¡Hola a todos! Estoy en mi cocina, esta mañana
Haciendo una pizza para cenar hoy a la noche
Pero resulta que también estoy haciendo un poco de caos
El proceso de hacer una pizza es el mismo, en términos geométricos, que es
responsable de la mayoría de la conducta caótica que observamos
Cuando alguien necesita una pizza
todo lo que hacemos es estirar la masa y luego enrollarla y se repite
ese proceso
Esa es la estructura de construcción de la masa y esto mezcla las cosas también
El proceso de estirar, cuando estiro estoy tomando dos puntos que están
aquí y los muevo lejos uno de otro y eso tiene que ver con la sensibilidad a las
condiciones iniciales. Si pensamos en esta masa como un espacio de fase, en vez de
una masa, el estiramiento del espacio significa que puntos cercanos en las
condiciones iniciales son separados
Pero también sabemos, que para que algo sea caótico
las órbitas tienen que estar vinculadas
y este acto de enrollar de nuevo en sí mismo, es lo que nos asegura que
las órbitas están vinculadas.
Entonces dentro de cualquier proceso caótico
podemos encontrar este proceso de estiramiento y enrollado
Para ver como el proceso de estiramiento y enrollado se aplica a los
sistemas dinámicos, vamos a presentar un conjunto más de
ecuaciones diferenciales, la ecuación de Rossler
Poseen atractores extraños, conocidos como el atractor de Rossler
que creo es un buen ejemplo de los atractores extraños, porque allí
se escoge, de forma clara, como el estiramiento y el enrollado se
manifiesta a sí mismo en el espacio de fase como caos
Veamos pues
Aquí tenemos la ecuación de Rossler como la ecuación de Lorenz
son tres ecuaciones diferenciales ordinarias que están emparejadas
Hay tres variables, X, Y y Z
y hay tres parámetros, a. b y c
Tenemos que elegir los valores de los parámetros
Yo elijo estos tres
Y una vez que elegimos esos valores para los parámetros
tenemos un sistema dinámico
que determinan como estas 3 variables X, Y y Z, se relacionan con el tiempo
y como es usual en las ecuaciones diferenciales, las reglas son indirectas
y describen la velocidad; la regla describe la velocidad, la tasa de cambio
no nos da los valores en forma directa
pero con algo como los métodos de Euler
o Runga Katta
podemos convertir estas reglas indirectas
en trayectorias para X, Y y Z. Necesitamos valores iniciales y luego la regla nos
dice qué es lo que va a pasar de aquí en adelante, es un sistema dinámico
determinista
Si pongo estas ecuaciones en un programa el mismo programa de la ecuación de Lorenz
sólo cambie lo que estas funciones hacen
obtenemos tres soluciones, para X. Y y Z
Déjenme mostarles esto
Para estos valores de parámetros,
La ecuación de Rossler es caótica
aperiódica, tiene sensitividad a las condiciones iniciales
Hay alguna clase de periodicidad o de período regular en los zigzags
pero los zigzags no son regulares en sí mismos
Parece que en esta región se estabiliza en algo, pero luego están estos graciosos
períodos
En particular me gusta lo que ocurre con Z, como se ve esa trayectoria
Voy a correr esto un segundo
Estos picos parecen juntos, pero luego no
quiero subrayar, que esta conducta irregular, parece aleatorio
estas raras formas, vienen de estos sistemas dinámicos deterministas.
