذلك، وبينما تزيد h، تتناقص الكثافة السكانية للأسماك الثابتة
نوعاً ما. هذا يبدو منطقياً.
لكن المفاجئ هو أنّه عندما كنت هنا، وسببت زيادة صغيرة جداً
في معدل الصيد، تتحطم الكثافة السكانية الثابتة وفي الواقع تختفي.
الكثافة السكانية تتحطم.
إذاً لديك تغير صغير في h يؤدي إلى تغير نوعي كبير
في سلوك الأسماك.
إذاً هذا مثال عن تشعب يحدث هنا مباشرةً.
إنّه تغير نوعي مفاجئ في سلوك النظام بينما يتغير الوسيط
ببطئ وباستمرار.
إذاً لقد نظرنا إلى رسوم تشعب بيانية لمعادلات تفاضلية ولقد رأينا
السلوك المتقطع المفاجئ، ثمّ لقد نظرنا إلى رسوم تشعب بيانية
للمعادلة اللوجيستية، ولقد رأينا تشعبات هنا هي دورة 2 إلى دورة 4، لكن ما كان
مثيراً للإهتمام حقاً حول هذا هو أنّه كان هناك هذه البنية المذهلة لهذا
ولقد كبّرنا ولقد بدت رائعة للغاية.
يوجد نوافذ دورة 3، كل أنواع السلوك المعقد هنا.
إذاً يوجد الكثير من القيم يكون من أجلها النظام مشوش.
يذهب النظام من دورة مختلفة إلى دورة بطريقة معينة.
وهذا لديه بنية مشابهة ذاتياً: إنّها معقدة جداً لكن يوجد بعض
الانتظام لهذه المجموعة من السلوك للمعادلة اللوجيستية.
إذاً، بعد ذلك لقد نظرنا إلى مسار تضاعف دورة للشواش عن كثب أكثر قليلاً.
ولقد حددت هذه النسبة خاصةً، دلتا.
إنّها تخبرنا بكم أكبر مجموعة n من مجموعة n+1.
إذاً دلتا هي كم هذه أكبر أو أطول من تلك.
ستكون تلك دلتا 1. كم هي أطول، كم هو أطول هذا الطول من ذاك
عندئذٍ ستكون تلك دلتا 2.
ولقد نظرنا إلى رسوم تشعب بيانية لبعض الدوال المختلفة،
ولم أبرهنها، لقد ناقشنا كيف لهذه الكمية، دلتا، هذه النسبة
لهؤلاء الأطوال في رسم التشعب البياني شاملة.
وذلك يعني أنّ لديها نفس القيمة لكل الدوال
المقدّمة، القليل من الملاحظات البسيطة، إنهم يرسمون خريطة الفاصل لنفسه ولديهم
حد أقصى واحد من الدرجة الثانية.
إذاً هذه القيمة والتي أعتقد أنّها معروفة بكونها عقلانية وأعتقد
فائقة لخبرة البشر، معروفة بثابت Feigenbaum، على اسم أحد الأشخاص الذين اكتشفوا
اكتشاف الشمولية هذا.
هذه حقيقة رياضية مذهلة وتشير إلى بعض التشابهات بين
صنف واسع من الأنظمة الرياضية.
بالنسبة لي، شيءٌ آخر مذهلٌ أكثر حتى، هو أنّ هذا لديه عواقب فيزيائية.
الأنظمة الفيزيائية تُظهر نفس الشمولية.
إذاً مسار تضاعف الدورة للشواش يتم ملاحظته في الأنظمة الفيزيائية.
لقد تحدثت عن الصنبور الذي ينقط ولفائف الحمل الحراري بالسائل، ويمكن لأحد ما
أن يقيس دلتا لهذه الأنظمة. إنّها ليس تجربة سهلة للقيام بها.
لكن من الممكن القيام بها.
والنتائج متسقة مع القيمة الشاملة هذه 4.669.
