El estiramiento y el enrollado es el ingrediente geométrico central para
producir caos.
Podemos ver esto en sistemas de 3 dimensiones que generan
atractores extraños
y el ejemplo principal es el atractor de Rossel
Pero los mapas de 1 dimensión, también se estiran y se enrollan
Déjenme mostrarles esto con algunas imágenes
Sabemos que los mapas de 1 dimensión la ecuación logística
pueden producir caos igual que los sistemas de ecuaciones diferenciales de 3
dimensiones y la razón es porque pueden estirarse y enrollarse
Dibujemos algunos ejes
Esta sería la ecuación logística; sólo para recordar
Es un mapa iterado, de vuelta a una dimensión, sólo una variable, X
y obtenemos el siguiente valor de la variable, simplemente aplicando la
función al valor actual de la variable
No hay ecuaciones diferenciales, no hay derivadas, no hay cálculo
simplemente el valor siguiente, es una función del valor actual y se repite
Una función iterada como la que usamos cuando comenzamos el curso.
Aquí está el esquema
de una de estas funciones iteradas
algo con el máximo simple, podría ser ecuación logística, la ecuación cúbica
quien sabe...
Esta función tiene ambos efectos, el estiramiento y el enrollado
esta es una manera de ver esto
digamos que tenemos
dos condiciones iniciales
la primera es azul y para darnos cuenta del próximo valor
esto es Xn, esto es Xn + 1
cuál es el siguiente valor para este punto azul?
Este es el valor siguiente, el punto azul va a aquí y aquí
Intentemos con una nueva condición inicial
Ahora algo en rojo
cuál es el valor próximo del punto rojo? bueno le preguntamos a la función
voy aquí, y aquí está
La clave a notar es que
los puntos azul y rojo están lejos y apartados uno de otro ahora
luego de iterar esta función, o luego de aplicar esta función sólo una vez
el punto rojo y el azul están más separados de lo que estaban antes
esto es el estiramiento
cuando uno realiza un acto de estiramiento las cosas se separan
podemos verlo aquí, esta es una bandita elástica
era un bucle cerrado y la convertí de una bandita elástica en un dispositivo
de demostración del caos
órdenes diferentes
si yo estiro la bandita elástica
el rojo y el azul se separan
Esta región de aquí está estirada
pero hay también un enrollado
y déjenme ilustrarlo
con otro color
púrpura
digamos que tenemos una condición inicial púrpura aquí
cuál es el valor próximo?, puedo leer el gráfico, voy para arriba
ok, el próximo valor está aquí
Lo que tenemos que notar es que
púrpura y rojo, empiezan muy separados
pero terminan muy cerca y esto se debe
a que esta función, que tiene esta forma, se enrolla en sí misma
Dos condiciones iniciales
que están en esta región y en esta región la pendiente es positiva, más grande que 1
separará, estirará y luego habrá una contracción aquí y las cosas siguen
así hasta el infinito.
Déjenme mostrarles esto de algunas otras formas
Veamos si esto ayuda
Déjenme dibujar los ejes
Estoy pensando en la acción que ejecuta esta función, pero en el dibujo lo voy a
hacer paso a paso
Digamos que inicialmente, estoy pensando no en términos de puntos sino en toda una
serie de puntos, esto podría ser
una masa de pizza o una bandita elástica
o algo así, qué es lo que pasa con todos estos puntos en los ejes de la función?
