Hola, y bienvenidos a la unidad 9
El tema de la unidad 9 es formación de patrones
Hasta ahora en este curso,
los resultados principales han girado
alrededor del fenómeno del caos,
allí es donde un sistema dinámico determinista,
produce órbitas acotadas, que son a-periódicas
y que tienen noción de dependencia
en las condiciones iniciales,
el efecto mariposa.
Pero, hay mucho más en los sistemas dinámicos
que solo caos y falta de predictibilidad.
Los sistemas dinámicos pueden producir,
no solo comportamiento desordenado,
comportamiento impredecible,
sino también estructuras, patrones y orden.
Y eso importa más en el mundo que solo caos e impredecibilidad,
miramos alrededor, y vemos en los fenómenos
que existen patrones, tienen estructura,
orden, cierto tipo de organización también.
Así que veremos
que así como los sistemas dinámicos simples
pueden producir,
comportamiento aparentemente aleatorio,
los sistemas dinámicos simples pueden producir patrones también.
La estructura de esta unidad
será un poco diferente
de las unidades previas.
No podré entrar tanto
en los detalles de las matemáticas,
porque las matemáticas
del ejemplo que quiero cubrir es
un poco más complicada
y no puedo llegar muy lejos sin utilizar
cálculo y ecuaciones diferenciales.
Sin embargo,
creo que puedo describir
el fenómeno general
y las ideas matemáticas básicas en juego,
sin utilizar toda la maquinaria de ecuaciones diferenciales.
Lo intentaré.
El fenómeno principal
que estudiaremos,
es algo llamado sistemas de reacción-difusión
y estos son una clase de sistemas dinámicos,
algunos de distinto tipo
a los que hemos
estudiado hasta ahora,
que son capaces de producir un amplio rango de patrones diferentes.
Estos son los únicos sistemas que forman patrones.
Hay muchísimos y muchas técnicas, que se usan para estudiarlos
pero creo, que estudiar estos sistemas de ecuación-difusión,
es un buen ejemplo para usar las restricciones
con las que se trabaja
en la formación de patrones
Y algunas de las otras cosas
que los sistemas dinámicos pueden hacer.
Así que para empezar con la reacción,
reacción-difusión, en un momento,
primero, una nota al margen,
quizá se estén preguntando,
que pasó aquí,
la noche pasada
hubo una disputa territorial
entre yo y uno de mis gatos.
Ancho el es muy amable, pero un poco torpe,
y creo que estaba tratando
de guardarse bajo las sábanas,
trepando sobre mi, entonces resbaló y se quedo con un pedazo de mi cara
mientras se caía.
Como sea,
es solo una herida superficial,
sanará rápido,
y disculpen, es un poco distrayente.
Ok, empecemos con la reacción-difusión
Antes de que hablemos
acerca de ecuaciones de reacción difusión,
quiero hablar sobre la difusión a secas.
La difusión es una tendencia de las partículas
a dispersarse,
convirtiéndose en uniformes,
en términos de distribución o concentración.
Permítanme empezar
con una demostración de la difusión,
este es un contenedor,
con agua regular, común y corriente
y aquí tengo algo de colorante púrpura para alimentos
Y voy a poner algunas gotas
del colorante para alimentos, en el agua
Y lo que debemos observar es
que el colorante tiende a dispersarse
Se difunde
y eventualmente alcanza
concentración uniforme
Vamos a intentarlo,
Aquí están las gotas,
están cayendo, pero al mismo tiempo se dispersan
En realidad es un patrón muy interesante
Ok, el movimiento de caída no es difusivo
Pero las hebras
deberían volverse más delgadas y débiles
Y como ven, no están haciendo exactamente eso
Muy bien,
quizá esta no fue la mejor demostración del mundo sobre difusión
pero es un patrón muy interesante
y esta es la unidad sobre formación de patrones
así que continuaremos,
voy a bajar esto un momento
y quizá se difumine un poco
quizá necesita un poco más de tiempo
veremos
pero,
así que, en la difusión
si tenemos una región,
digamos con el púrpura
o lo que sea,
solo lo llamaremos "púrpura"
el púrpura esta muy concentrado
tenderá a dispersarse, o difundirse.
Las cosas tratan de tener concentración uniforme
Una forma de pensar
acerca de porque la difusión es como es
de porque la difusión ocurre
es que es solo una consecuencia
del movimiento aleatorio
de partículas individuales
Imaginen partículas de púrpura individuales
que se mueven alrededor en un líquido
así como todo se mueve aleatoriamente
en un fluido,
ya sea gas o líquido.
La consecuencia de todo este movimiento aleatorio
es que tiende a suavizar
cualesquiera uniformidades
desigualdades, disculpen
Imaginen una situación en la que tenemos
cien personas en una habitación
y todas caminan alrededor aleatoriamente,
encontraríamos
que es muy poco probable
que todos de repente se reúnan
en medio o en una esquina.
Si caminan aleatoriamente, esperaríamos
que pasaran el mismo tiempo en todas partes.
Similarmente,
si empezáramos con un grupo de personas
moviéndose aleatoriamente,
quizá cien personas ebrias en la habitación
Los ponemos a todos muy cercanos en una parte
y los dejamos irse,
ellos solo empezarían a moverse por la habitación
al azar,
y esperaríamos que ellos
mas o menos llenen la habitación
uniformemente
Así que esa es la manera en que pienso en la difusión.
Es solo una consecuencia lógica,
una consecuencia inevitable en realidad
del movimiento aleatorio
de un grupo de partículas.
Otra manera de pensarlo,
en un nivel microscópico
es simplemente
que los químicos
tienden a moverse de regiones
de alta concentración
a bajas concentraciones.
La concentración es la misma,
en promedio,
el químico no se moverá.
Si hay una alta concentración aquí
y una baja concentración allá
habrá un movimiento
difusivo de esta manera
Lo principal
es que la difusión es
un proceso de transporte,
que tiende a emparejar las cosas,
que tiende a suavizar toda clase de diferencias.
Y, que describiré matemáticamente
en un momento.
Un poco acerca de esto,
unos diez minutos han pasado,
desde que hice ese primer experimento
y aquí pueden echar un vistazo,
les prometo que no lo sacudí,
pueden todavía ver que hay
algunas hebras adentro,
pero como afirmaba,
sólo que tomó más de lo que esperaba,
el púrpura tendió a volverse uniforme,
y si esperara
otros diez minutos,
o veinte minutos,
quedaría aún más uniforme.
Así que la difusión es un proceso,
ocurre por sí mismo,
y tiende a suavizar diferencias de concentración de algo.
La última cosa que quiero decir sobre este ejemplo
es que ilustra que las cosas se difunden
a diferentes velocidades.
No había hecho este experimento
con este tipo de colorante antes,
lo conseguí en una tienda hace un par de horas,
y lo que sea que contenga este colorante
no se difunde muy rápido,
así que tomo un poco más
de lo que esperaba,
pero aún así es difusivo.
También podemos imaginar algo
que se difunde más rápido,
quizá algo un poco menos viscoso,
pero el punto principal es que la difusión
tiende a emparejar
diferencias en concentración
y diferentes cantidades,
diferentes químicos,
diferentes cosas,
podrían difundirse a diferentes velocidades.