Olá atodos. Sejam bem-vindos à unidade 9. O tópico
da unidade 9 é formação de padrões. Até aqui,
os principais resultados estavam focados em caos.
Ele acontece quando um sistema dinâmico determinista
produz órbitas limitadas que são aperiódicas
e tem dependência sensível das condições iniciais
-o efeito borboleta. Porém, há muito mais sobre
sistemas dinâmicos que somente caos e imprevisibilidade.
Além de comportamento desornado ou imprevisível,
sistemas dinâmicos também podem produzir estruturas,
padrões e ordem. Nesse sentido, há muito mais
que apenas caos e imprevisibilidade no mundo -
olhamos a nosso redor e vemos vários tipos de fenômenos
que possuem padrões, tem estrutura, ordem, ou algum tipo
de organização própria. Então, vamos ver que,
da mesma maneira que sistemas dinâmicos podem produzir comportamentos
aparentemente aleatórios, sistemas dinâmicos
também podem produzir padrões. A estrutura dessa unidade
será um pouco diferente das anteriores.
Eu não poderei entrar em muitos detalhes matemáticos, porque a matemática para
o exemplo que eu quero apresentar é consideravelmente
mais complexa e eu não sei como fazê-lo
sem utilizar bastante cálculo e equações diferenciais.
Ainda assim, acredito que conseguirei descrever
o fenômeno geral e as ideias matemáticas básicas em jogo
sem utilizar toda a maquinaria de equações diferenciais.
Nós vamos tentar. O principal fenômeno que iremos estudar
é conhecido como sistemas reação-difusão,
e, de certa maneira, estes são uma classe de sistemas dinâmicos
diferentes do que estudamos até aqui, que são capazes
de produzir uma grande variedade de padrões diferentes.
Estes não são os únicos formadores de padrões,
há vários outros que o fazem e várias
técnicas são usadas para estudá-los. Porém, eu acho
que estudar estes sistemas reação-difusão é um bom exemplo
para ilustrar o que acontece
na formação de padrões e algumas outras coisas
que sistemas dinâmicos podem fazer. Nós vamos começar com
a reação-difusão em um instante, mas antes, um comentário adicional,
você deve estar se perguntando o que aconteceu aqui. Ontem à noite,
eu entrei em uma disputa territorial com
um dos meus gatos, Ancho. ele é muito gentil, mas um pouco desastrado
e acho que ele estava tentando entrar embaixo das cobertas,
subindo em mim e ele escorregou
e se agarrou ao meu rosto enquanto caía. Ou seja, é só um arranhão,
vai se curar logo e me desculpe se ele te distrai
ou parece estranho. Bom, vamos começar
com reação-difusão.
Antes de falar sobre equações reação-difusão,
eu quero falar sobre difusão, somente.
Difusão é a tendência que partículas tem de se dispersarem -
de se tornarem uniformes em distribuição
ou concentração. Vou começar com uma demonstração
de difusão. Este é um recipiente com água pura e cristalina
e este aqui tem corante alimentício roxo.
Eu vou colocar algumas gotas na água
e o que devemos observar que o corante
tende a se espalhar. Ele se difunde e,
eventualmente, chegamos a uma concentração uniforme.
Então, vamos tentar.
Aqui vai uma gota.
Está caindo. Mas, ao mesmo tempo, está se espalhando.
É um padrão incrível, na verdade.
Então, o movimento de queda não é a difusão.
Mas essas faixas, elas deveriam se tornar
mais finas e fracas.
E, se vocês olharem,
elas não estão fazendo isso.
Bom, talvez, esta não seja
a melhor demonstração
de difusão, mas é um padrão muito legal e
esta é uma unidade sobre formação de padrões, então nós vamos
seguir assim mesmo. Eu vou deixar isto aqui, por enquanto,
e talvez ele vai se difundir mais. Talvez ele precise
de mais tempo, vamos ver. Bem, na difusão,
se tivermos uma região onde o roxo o que quer que isto seja,
vamos chamá-lo de "roxo". Onde o roxo está altamente
concentrado, ele tende a se espalhar - a se difundir.
As coisas querem ficar em uma concentração uniforme.
Uma maneira de pensar
sobre por que a difusão é do jeito que é - por que
a difusão ocorre - é que ela é consequência do
movimento aleatório de partículas individuais.
Se imaginarmos que as partículas roxas individuais estão
se movendo no líquido, assim como tudo se move
aleatoriamente em um fluido - gás ou líquido -
a consequência de todos esses movimentos aleatórios é
a tendência a diminuir qualquer desuniformidade. Então,
se imaginarmos uma situação em que temos 100 pessoas
em um quarto e estão todos andando ali aleatoriamente,
seria muito pouco provável que, de repente,
todos estivessem no meio, em um canto ou algo parecido.
Se eles estivessem andando aleatoriamente, esperaríamos
que eles passassem o mesmo tempo em todos os lugares. Da mesma
forma, se tivéssemos várias pessoas em um quarto, andando
aleatoriamente, talvez 100 bêbados em um quarto,
nós os colocaríamos todos muito próximos em um local
e nós os deixaríamos ir. Eles irão
cambalear aleatoriamente e poderíamos
esperar que eles iriam, mais ou menos,
encher o quarto uniformemente. É assim que eu penso
sobre difusão. É uma consequência lógica-
uma consequência inevitável, na verdade-
do movimento aleatório de várias partículas.
Outra forma de pensar nisso, em nível menos microscópico,
é, simplesmente, que substâncias tendem a se mover de regiões
de alta concentração para regiões de baixa concentração
Se a concentração é a mesma, em média,
a substância não irá se mover. Porém,
se houver maior concentração aqui e menor ali,
haverá movimento - difusão- neste sentido.
Então, o principal é que difusão é um processo de transporte,
que tende a equilibrar, a suavizar
qualquer diferença. Eu vou descrever isso
matematicamente daqui a pouco.
Bom, mais uma coisa.
Vejamos, 10 minutos se passaram desde que
eu fiz o primeiro experimento. E aqui
vocês podem vê-lo - prometo que não sacudi isso.
Ainda vemos algumas faixas aqui,
mas como eu havia dito, demorou mais
que eu esperava, o roxo ficou uniforme.
E se eu esperasse mais 10 minutos
ou 20 minutos, ficaria mais uniforme ainda
Então, difusão é um processo - ele acontece sozinho -
que tende a suavizar diferenças de concentração de algo.
E a última coisa que quero dizer
a respeito deste exemplo é que ele mostra que há taxas
diferentes de difusão. Eu não havia usado
esse tipo de colorante antes.
Acabei de comprá-lo há algumas horas. O que quer que seja que
há nele, não se difunde muito rapidamente.
Então, demorou mais do que eu esperava,
mas ainda se difunde. Podemos também pensar que algo
que se difunde muito mais rápido - talvez
menos viscoso - tem moléculas mais leves.
Mas o principal é que a difusão tende
a igualar diferenças entre concentrações
e quantidades, substâncias, coisas diferentes
devem ter taxas de difusão diferentes.