Hier is dan de webpagina waar je het volgende programma kunt vinden
die ik graag wil laten zien en gebruiken om de Henon attractor te laten zien.
Deze pagina staat niet op de Complexity Explorer website,
het is op de CNRS site in Frankrijk
en het daarmee in het Frans,
maar ik denk niet dat je Frans moet spreken om
te begrijpen wat er op die pagina staat.
Hierboven staat wat geschiedenis rond de Henon map en aantrekker.
Je kunt Google Translate gebruiken om dat in het Engels om te zetten, of
in elke andere taal die jij wilt.
Maar, wanneer je naar beneden scrolt,
kom je bij het JAVA schrift programma hier; hier wil ik mij op richten.
Dus, net als eerder bij het programma op Complexity Explorer,
kun je hier kiezen een waarde voor 'a' en 'b' kiezen, en dan
zal het de aantrekker voor je gaan plotten.
Het programma valt altijd terug naar standaard waarden bij wijze van 'default':
1,4 and 0,3, die waarden bestudeerde Michel Henon oorspronkelijk.
En opnieuw zien we die vorm die past bij een aantrekker.
Deze gebogen, bochtige vorm.
Wanneer je hier dus op klikt, kun je hierop inzoomen.
Bij elke klik, zoom je in met een factor 4.
Laten we eens kijken wat hier aan de hand is,
deze regio die er 'vast' uitziet.
We zoomden zojuist en het is goed om hierbij op te merken,
dat er individuele punten geplot worden, en wel
in de orde waarin ze opkomen tijdens de iteratie.
Je kunt dus zien - en dat zei ik al eerder -
en het is ook wel logisch, wanneer je naar de tijdseries plot kijkt
dat deze complexe geometrische vorm, die 'glad' is,
gemaakt is uit punten die op en neer springen.
Dus het niet zo dat de baan deze kant uit glijdt,
zoals we dat zagen bij de Lotka- Volterra vergelijking,
lijnen en phase- base.
Hier in dit x-y fasevlak zijn er punten die op en neer springen.
Ik zoom nogmaals nu nogmaals in en dan zie je individuele punten op
op het scherm verschijnen.
Ik zoom nu nogmaals in.
En omdat we nu naar zo'n klein stukje van een dergelijk grote vorm kijken
kunnen we dit fenomeen van punten die één voor één ingevuld worden.
Klaarblijkelijk, glijdt de baan niet langs deze lijnen naar beneden.
Dus dat is één conclusie:
De functies maken deze vorm door de punten op en neer te laten springen.
Er is nog iets anders opmerkzaam, maar dat had je waarschijnlijk al gezien.
Dit is een fractaal:
Wanneer je inzoomt op een enkele lijn, verandert deze in 2 lijnen.
Ofwel 4 lijnen, of wellicht zelfs 8 lijnen.
Dus deze structuur vouwt als het ware over zichzelf heen:
Nogmaals, nogmaals, nogmaals en nogmaals....
net als pastadeeg of iets dergelijks.
Dus elke keer wanneer je denkt een enkel stukje van die deeg, of
van die aantrekker te hebben, zie je wanneer je inzoomt dat
je toch niet één stukje, maar eigenlijk twee stukjes te pakken hebt.
En die twee stukjes bestaan dan ieder weer uit twee stukjes, et cetera.
Dus wanneer we meer en meer inzoomen, blijven we deze structuur zien,
waar enkele lijnen veranderen in twee lijnen.
Ik heb inmiddels al vele malen ingezoomd.
Ik weet niet eens meer hoe vaak.
Maar we zien nog altijd dat er iets van een structuur is.
Bij meer en meer inzoomen, blijven we dus deze structuur houden.
Laat ik nu uitzoomen, dat kan door hierop te klikken.
En opnieuw is daar weer de complete aantrekker.
We waren sterk ingezoomd op het stuk ongeveer hier.
Laat ik nu voor eens voor de lol inzoomen op dit stukje hier.
Je kunt zien dat de vorm keer op keer in zichzelf gedraaid is.
Ik zie nu meer en meer van die draaiingen.
Dit zien dus eigenlijk twee lijnen hier en geen enkele lijn.
Dit is ook dubbel in plaats van enkel.
Er zit dus een ongelooflijke fijnmazige structuur verweven
in deze vorm.
De beweging is hierbij chaotisch, maar het is een aantrekker, want de
banen worden er naartoe getrokken.
Je kunt dus op verschillende punten inzoomen en deze nader verkennen.
En er een beetje meespelen.
Het laatste wat ik jullie met dit programma wil laten zien,
is het bekijken van verschillende parameter waarden.
Laat ik hier naar terug gaan.
Je kunt de parameter waarden wijzigen met deze slider bar, of
door de waarden in te typen.
Ik typ hier maar een 0,8 in en druk op ENTER.
Dit was de waarde waarmee we deze subunit mee zijn gestart.
Dit was een voorbeeld van een periodiek, periodiek twee.
Hier is een punt en daar is een punt.
Dus dit moet iets van 1,2 en dit is van -1,0 zijn geweest.
Er zijn namelijk meerdere schalen op de x- as en de y- as.
Opnieuw zien we hier dus dit periodiek twee gedrag.
Trek de slider aan en typ een waarde van 0,1 in.
En nu kan ik elke keer een stapje van 0,1 per keer zetten.
Hier zien we een enkel vast punt.
Nu verhoog ik 'a' met 0,1, door de rechter pijl op mijn keyboard in te drukken.
Dan zie je dat het vaste punt beweegt, maar er nog altijd een enkel vast punt is.
