Hagamos un resumen de lo que vimos en la unidad 7
Voy a presentar los sistemas dinámicos de 2 y 3 dimensiones
Ecuaciones diferenciales de 2 y 3 dimensiones
y funciones iterativas de 2 dimensiones
el tema principal y nuevo para esta unidad
es la idea de espacio de fase. Un plano de fase o un espacio de fase
o en el caso descripto del sistema dinámico, mapa de Henon
los gráficos de X e Y
Comenzamos presentando la ecuación de Lokta Volterra
y este fue el principal ejemplo de ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones
Tenemos 2 ecuaciones
veamos
R de conejos (rabbits), creo que lo notan
tenemos 2 ecuaciones diferenciales
que operan con dos variables, R y F conejos, que dependen de los
conejos y los zorros y los zorros dependen de los conejos y los zorros
decimos que están emparejados, el destino de los conejos y de los
zorros están interrelacionados
Esto se conoce como la ecuación de Lokta Volterra
en ecología o tal vez en economía es un modelo básico
es el modelo más simple de la inteacción entre una presa y un predador
Podemos resolver estas ecuaciones diferenciales usando el método de Euler
y obtenemos como soluciones, dos curvas
Estos son los conejos en función del tiempo y aquí están los zorros
en función del tiempo y sabemos que están aisladas
Tenemos estas dos soluciones en forma de curvas, pero tratando de ver qué es
lo que está ocurriendo y como R y F, conejos y zorros están relacionados
podemos graficarlos unos contra otros y deshacernos del tiempo
La versión en 2 dimensiones de la línea de fase con la que trabajamos
antes. Haciendo esto nos da una imagen como esta
Las graficamos una contra otra
y nos muestra como están relacionadas
y en este caso se mueve de este modo en el diagrama, la población de conejos
se incrementa, luego la población de zorros se incrementa o la población
de conejos decrece y los zorros también decrecen
y entonces los conejos vuelven a crecer Vemos como estos dos ciclos están
relacionados.
Este es el plano de fase
A veces es útil mostrar soluciones diversas y diferentes en el mismo
plano de fase. El equilibrio múltiple, puede mostrarlas a ambas
y a veces esto se llama el portarretrato de la fase, nos da una mirada general
de las características cualitativas de las ecuaciones diferenciales
y por cualitativo, entendemos
la convergencia de las órbitas.
Este es el portarretrato de la fase
para el sistema de Lokta Volterra
y vimos como para diferentes valores iniciales de conejos y zorros
obtenemos ciclos diferentes, en ningún caso no obtenemos ciclos
Estos ciclos son neutrales, que significa
que ni se atraen ni se repelen.
Si uno está en el ciclo y se mueve fuera
uno llega a otro ciclo, no se lo expulsa
hacia afuera o se lo empuja hacia dentro
Otro ejemplo, que conservo, el oscilador de van der Paul, otro sistema de
ecuaciones diferenciales de dos dimensiones y este es interesante debido
a que posee un ciclo límite
El ciclo límite en sí mismo, es esta forma que se repite aquí y que nos permite ver
que hay órbitas múltiples que se dibujan, es un atractor
Aquí hay una órbita afuera
luego se mete en el ciclo
Aquí hay una de adentro, que es llevada hacia el ciclo
En las ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones podemos tener
soluciones aisladas, y podemos obtener ciclos que son atractores
conocidos como ciclos límite.
Hablamos algo sobre las consecuencias del determinismo en el plano de fase
los sistemas dinámicos son deterministas
es simplemente una regla que indica como X o Y cambian a lo largo del tiempo
otra manera de decirlo es que las condiciones iniciales en las ecuaciones
diferenciales especifican un sendero único en el plano de fase. Si les cuento cual es
el punto de partida de la regla, hay una y sólo una solución para esa ecuación
Como un efecto de lo dicho, las curvas en el plano de fase no pueden cruzarse
si llegan a cruzarse, entonces violan la cláusula determinista.
Quiere decir que a partir de ese punto hay dos curvas posibles
y eso viola la noción del determinismo
Las soluciones de las curvas en el plano de fase, no pueden cruzarse
y esto trae consecuencias importantes
El hecho de que las curvas no puedan cruzarse, limita la conducta posible
en el largo pazo de las ecuaciones diferenciales de 2D
El tipo de conducta que puede tener, bueno pueden tener puntos fijos estables o
inestables, se espiralizan alrededor del punto
puntos fijos estables o inestables
las órbitas pueden tender al infinito, pueden haber ciclos límites
como en el oscilador de van der Paul
que es un tipo de conducta cíclica y periódica
Esto es casi todo; hay un resultado importante, el teorema de Bendixon
y Poincaré, que dice, simplificando un poco, que las órbitas aperiódicas
vinculadas no son posibles en ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones
y debido a esto, se asume que las ecuaciones diferenciales son "locas"
y discontinuas o algo así
La principal consecuencia de esto es que no podemos ver una conducta caótica
en ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones de este tipo
No podemos ver óribtas vinculadas aperiódicas
Menciono, dicho sea de paso, para estas ecuaciones diferenciales
presentamos soluciones basadas en el método de Euler
pero hay algunas técnicas analíticas
muy lindas para estas ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones
pero están más allá del alcance de este curso, ya que se necesita
saber un poco de cálculo y un poquito de álgebra lineal
Podemos caracterizar a los puntos de equilibrio de acuerdo a si la curva
la función F(x) cruza el eje de este modo o de este otro modo
Básicamente lo que esto significa es que
depende de la pendiente. Es una pendiente positiva o una negativa
Es análogo en 2D pero deben ser resueltas con dos matrices en vez de con una
pendiente simple. Todo esto está en la mayoría de los libros de texto, que tienen
un abordaje moderno de los sistemas dinámicos; hay muchos libros de texto
hoy día. Si quieren saber más no va a ser difícil encontrar referencias adicionales.