وإذاً ما يخبرنا به هذا هو أنّه بطريقةٍ ما هذه معادلات أحادية البعد بسيطة،
لقد بدأنا بمعادلة لوجيستية، جليّاً قصة مختلقة عن
أرانب على جزيرة، والتي مع ذلك تنتج عدد، تنبؤ
الذي يمكنك أن تخرج إلى العالم الفيزيائي الحقيقي وتدير تجربة
مع شيءٍ ما أكثر تعقيداً بكثير وتحصل على نفس العدد.
إذاً أعتقد أنّ هذه أحد أكثر النتائج مفاجئةً وإثارة للاهتمام
في الأنظمة الديناميكية.
إذاً بعد ذلك لقد انتقلنا من المعادلات التفاضلية أحادية البعد إلى المعادلات التفاضلية
ثنائية البعد.
إذاً الآن، بدلاً من الاستمرار بمتابعة درجة الحرارة أو الكثافة السكانية فقط، سوف
نستمر بمتاعبة كثافتين سكانيتين، لنرمز R للأرانب و F للثعالب.
وسيكون لدينا الآن نظام من معادلتين تفاضليتين مقترنيتين:
مصير الأرانب يعتمد على الأرانب والثعالب، ومصير
الثعالب يعتمد على الثعالب والأرانب.
إذاً إنّهم مقترنين، إنّهم مترابطين معاً.
ويستطيع أحدٌ ما أن يحل هؤلاء باستخدام طريقة أويلر أو أشياء مثلها،
بشكل متطابق تقريباً لكيفية حل المعادلات التفاضلية أحادية البعد
وتحصل على حلين:
تحصل على حل أرنب وحل ثعلب.
وفي هذه الحالة، هذه معادلة فولتيرا لوتكا،
كلاهما يتذبذبان. لدينا مدارات في كلا الأرانب والثعالب.
لكن عندئذٍ، يمكننا أن نرسم R بيانياً مقابل F.
إذاً نخسر معلومات الزمن، لكن سترينا كيف الأرانب والثعالب
مترابطين.
وإذا فعلنا ذلك، نحصل على صورة تبدو هكذا.
تذكير فقط أنّ هذا المنحني يذهب بهذا الإتجاه.
وإذاً الثعالب والأرانب تدور هنا وهناك.
تزداد كثافة الأراانب السكانية، ثمّ تزداد كثافة الثعالب السكانية.
تتناقص الأرانب لأنّ الثعالب تأكلهم.
بعدئذٍ تتناقص الثعالب لأنّهم حزينين وجائعين لأنّه
لا يوجد أرانب بالأنحاء، وهكذا.
إذاً، هذا مشابه للخط المرحلي للمعادلات أحادية البعد،
لكنه يدعى بالمستوى المرحلي لأنّه يعيش على مستوى.
وهكذا كيف R و F مترابطين.
مستوى مرحلي ثم فراغ مرحلي هو أحد التراكيب الهندسية الرئيسية،
أدوات تحليلية تُستخدم لتصوّر سلوك الأنظمة الديناميكية.
إذاً نتيجة مهمة هي أنّه يمكن أن لا يكون هناك شواش، لا يكون هناك حلول
غير دورية في المعادلات التفاضلية ثنائية البعد.
إذاً المنحنيات لا تتقاطع في الفراغ المرحلي.
المعادلات حتمية، ويعني ذلك أنّ كل نقطة في الفراغ،
وتذكر هذا في الفراغ المرحلي، نقاط كثيرة في الفراغ تعطي تعداد الأرانب والثعالب
السكاني، يوجد اتجاه فريد مترافق مع الحركة.
DF/DT، DR/DT، يعطي ذلك الاتجاه. يخبرك كيف تتزايد
الأرانب، كيف تتزايد الثعالب.
إذا تقاطع خطين مرحليين في أي وقت، كما يفعلا حيث تلتقي مفاصل أصابعي،
عندئذٍ سيكون ذلك نظام ديناميكي غير حتمي.
سيكون هناك مسارين محتملين يأتيان من نقطة واحدة.