Tenemos soluciones para X, Y y Z
y ahora vamos a ver cómo se ven en el espacio de fase
Graficamos X, Y y Z en el mismo eje perdemos la información del tiempo
pero podemos ver como X, Y y Z están relacionadas
Y de forma que no nos sorprende obtenemos un atractor extraño
Esta es la gráfica inicial de esto esto es la graficación de la información
que les mostré previamente
sobre las coordenadas X, Y y Z
Está zigzagueando,
haciendo ciclos,
de forma aperiódica en las tres direcciones
Vemos zigzag en X
zigzag en Y y zigzag en Z, arriba y abajo
a veces algunos de estos Z zigzags
son muy muy pequeños
A veces se mueve alrededor del círculo y no va para arriba en lo absoluto
y a veces tenemos un gran pico, este pico de aquí se corresponde con este de aquí
llega hasta 14, luego tenemos un par de protuberancias medianas aquí
Como antes, les voy a mostrar esto, pero como antes, esto es un atractor
todo tipo de condiciones iniciales diferentes que arrastran hacia adentro
y una vez que las órbitas están ahí, se mueven en forma aperiódica y tienen
sensibilidad a las condiciones iniciales
Otra vez, les recuerdo que las curvas en el espacio de fase o en el plano de fase
nunca se intersectan
Nunca se cruzan, pueden estar una arriba de la otra, así, pero nunca se cruzan
siempre hay un espacio entre ellas
Esa es una propiedad del determinismo
Si alguna vez se tocan exactamente
entonces hay una única dirección asociada con cada punto en el espacio y sólo
pueden seguir un único camino
Este es el atractor extraño
es difícil de ver, desde aquí, déjenme mostrarle otros gráficos
vamos a pensar geométricamente en lo que está sucediendo aquí
Aquí hay un dibujo
y podemos ver
aquí está éste,
una mejor resolución con muchas, muchas más trayectorias, graficadas en forma fina
lo que quiero que vean es lo siguiente
tenemos esta banda de órbitas, que se mueven alrededor aquí
y luego en esta parte, las órbitas son estiradas hacia arriba, es como el
estiramiento de la masa, estirar la masa para hacer la pizza, estirando afuera
luego esto es muy amplio y se enrolla sobre sí misma
y aquí, esta banda de aquí, imaginen que es una bola de masa, se estira
y luego se vuelve a enrollar en sí misma
por eso es que vemos dos bandas
y luego se estira otra vez, se vuelve a enrollar en sí misma
y así sucesivamente
Lo que quiero decir es que el movimiento de este atractor extraño, incluye el
estiramiento y el enrollado, el estiramiento es el responsable de la
sensibilidad a las condiciones iniciales y el enrollado mantiene las órbitas
juntas. Déjenme mostrarles dos imágenes más de esto
Este es un dibujo de línea
del artículo, de Chris Letellier y Rossler mismo
es sólo un esquema que muestra
qué sucede con esto, el movimiento aquí otra vez es en esta dirección
y así el movimiento va en esta dirección
hay un estiramiento y luego se tuerce
y ese movimiento se repite una y otra vez
si vos estás aquí, en la banda normal
la trayectoria no puede dar la vuelta
pero si estás aquí la trayectoria sí da la vuelta
Otra forma de ilustrarlo es viendo el estiramiento y el enrollado que ocurre
Aquí está el estiramiento
Se hace más ancho y aquí el enrollado
Aquí hay una última ilustración de esto
Este es un pequeño modelo de 3 dimensiones
del atractor de Rossler
disculpen que es amarillo, pero es lo que había en la fotocopiadora
no fue mi primera elección, pero...
Déjenme acomodarlo, así quedan orientados
Hay movimiento en este sentido, se estira y luego se enrolla
Si uno se encuentra en esta región
uno no es enrollado, si uno está en esta región, en este otro lado
en esta región, uno es enrollado, si uno camina en este sentido, uno vuelve
hacia adentro, antes de ser reinyectado aquí
pero si uno está aquí, uno no vuelve hacia adentro
Esta forma muy simple es
es una forma de ver el estiramiento y el enrollado
a través de este movimiento en el espacio de 3 dimensiones
Esto nos muestra que los atractores extraños involucran el estiramiento
y el enrollado. El estiramiento y el enrollado en la ecuación de Lorenz
pero hay otras cosas también y son más complicadas
Yo creo que de esta forma es más fácil de ver; me gusta por que de alguna
forma es la manera más simple de ver un atractor extraño
No es una manera formal, sino una manera cualitativa, subjetiva
Y creo que es una motivación para entender el atractor de Rossler, es la forma más
simple. Nos muestra las extrañas características del atractor
las órbitas caóticas y estables
y es lo menos complicado que puede ser
Otra vez, los atractores extraños involucran el estiramiento y el enrollado
el estiramiento nos da la sensibilidad a las condiciones iniciales, el efecto
mariposa y el enrollado es lo que mantiene a las órbitas vinculadas