Estas fueron las ecuaciones diferenciales de dos dimensiones.
Veremos ahora funciones iteradas de 2 dimensiones
Es como la ecuación logística, una función iterada
el tiempo se mueve de a saltos, la población se mueve de a saltos
pero ahora vamos a tomar en cuenta dos cosas: X e Y
Este es el próximo valor de X
es esta función del valor actual de Y y X
y el próximo valor de Y en este caso es una función únicamente de X
Este es el mapa de Henón
es un caso de estudio muy conocido
La historia para funciones iterativas de 2 dimensiones es muy similar
a las de 1 D
Pueden haber puntos fijos, puede haber una conducta cíclica y pueden haber
una conducta aperiódica, puede haber caos
Lo nuevo es que podemos graficar
estos puntos de X e Y en una grilla de 2 D, como la que tengo aquí
esta es otra forma de mirar los patrones de las órbitas que estamos creando
Y gastaremos un montón de tiempo en esto en la próxima unidad.
Veamos, sólo un poco más sobre las funciones iterativas de 2 dimensiones
Matemáticamente son muy similares a las funciones iterativas de 1 dimensión
las órbitas pueden ser periódicas y podemos tener también una
conducta caótica. Recordemos que la conducta caótica está limitada,
tiene órbitas aperiódicas y tiene sensibilidad a las condiciones iniciales
Por último veremos las ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones
El ejemplo que voy a usar es la ecuación de Lorenz
Aquí tenemos 3 ecuaciones diferenciales las variables son X, Y y Z
Este es un modelo simplificado de la convección atomsférica
Los orígenes físicos de este modelo no son importantes para lo que vamos a hacer acá
hay 3 parámetros, son letras griegas sigma, ro y beta
Esta es la regla para ver como tres cosas varían a lo largo del tiempo, en vez de 2
Si usamos el método de Euler para obtener una solución para esto
obtenemos tres curvas con las soluciones
X contra el tiempo, Y contra el tiempo y Z contra el tiempo
Podemos graficarlas, en este caso podemos ver un zigzag periódico
en todas ellas
Puede ser interesante y divertido
graficar X, Y y Z, una contra otra
Esto es como un plano de fase, pero como ahora hay una Z, es un espacio de fase
Es de 3 dimensiones
Déjenme mostrarles algo más interesante
Así es como se ven estas soluciones periódicas en el espacio de fase
sube y baja en el eje de las Z y de lado a lado en las X y de lado a lado en las Y
y conforma esta curva con forma de rulo
Parece que estas líneas se cruzan, pero no lo hacen en la realidad, porque es
un espacio de 3 dimensiones, entonces esta línea está por encima de esta otra
Es como estos dedos, parece que se cruzan pero no lo hacen,
porque están en un espacio de 3 dimensiones
Las curvas en el espacio de fase no pueden cruzarse
pero como el espacio es de 3 dimensiones
las curvas pueden estar por encima o por debajo, unas de otras
y esto significa que para las ecuaciones diferenciales de 3 D, las curvas de las
soluciones pueden enroscarse unas con otras, sin verdaderamente curzarse
vemos así una conducta mucho más complicada en ecuaciones diferenciales
de 3 dimensiones que en las de 2 D
En particular las ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones pueden ser caóticas
Exploraremos el caos en estas ecuaciones diferenciales de 3 D y en las funciones
iterativas de 2 D en la próxima unidad y estas exploraciones serán, en la mayoría
de los casos en el espacio de fase, estaremos mirando como se ven las cosas
en el espacio de fase y encontraremos algunas sorpresas interesantes
y divertidas
Esto nos lleva al final de la unidad 7
En esta unidad vimos sistemas dinámicos en 2 y en 3 dimensiones
En algún sentido la historia es la misma que en 1 dimensión
Los sistemas dinámicos, recordemos, son únicamente una regla determinsta
que describe cómo las cantidades cambian a lo largo del tiempo
Para sistemas de 2 y 3 dimensiones registramos 2 o 3 cantidades en vez de 1
Las soluciones son mecánicas y son las mismas escencialmente, sin importar
cuántas variables queremos registrar símplemente obedecemos la regla
eso es lo que un sistema dinámico nos dice que tenemos que hacer
Sin embargo, visualizar estas soluciones
para sistemas con muchas dimensiones es un poco más interesante y divertido
porque en 2 y 3 dimensiones son más interesantes y divertidas que las de 1
dimensión y en particular, para ecuaciones diferenciales con más dimensiones
vemos conductas más complejas y más interesantes
y ese será el tema de la próxima unidad, unidad 8, que es sobre atractores extraños
veremos esas estructuras increíbles que combinan orden y desorden
en formas interesantes y sorprendentes
Nos vemos al semana que viene en la unidad 8