إذاً حقيقة أنّ هؤلاء المنحنيان لا يستطيعان أن يعبرا في هذه الأنظمة يقيد السلوك.
إنّهم يطلوون أنفسهم نوعاً ما بينما يتعقبون شيئاً ما،
يتعقبون منحني في الفراغ المرحلي.
إذاً يمكن أن يكون هناك نقاط ثابتة مستقرة وغير مستقرة ومدارات تستطيع أن تميل باتجاه اللانهاية
بالطبع، ويمكن أن يكون هناك أيضاً مدارات حدودية تجذب سلوك دوري، ولقد
رأينا مثالاً عن ذلك.
لكن الشيء الرئيسي هو أنّه لا يمكن أن يكون هناك مدارات غير دورية.
وتلك النتيجة معروفة بنظرية Poincaré-Bendixson.
إنّها قديمة بعمر قرن.
وإنّها ليست واضحة مباشرةً: تحتاج لبعض البرهان.
كما قلت، ربما لذلك إنّها نظرية وليست مجرد عبارة واضحة
يمكن لأحدٌ ما أن يتخيلها، والناس في المنتديات قد كانت تحاول تخيل
منحنيات ملأ الفراغ التي بطريقةٍ ما لا تكرر أبداً لكن أيضاً لا تغادر منطقة محدودة أبداً
لكن نظرية Poincaré-Bendixson تقول أنّ هؤلاء الحلول غير
محتملين بطريقةٍ ما.
إذاً النتيجة الرئيسية هي أنّ المعادلات التفاضلية ثنائية البعد
لا يمكن أن تكون مشوشة.
بينما تلك ليست الحالة بالنسبة للمعادلات التفاضلية ثلاثية البعد.
إذاً ها هنا معادلات لورينز.
الآن، إنّه نظام ديناميكي مجدداً، إنّها قاعدة تخبرنا كيف يتغير شيئاً ما
في الزمن.
ها هنا ذلك الشيء هو x، وy، و z ، ولقد نسيت أي قيم وسيط اخترت
لسيغما، رو، وبيتا.
ونستطيع أن نحصل على ثلاث حلول: x، وy، و z.
وهؤلاء هم كل المنحنيات المرسومين بيانياً كدالة للزمن.
لكن نستطيع أن نرسم هؤلاء بيانياً في الفراغ المرحلي، x، وy، و z معاً.
ولذلك النظام، إذا فعلنا ذلك، نحصل على بعض البنية المعقدة
تدور حول نفسها وتتكرر.
يبدو أنّ الخطوط تتقاطع لكنها لا تفعل.
في الواقع يوجد هناك فراغ بينهم.
يبدو أنّهم يتقاطعون لأنّ هذا سطح ثنائي الأبعاد يحاول
أن يرسم شيئاً ما ببعد ثلاثي.
حسناً إذاً فقط المزيد قليلاً عن الفراغ المرحلي.
الحتمية تعني أنّ المنحنيات في الفراغ المرحلي لا يمكن أن تتقاطع.
لكن لأنّ الفراغ هو ثلاثي الأبعاد، تستطيع المنحنيات أن تذهب فوق وتحت بعضها البعض.
ويعني ذلك أنّه يوجد الكثيروالمزيد من السلوك المثير للإهتمام المحتمل.
يمكن أن يتمايل المسار حول وتحت وخلال نفسه
في بعض الطرق المعقدة جداً.
وما يعنيه ذلك بدوره هو أنّ المعادلات التفاضلية ثلاثية البعد
يمكن أن تكون مشوشة.
يمكنك أن تحصل على مدارات غير دورية، محدودة، ولديها اعتماد حساس أيضاً.
وثمّ رأينا أنّ المسارات المشوشة في الفراغ المرحلي خصوصاً
مثيرة للإهتمام وممتعة.
إنّهم يُسحبون غالباً لهذه الأشياء التي تدعى جاذبات غريبة.
إذاً ها هنا جاذب لورنز أو القيم المشهورة لمعادلة لورنز.