Voy a imaginar que sigo los pasos
paso a paso
La longitud de esta curva es más larga que la longitud de esta región donde se
dan las condiciones iniciales
Ahora necesito estirar esto
Voy a imaginar
estirando esto de esta forma
Tomo esto y los subo
y lo estiro
y luego voy a enrollar
y ahora
hagamos un poco de espacio por aquí
Voy a realizar la iteración
Piensen en todos estos valores finales los valores finales están aquí en este eje
pueden imaginar
que toman esta función
y la comprimen, así todos estos valores quedan aquí, en el eje de las Y
Se tiene que ver de esta forma, está doblado
en este punto particular, se puede comenzar aquí o aquí
Esto indica que
para este valor de Y, X n+1
hay dos condiciones iniciales posibles que nos llevan a esto
Ahora vamos a iterar esto
es el último paso
iteremos esto
repitiendo el proceso
tomaremos el valor de salida, este y lo colocamos de vuelta en el eje X
como valor de entrada
Y ahora estamos listos para empezar de nuevo
Aplicamos la función acá
esto que está estirado, vuelve a estirarse
voy a hacer un esquema
Es tomar esto y transformarlo en una parábola
lo que quiero mostrarles aquí, es que a medida que iteramos este proceso
aún en una sola dimensión, o estirando y enrollando, estirando y enrollando
Un intento más de ilustrar esto
Veamos como va
Aquí está mi bandita elástica de nuevo
Veamos
Voy a imaginar de nuevo que mi función es una de estas parábolas
Aquí hay una forma de pensar en esta función
una forma rápida
Aquí están mis condiciones iniciales
dispersas
Podemos pensar en que es un pedazo de masa de pizza
o una parte singular de la masa
que representan las condiciones iniciales
para ver esta función
estiro hasta aquí
no es perfecto, se supone que no debería ser un triángulo, sino una parábola
pero finjamos que lo es
tengo que mover todo
hasta aquí
hasta el eje de las Y
ahhhh
Todo está en el eje de las Y y ahora voy a repetir el proceso
tomo la bandita elástica y ahora está aquí abajo
notemos que el azul (es difícil de ver), puntos azules y rojos se separan
y luego voy a repetir este proceso, de hecho la bandita elástica se estira más
y más cada vez, pero el vínculo total de la bandita elástica se mantiene debido a
que la vuelvo a doblar en sí misma
El punto principal es, espero que esto sea ejemplificador, es que las funciones de 1
sola dimensión, como la ecuación logística
se estira y se enrolla en el mismo modo
de modo similar a las de 3 dimensiones
El estiramiento el enrollado es la clave
el ingrediente nuclear, el ingrediente central para el caos.
Recordemos que en la unidad 6 examinamos el fenómeno de la universalidad
Vimos el caos de período doble y medimos su tasa de 4.669
cuanto más grande es una región del período en relación a la próxima
Luego observamos el mismo número en muchas diferentes funciones
y argumenté que ese número será el mismo para todas las funciones de 1 dimensión
con un cuadrático máximo simple
Luego discutimos sobre fenómenos físicos reales, que muestran el período doble
del caos, el goteo de una canilla, las reglas de convección en un pequeño balde
de fluído. Y otra vez observamos como aparece este número 4.669
Esto es un gran misterio, es una gran pregunta, cómo es que una función
de 1 sola dimensión, que claramente no es realista, captura algunos números
que se pueden medir en un sistema físico real, en un sistema dinámico
de muchas dimensiones.
La respuesta es que el elemento central que une estos mapas de 1 dimensión
y los fenómenos de más dimensiones
es la idea de estiramiento y enrollado
Cuando algo se torna caótico, tiene que estar estirándose y enrollándose
de la misma forma.
De alguna manera estos mapas de 1 sola dimensión, son aproximaciones muy buenas
en muchos casos, de los procesos de estiramiento y enrollado que los sistemas
de muchas dimensiones llevan a cabo.
Debo mencionar que hay muchas técnicas para extraer las dinámicas que describen
los mapas de 1 o muchas dimensiones, desde los sistemas dinámicos de 3 o más
dimensiones en el espacio de fase o las ecuaciones diferenciales
A veces se la llama sección de Poincaré o el mapa del primer retorno
Esto va un poco más allá del alcance de este curso
pero la mayoría de las técnicas sobre sistemas dinámicos cubren estos temas
Por último debo mencionar, que estos sistemas dinámicos de muchas dimensiones
Rossler, Lorenz, y el mapa de Hennon, pueden dibujarse diagramas
de bifurcación para ellos o computar estos diagramas de bifurcación
uno no puede ver la duplicación del período y uno puede medir estos números
para 4.669, la ecuación de Rossler lleva adelante la ruta hacia el caos de la
duplicación del período también
Resumiendo, el estiramiento y el enrollado tal cual como lo hicimos con la pizza
es un ingrediente geométrico central para que aparezca el caos
Se necesita el estiramiento para producir sensibilidad a las condiciones iniciales
y el enrollado mantiene las órbitas vinculadas