Vergelijkbaar met wat we zagen bij de logistische vergelijking,
met een vast punt, maar dat vaste punt beweegt dan rond.
Ik verhoog 'a'. Nu hebben we een periodiek 2.
Dus daar is periodiek 1 en daar is periodiek 2.
En bij de overgang daartussen, zien we iets van een veeg.
Net als we eerder zagen bij het bifurcatie diagram voor
de logistische vergelijking.
Ik verhoog het nog meer, soms loopt het dan van het scherm af,
maar het komt wel weer terug.
Ze zijn nu beide waar terug, periodiek 2.
Dit is 'a' van 0,8, die we al eens eerder hebben bekeken.
Wanneer ik het nog meer ga verhogen, zal
deze veranderen in een periodiek 4,
hier is hij al; 1,2, 3 en 4.
Die gaan op hun beurt weer opsplitsen, opnieuw periodiek dubbeling.
Je kunt de 'a'- waarde waarbij dit gebeurd, berekenen
geheel in overeenstemming met de waarde van Feigenbaum.
Daar is periodiek 8 al.
We kunnen nu niet echt meer periodiek 16 ontcijferen, want
het splitst zich nu op in een soort van chaotische regio,
iets van chaotisch gedrag.
En overal vreemde aantrekkers hier.
Nogmaals verhogen.
En nu zitten we opeens weer in een periodiek,
dit ziet eruit als een periodiek 5, althans dat denk ik,
maar wellicht is het wel periodiek 6 of dat is een vies veeg op mijn monitor.
Ik weet het niet, maar het ziet eruit als periodiek 5, toch?!
1,2,3,4,5,6,7; dit is dus een periodiek 7.
Dus 'a' = 1,25 geeft een periodiek van 7.
Een periodiek 7 momentje en die verdubbeld weer,
dan weer terug naar chaos en we kunnen dan ons weg omhoog
vervolgen naar een waarde van 1,40.
Voor een systeem als deze kunnen we een bifurcatiediagram opstellen.
We kunnen hierbij of een ? plot maken, maar die is moeilijk te visualiseren.
Of we kunnen ons beperken door alleen, of
de definitieve x- dan wel de y- uitkomst te plotten.
Hoe dan ook, dit programma is volgens mij makkelijk te hanteren.
Het is makkelijk om met verschillende parameter waarden te experimenteren.
Het inzoomen is eenvoudig.
Dus dit kan een leuke tool zijn om de Henon map verder te verkennen.
We hebben nu ons eerste voorbeeld van een vreemde aantrekker gezien.
De aantrekker voor de Henon map voor de standaard waarden
van 1,4 en 0,3 en ook voor vele andere waarden.
Allemaal kennen ze die zijdelingse, U- bochtige structuur, die
over zichzelf heen gevouwen is, tientallen keren.
Laat ik benadrukken wat een vreemde aantrekker is.
Als eerste, een vreemde aantrekker is echt een aantrekker.
Dat betekent dat alle banen naar die aantrekker worden getrokken.
We zien die algemene structuur
telkens weer terugkomen, ongeacht de beginwaarden.
Weet ook, dat aantrekkende gedrag is stabiel, dat is te verwachten.
Het vreemde aan dit alles is, dat het gedrag op de aantrekker
niet periodiek, maar chaotisch is.
Het heeft dus afhankelijke gevoeligheid voor initiële waarden,
het is aperiodisch, maar het blijft op het aantrekker, op de U- vorm,
maar het springt op en neer, maar de beweging is aperiodisch,
het heeft afhankelijke gevoeligheid voor initiële waarden.
Het is chaotisch omdat het een deterministisch systeem is
en de banen zijn duidelijk begrensd.
Dus dit is een vorm van stabiel, chaotisch gedrag.
Dus een vreemde aantrekker verschijnt, wanneer
je het tegenovergestelde zou verwachten.
Het is een voorspelbare vorm, ongeacht de beginwaarden,
we zullen altijd die vorm gaan zien.
Maar, de beweging op die aantrekker is onvoorspelbaar,
zeer onvoorspelbaar, net als bij het vlindereffect.
Het is een onstabiel als gevolg van dit vlindereffect.
Dus nogmaals, twee verschillende beginwaarden
worden snel uit elkaar getrokken.
Het vlindereffect impliceert een zekere vorm van instabiliteit.
Aan de andere kant, is het weer stabiel, want,
ook al worden ze uit elkaar getrokken, ze blijven wel op de aantrekker.
Wanneer ze door een externe invloed
van de aantrekker worden getrokken,
worden ze weer snel naar de aantrekker getrokken, waarna
ze weer op een chaotische en onvoorspelbare manier
op de aantrekker op- en neer zullen gaan springen.
Vreemde aantrekkers combineren dus orde en wanorde,
voorspelbaarheid en onvoorspelbaarheid.
Ik wil met het voorbeeld van daarnet nog iets anders benadrukken.
De Henon aantrekker is een erg complexe vorm.
Het is een zijdelingse, U- vorm die keer op keer over zichzelf heen vouwt.
Deze complexe en ingewikkelde vorm wordt door een erg
eenvoudige iteratieve functie.
Nogmaals, het is een gewoon een parabool en
een lineaire vergelijking die deze ingewikkelde vorm maakt.
We zien nogmaals dat iteratie van een simpel systeem,
input van een ongekende complexiteit kan genereren.
In de volgende subunit gaan we zien dat niet alleen iteratie van coördinaten,
leidt tot vreemde aantrekkers, maar
dat differentiaalvergelijkingen ook vreemde aantrekkers hebben.
En de Lorenz functie zullen we hierbij als voorbeeld gebruiken.