جاذبات غريبة. ما هي الجاذبات الغريبة؟
حسناً، إنّهم جاذبات، وما يعنيه ذلك هو أنّ المدارات القريبة تُسحب
نحوها.
إذاً، إذا كان لديك الكثير من الشروط الإبتدائية، سوف يُسحبون جميعهم
إلى ذلك الجاذب.
إذاً، بذلك المعنى، إنّه مستقر. إن كنت على ذلك الجاذب وأحدٌ ما
أزاحك قليلاً، سوف تُسحب عائداً باتجاهه.
ذلك ما يعنيه أن تكون مستقراً.
إذاً، إنّها بنية مستقرة في فراغ مرحلي.
لكن الحركة على الجاذب ليست دورية بالطريقة التي رأيناها في معظم
الجواذب، أو حتى النقاط الثابتة.
لكن الحركة على الجاذب مشوشة.
إذاً، بمجرد ما أنت على الجاذب، المدارات غير دورية ولديها
اعتماد حساس على الشروط الإبتدائية.
إذاً، إنّه جاذب مشوش.
ثم نظرنا إلى هذا على نحوٍ هندسي أكثر قليلاً ولقد جادلت أنّ المقومّات
الرئيسية لصنع جاذب غريب أو صنع شواش أو أي نوعٍ حقاً،
ممدة وقابلة للطي.
إذاً، تحتاج بعض التمدد لتفصل المدارات القريبة عن بعضها.
التشابه الجزئي الذي ناقشته كان كعجن عجينة.
إذاً عندما تعجن عجينة، تمددها.
ذلك يمزق الأشياء ويفصلها، وثم تطويها على نفسها.
إذاً، الطوي يحافظ على حد المدارات.
يأخذ مدارات متباعدة وينقلهم أقرب لبعضهم البعض.
لكن التمدد يفصل المدارات القريبة، وذلك ما يؤدي إلى
تأثير الفراشة، أو الاعتماد الحساس.
الآن التمدد والطوي، قد يكون من السهل نسبياً أن نتصورهم
في فراع ثلاثي البعد، سواءً فراغ أو عجينة حقيقية على لوح الخبز
أو فراغ مرحلي.
لكنه يظهر في الخرائط أحادية البعد أيضاً، المعادلة اللوجيستية تتمدد
وتنطوي.
ويمكن أن يفسر هذا كيف تستطيع الخرائط أحادية البعد، التوابع التكرارية أن تلتقط
بعض ميزات هذه الأنظمة ذات البعد الأعلى هذه.
وتبدأ بالتفسير، أيضاً كيف يمكن أن تُلتَقَط الأنظمة ذات البعد الأعلى هذه،
لفائف الحمل الحراري، الصنابير المنقّطة، بواسطة دوال أحادية
البعد مثل المعادلة اللوجيستية وهذا الوسيط الشامل، 4.669.
إذاً على أي حال، التمدد والطوي هما المقوّمات الرئيسية للأنظمة
الديناميكية المشوشة.
إذاً الجواذب الغريبة مرة أخرى. إنّهم هؤلاء البنى المعقدة التي
تنشأ من أنظمة ديناميكية بسيطة.
تذكير بأنّنا نظرنا إلى ثلاثة أمثلة: خريطة Hénon، جاذب Hénon،
والذي هو تابع تكراري منفصل ثنائي البعد.
وبعدئذٍ، مجموعتين مختلفتين من المعادلات التفاضلية المقترنة بثلاث أبعاد
معادلات لورنز المشهورة، وأيضاً أقل شهرة قليلاً لكن جميلة على حد
السواء، معادلات Rössler.
مجدداً، الحركة على الجاذب مشوشة، لكن تُسحب كل المدارات
إلى الجاذب.
إذاً، تضم الجواذب الغريبة عناصر من نظام واضطراب.
ذلك أحد المواضيع الرئيسية للدورة.
الحركة على الجاذب غير مستقرة محلياً.
تُفصل المرارات القريبة، لكن بشكلٍ شامل إنّها مستقرة.
أحدٌ ما لديه هذه البنى المستقرة، يظهر نفس جاذب لورنز كل الوقت.
إن كنت على الجاذب، تُدفع عنه، تُسحب عائداً إليه.
حسناً، والموضوع الأخير الذي غطيناه في الوحدة 9 كان تكوين النمط.
إذاً لقد رأينا خلال الدورة في الوحدات الثمانية الأولى أنّ الأنظمة الديناميكية
قادرة على الشواش.
كانت تلك إحدى النتائج الرئيسية.
سلوك غير دوري، لا يمكن التنبؤ به.
لكن يوجد أكثر بكثير للأنظمة الديناميكية من الشواش.
يمكنها أن تنتج أنماط، بنى، تنظيم، تعقيد، وهكذا.
ولقد نظرنا إلى مثال واحد فقط عن نظام تكوين النمط.
هناك الكثير من الأنظمة لنختار منها.
لكن لقد نظرنا إلى أنظمة النشر والتفاعل.
إذاً لدينا هناك مادتين كيميائتين تتفاعلان وتنتشران.
والانتشار هو فقط انتشار جزيئات عشوائي في الفراغ،
يميل الانتششار إلى تسوية الإختلافات، يجعل كل شيء
لطيف وممل قدر الإمكان.
لكن إن كان لدينا مادتين كيميائتين مختلفتين بطريقة معينة،
إنّه من الممكن أن تحصل على بنى مكانية مستقرة حتى في وجود
الانتشار.
ها هنا هذه المعادلات -- لقد وصفتهم في الوحدة الماضية.
هذا حتمي، كالأنظمة الديناميكية تماماً التي درسناها سابقاً.
وإنّه متمدد مكانياً، لأنّ الآن U و V دوال، ليس لـ T فقط، لكن
لـ X و Y.
إذاً لقد أصبحوا هؤلاء معادلات تفاضلية جزئية.
القاعدة محلية بشكلٍ حاسم.
إذاً قيمة U أو قيمة V، هؤلاء تراكيز كيميائية،
تعتمد على دالة ما أو على قيمة حالية عند ذلك الموقع، وعلى هذا
المشتق اللابلاسي عند ذلك الموقع.
إذاً، لدينا قاعدة محلية بحيث التراكيز الكيميائية هنا لا تعرف
مباشرةً وما هو التركيز الكيميائي هنا: إنّها فقط تقوم بشيئها الخاص
عند موقعها المحلي الخاص.
ومع ذلك إنّها تنتج هذه البنى على نطاقٍ واسع.
إذاً، فقط مثال واحد سريع.
لقد جربنا بمعادلات الانتشار والتفاعل في
موقع Experimentarium Digitale.
ها هنا مثال والذي قد رأيناه ينشأ من شروط إبتدائية عشوائية،
تظهر هذه النقاط المستقرة.
وثمّ نظرنا أيضاً إلى فيديو من Stephen Morris في تورنتو حيث يُصَب سائلان
في طبق بتري هذا، وكالسحر، تبدأ هذه الأنماط بالنشوء
منهم.
إذاً Belousov Zhabotinsky لديه مثالٌ آخر عن نظام الانتشار والتفاعل.
إذاً، تكوين النمط هو موضوع ضخم
قد يكون غالباً لوحده دورة عنه.
المقصد الرئيسي الذي اريد أن أوضحه هو أنّه يوجد المزيد للأنظمة الديناميكية
من مجرد شواش أو عدم القدرة على التنبؤ أو الشذوذية.
الأنظمة الديناميكية الممتدة مكانياً البسيطة مع قواعد محلية قادرة على
إنتاج أنماط شاملة مستقرة وبنى.
إذاً لوجد أكثر بكثير لدراسة الشواش من الشواش.
الأنظمة الديناميكية البسيطة تستطيع أن تنتج تعقيد وكل أنواع البنى
المنبثقة والظواهر المثيرة للإهتمام.